Разрешимость краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Е. А. Морозова

Размещено на http://www.allbest.ru/

50

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика. Механика. Информатика Вып.3(3)

46

Пермский государственный университет

Разрешимость краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Е.А. Морозова

Получены достаточные условия разрешимости краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений -го порядка.

Ключевые слова: система обыкновенных дифференциальных уравнений; краевая задача.

Рассмотрим периодическую краевую задачу© Е. А. Морозова, 2010

где функции удовлетворяют условию Каратеодори.

Краевая задача (1), (2) и ее частные случаи исследовались многими авторами. Известные признаки разрешимости задачи (1), (2) могут содержать так называемые "знаковые" условия на функции . В данной статье будут получены новые достаточные условия разрешимости задачи (1), (2), в некоторых случаях уточняющие известные в литературе результаты. В работе применены общие утверждения о разрешимости квазилинейного операторного уравнения в резонансном случае.

В некоторых случаях задачу (1), (2) можно рассматривать как периодическую краевую задачу для одного скалярного уравнения. Однако получаемые при этом условия разрешимости не всегда учитывают специфику системы уравнений.

Введем в рассмотрение пространства.

Пусть - пространство суммируемых с квадратом функций со стандартной нормой ; - банахово пространство таких абсолютно непрерывных функций , таких, что , с нормой ;

с нормой

;

с нормой

.

Определение. Под решением задачи (1), (2) будем понимать совокупность таких функций, что , которые удовлетворяют почти всюду на уравнениям (1) и краевым условиям (2).

.

Вспомогательные утверждения.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) - нетеров;

2) - вполне непрерывен;

3) ;

4) для любого элемента существует такой элемент , что имеет место включение , причем ;

5) .

Тогда уравнение имеет хотя бы одно решение.

Теорема 2. Пусть - открытое ограниченное множество конечномерного евклидова пространства , содержащее нуль в качестве внутренней точки. Пусть - оператор (необязательно монотонный), определенный и непрерывный в замкнутой области , со значениями в . Если на границе области скалярное произведение , то уравнение имеет хотя бы одно решение в .

Для применения теоремы 1 к задаче (1), (2) предварительно запишем эту задачу в пространстве в виде операторного уравнения

,

где операторы , определены равенствами

,

.

Лемма 1. Ядро и образ оператора определяются равенствами

,

.

Операторы и , определяемые равенствами

,

,

являются проекторами соответственно на ядро и образ оператора .

Доказательство. Справедливость равенства (4) проверяется непосредственно. квазилинейный резонансный скалярный уравнение

Проверим справедливость равенства (5). Решим систему

для произвольных . Имеем Применив периодические краевые условия, получим По определению Справедливость равенства проверяется непосредственно.

Для доказательства утверждения (7) достаточно проверить, что оператор , определенный равенством

,

является проектором. Действительно,

Это и означает, что оператор является проектором, называемым дополнительным к .

Равенство очевидно.

Лемма доказана.

Определение [1]. Оператор будем называть обобщенно обратным к оператору , ассоциированным с проектором , если справедливы равенства:

1) , где - естественное вложение;

2) для любого .

Лемма 2. Обобщенно обратный для оператора , ассоциированный с проектором (6) имеет вид

и его норма удовлетворяет неравенству

.

Доказательство. Непосредственная проверка выполнения условий определения обобщенно обратного оператора показывает, что оператор является обобщенно обратным к оператору .

Имеем

Найдем оценку .

.

Лемма доказана.

В силу леммы 1 существует разложение пространств и в прямые суммы:

.

Нам потребуются следующие утверждения.

Лемма 3. Для любого элемента справедливо неравенство

.

Доказательство. Для доказательства утверждения леммы используем представление

.

Получим

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть существуют неотрицательные постоянные и такие неотрицательные функции

,

что , и

,

для любых , . Тогда для оператора F справедлива оценка ,

где , .

Доказательство. Действительно, применив утверждение леммы 3, получим

Лемма доказана.

Для произвольно фиксированного элемента определим непрерывное отображение равенством

Лемма 5. Если выполнены условия

1) существуют неотрицательные постоянные и такие неотрицательные функции , что и , для любых , ;

2) существуют положительная постоянная и такая неотрицательная функция , что , и для , выполнено условие

тогда для отображения существуют такие , что

,

причем , где , , , .

Доказательство. Для того чтобы показать, что на выпуклом множестве , где , условия теоремы 2 выполнены, достаточно оценить скалярное произведение

для произвольных .

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:

1) существуют неотрицательные постоянные и такие неотрицательные функции , что и , для любых , ;

2) существуют положительная постоянная и такая неотрицательная функция , что и для , выполнено условие

3) выполнено условие

,

где .

Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве .

Доказательство. Справедливость первых двух утверждений теоремы 1 очевидны. Условие 3 теоремы 1 выполнено в силу леммы 4.

Лемма 5 гарантирует существование такого элемента ядра , что имеет место включение . Оценим норму .

Выполнение условия 5 теоремы 1 автоматически следует из условия 3 теоремы и леммы 4.

Теорема доказана.

Список литературы

1. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов. Челябинск, 1994. 93 с.

Размещено на Allbest.ru