О периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

О периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка

А.Р. Абдуллаев

Е.А. Скачкова

Аннотация

Получены достаточные условия разрешимости краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка в случае резонанса.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение третьего порядка; краевая задача; резонанс.

Рассмотрим периодическую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения:

(1)

(2)

где , функция ограничена в существенном, удовлетворяет условию Каратеодори.

Введем в рассмотрение пространства.

Пусть - пространство суммируемых в -ой степени функций ; - пространство абсолютно непрерывных вместе с третьей производной функций , таких, что , с нормой

.

Определение. Под решением задачи (1), (2) будем понимать всякую функцию , удовлетворяющую почти всюду на уравнению (1) и периодическим краевым условиям задачи (2).

Обозначим через пространство:

.

Запишем задачу (1), (2) в пространстве в виде операторного уравнения

, (3)

где операторы определяются следующим образом:

, .

Приведем необходимые в работе вспомогательные утверждения.

Для линейного оператора через и соответственно обозначим образ и ядро оператора .

Определение. Линейный оператор называется проектором, если .

Лемма 1. Ядро и образ оператора определяются равенствами: краевой уравнение дифференциальный

,

Операторы и , определяемые равенствами

, (4)

, (5)

являются проекторами соответственно на ядро и образ оператора L.

Доказательство. Справедливость первого равенства леммы очевидна.

Проверим справедливость второго равенства. Для этого воспользуемся представлением решения уравнения

в виде:

Применив периодические краевые условия, получим .

Справедливость равенства проверяется непосредственно.

Для доказательства второго утверждения достаточно проверить, что оператор (дополнительный проектор) , определенный равенством

,

является проектором. Действительно,

Это и означает, что оператор является проектором, называемым дополнительным к . Равенство очевидно. Лемма доказана.

Определение [1]. Оператор будем называть обобщенно обратным к оператору , ассоциированным с проектором Р, если справедливы равенства:

1) , где - естественное вложение;

2) для любого ;

3) .

Лемма 2. Обобщенно обратный для оператора , ассоциированный с проектором (4) имеет вид

и справедлива оценка:

(6)

Доказательство. Проверим справедливость равенства

.

Имеем

Проверим выполнение равенства

.

Выполнение равенства очевидно.

Проверим справедливость оценки (6). Имеем

Лемма доказана.

Соответствующие выбранным проекторам и разложения пространств представим в виде

.

Оператору поставим в соответствие линейный ограниченный сюръективный оператор

,

и обозначим через сопряженный к оператор.

Определение [3]. Относительным коэффициентом сюръективности оператора назовем число , определяемое равенством

.

Для оценки коэффициента сюръективности оператора нам потребуется следующее утверждение.

Лемма 3 [3]. Пусть - линейный ограниченный нормально разрешимый оператор, ядро которого дополняемо. Для любого ограниченного проектора на обобщенно обратный к оператору ограничен, причем норма оператора удовлетворяет неравенству

.

Определение [3]. Если оператор ограничен на ограниченных подмножествах и

то он называется квазиограниченным, а число - квазинормой оператора .

Для определения условий разрешимости уравнения (3), а следовательно, и задачи (1), (2), воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 1 [2]. Пусть выполнены условия:

1) - нетеров;

2) - вполне непрерывен;

3) существуют такие числа , что для каждого элемента существует элемент такой, удовлетворяющий требованиям , ;

4) .

Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение.

Лемма 4. Для любого элемента справедливы неравенства

,

,

,

где ,

, .

Доказательство. Докажем первое неравенство, используя представление

Имеем

где .

Аналогично доказываются остальные неравенства. Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть существуют неотрицательные постоянные и неотрицательная функция , такие, что почти всюду при и . Тогда для оператора справедлива оценка

где , .

Доказательство. Действительно,

Лемма доказана.

Перейдем к формулировке основного результата статьи.

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) существуют неотрицательные постоянные и неотрицательная функция , такие, что

при и почти всех ;

2) существует , такое, что

при и почти всех ;

3),

где

, , ,

.

Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве .

Доказательство. Для доказательства теоремы проверим выполнение условий теоремы 1. Первые два условия выполнены. Действительно, оператор - фредгольмов (лемма 1) и оператор , определенный равенством

,

вполне непрерывен.

Для проверки выполнения условия 3) теоремы 1 рассмотрим уравнение

где , - некоторый элемент . Если при каждом фиксированном данное уравнение имеет решение, то существует элемент , удовлетворяющий условию .

Произвольно зафиксируем элемент и определим непрерывное отображение равенством

Далее мы воспользуемся следующим двойным неравенством

,

(см. лемму 4). Положим

.

Тогда для всех справедливо , а следовательно . Аналогично для всех

.

Тогда в силу непрерывности функции существует константа , удовлетворяющая неравенству

,

такая, что .

Таким образом, существует элемент , удовлетворяющий требованиям , , причем , .

В случае, когда выполнено условие , доказательство проводится по той же схеме.

Выполнение четвертого условия теоремы 1 следует из условия 3) теоремы 2. Теорема доказана.

Замечание. Возможен и следующий вариант применения теоремы 2. Если отрезок не зафиксирован и требуется найти такое значение , при котором существует решение задачи (1), (2), то за счет подбора (например, уменьшения значения ) можно добиться выполнения условия 3) теоремы 2.

Список литературы

1. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов. Челябинск, 1994. 93 с.

2. Абдуллаев А.Р. О разрешимости квазилинейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные уравнения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1992. С. 80-87.

3. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Известия высших учебных заведений. Математика. 1996, №11. С. 14-22.

Размещено на Allbest.ru