Сравнительный анализ принципов равновесия и компромисса в играх нескольких лиц "в перемещениях"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сравнительный анализ принципов равновесия и компромисса в играх нескольких лиц "в перемещениях"



1. Постановка игры в "перемещениях"

Основная задача исследования конфликтных ситуаций с несколькими участниками состоит в выработке способа управления, приемлемого для всех конфликтующих сторон. Обычно применяется подход, реализующий принцип равновесия по Нэшу. Он характеризуется тем, что ни одному из участников (игроков) невыгодно уклоняться от выбранной стратегии поведения в одиночку. Однако равновесие по Нэшу нельзя признать универсальным принципом оптимальности в играх нескольких лиц. Например, равновесный набор стратегий может оказаться улучшаемым сразу для всех игроков одновременно.

В работе развивается оригинальная концепция "компромисса" [1] определения рационального поведения участников многостороннего конфликта. Идея этой концепции состоит в том, что значение платы каждого из игроков, полученное в результате компромиссного управления, должно лежать между нижней и верхней "компромиссными оценками" платы игрока. При этом единоличное уклонение игрока от стратегии, предписываемой компромиссным набором, не позволяет ему получить значение платы лучше (меньше) нижней "компромиссной" оценки. Принцип "компромисса" обобщает равновесие по Нэшу в том смысле, что при совпадении нижних и верхних "компромиссных" оценок определение компромиссного набора стратегий переходит в определение равновесия по Нэшу. В статье для конкретной игры трех лиц "в перемещениях" построен компромиссный набор стратегий, для которого плата каждого игрока оказалась "лучше" (меньше), чем при равновесии по Нэшу.

В статье рассматривается класс игр, названный автором играми "в перемещениях". На его взгляд, игры "в перемещениях" могут служить удобным подспорьем в изучении дифференциальных игр, поскольку ряд результатов, полученных для игр "в перемещениях", имеют простой геометрический смысл и легко переносятся на линейные дифференциальные игры. Приведем постановку игры лиц "в перемещениях".

Игра. В игре участвуют игроков. Каждый игрок независимо от других назначает точке, расположенной в начале координат пространства , перемещение , стесненное геометрическим ограничением

,

Множества являются выпуклыми и компактными. Результирующее перемещение управляемой точки представляет собой геометрическую сумму выбранных игроками перемещений. В пространстве заданы выпуклых компактных множеств , называемых целевыми множествами соответствующих игроков. Платой - го игрока, , служит расстояние от финального положения управляемой точки до целевого множества этого игрока. Цель каждого из игроков состоит в минимизации своей платы.

На рис. 1 приводится геометрическая интерпретация данной игры при . Стратегию игрока отождествим с выбираемым им перемещением, а множество всех допустимых стратегий игрока - с множеством всех его перемещений, удовлетворяющих указанным геометрическим ограничениям. Соответствие между стратегией игрока и реализующим ее перемещением обозначим символом .

Рис.1



Функции платы игроков определяются формулами

,

где расстояние, которое может быть вычислено по формуле

.

2. Область достижимости игрока в игре "в перемещениях"

Пусть для всех номеров , приняты стратегии .

Определение 1. Множество

называется областью достижимости го игрока (при условии, что остальные игроки выбрали стратегии ).

В принятых предположениях область достижимости игрока представляет собой выпуклое и компактное множество в пространстве . Величина



представляет собой наименьшее расстояние от управляемой точки до выпуклого компактного множества , которое может реализовать й игрок, управляя точкой с помощью допустимой стратегии при условии, что остальные игроки выбрали стратегии . Заметим, что

.

Лемма 1. Справедливо равенство

.

Доказательство. В случае утверждение леммы выполняется. Действительно, с одной стороны

,

а с другой - найдется вектор такой, что . Тогда



.

Пусть теперь

.

Величина

удовлетворяет условию

,

и совпадает с наименьшим из чисел , удовлетворяющих при всех неравенству



где замкнутая окрестность множества , а опорная функция множества .

Тогда

.

Лемма доказана.

Рассмотрим случай, когда

.

Выведем условия, которым должен удовлетворять управляющий параметр го игрока, реализующий минимальное расстояние от перемещаемой точки до множества .

Лемма 2. Пусть

.

Тогда максимум в правой части равенства (1) достигается на единственном векторе .

Доказательство. Для произвольного номера обозначим



.

Функция при всех и всех удовлетворяет условиям

, (2)

(3)

Действительно,

,

.

Допустим, что утверждение леммы неверно. Тогда существуют два вектора , для которых



,

.

Сложим эти равенства почленно. В силу неравенства (3) находим, что

. (4)

Из неравенства (4) следует, что , а из условия следует, что . Полагаем

Тогда из (4) и (2) выводим



.

Получили противоречие, которое и доказывает единственность максимизирующего вектора . Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть

.

Для того чтобы перемещение удовлетворяло равенству

,

необходимо, чтобы оно удовлетворяло условию

.



Доказательство. Пусть

.

Тогда

и в силу леммы 1 при всех справедливо неравенство

.

Таким образом,

для всех , в частности, при . Отсюда выводим



.

Теорема доказана.

Доказанная теорема выражает необходимые условия оптимальности перемещения . С другой стороны, по теореме Вейерштрасса минимизирующее перемещение всегда существует. Тогда, если условие (5) определяет ровно одно перемещение, то оно и будет являться искомым оптимальным перемещением. Факт оптимальности перемещения можно также установить, вычислив величину по необходимо, чтобы оно удовлетворяло условию

.

Доказательство. Пусть

.

Тогда

и в силу леммы 1 при всех справедливо неравенство



.

Таким образом,

для всех , в частности, при . Отсюда выводим

.

Теорема доказана.

Доказанная теорема выражает необходимые условия оптимальности перемещения . С другой стороны, по теореме Вейерштрасса минимизирующее перемещение всегда существует. Тогда, если условие (5) определяет ровно одно перемещение, то оно и будет являться искомым оптимальным перемещением. Факт оптимальности перемещения можно также установить, вычислив величину по формуле (1). Если выполняется равенство



,

то перемещение является минимизирующим.

3. Равновесие по Нэшу в играх "в перемещениях"

Определение 2. Набор стратегий называется равновесным по Нэшу в игре "в перемещениях", если для всех выполняется неравенство

.

Выведем условия, которым должна удовлетворять равновесная по Нэшу ситуация для игр в перемещениях. Рассмотрим равновесный набор стратегий

.

Полагаем



Из леммы 2 и теоремы 1 непосредственно следует следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть для равновесной ситуации при всех выполнено неравенство

Тогда для всех множество состоит ровно из одного элемента , а перемещение необходимо удовлетворяет условию

.

Приведем один способ построения равновесной ситуации в игре нескольких лиц "в перемещениях". Для всех определим функцию из условия

.

Для функции

,

определенной формулой



построим набор векторов

,

удовлетворяющий условию

.

В силу теоремы 2 искомый равновесный набор перемещений вычисляется по формуле

.

Рис.2



Этот набор будет действительно равновесным по Нэшу, если при всех выполняется условие

Пример 1. Рассмотрим игру 1 при следующих данных (см. рис. 2):

,

,

.

Определить набор перемещений всех игроков, равновесный по Нэшу.

Решение

Для данного примера имеет место

.

Вычислим функции

.



Имеем

,

,

.

Набор векторов , удовлетворяющий условию (1), был определен численно:

,

.

При этом

.

Тогда набор перемещений игроков, удовлетворяющий необходимым условиям оптимальности по Нэшу, имеет вид

.



В случае, когда все игроки придерживаются этого набора стратегий, управляемая точка переместится в положение

.

Непосредственно проверяется, что расстояния от точки до целевых множеств игроков соответственно равны.

.

Таким образом, условия (2) выполнены и набор перемещений образует равновесную ситуацию.

4. Компромиссное управление

Пусть

Определение 3. Будем говорить, набор стратегий



является компромиссным по отношению к векторам , если для всех справедливы неравенства

.

Вектор будем называть вектором нижних компромиссных оценок, а вектор вектором верхних компромиссных оценок в игре "в перемещениях".

Приведем условия, которым должна удовлетворять ситуация

, являющаяся компромиссной относительно векторов

.

Эти условия имеют вид



(2)

(3)

равновесие игра компромисс

Неравенства (3) в силу леммы 1 можно переписать в виде

Пример 2. Для игры из примера 1 определить компромиссную относительно векторов



,

Решение

Определим набор векторов из равенств

,

которые здесь принимают вид

.

Тогда



.

Для определения компромиссной

ситуации выпишем условия (2)

условия (4) усилим неравенствами

(6)

,

и наложим геометрические ограничения на перемещения игроков



Условия (5)-(7) определяют компромиссную ситуацию

.

Этой ситуации соответствует финальное положение управляемой точки

.

Справедливы неравенства

.

Таким образом, значения плат игроков удовлетворяют соответствующим верхним компромиссным оценкам. При этом в силу неравенств



.

ни один из "игроков-уклонистов" не может получить величину платы, лучше (меньше) своей нижней компромиссной оценки.

Сравним значения плат игроков при равновесном управлении (см. пример 1) и при компромиссном:

Легко видеть, что принцип компромисса обеспечил в рассмотренной игре для каждого игрока лучший результат, чем равновесие по Нэшу.

Размещено на Allbest.ru