Об одном обобщении интегро-дифференциального неравенства Виртингера

Е. Л. Гусаренко, С. А. Гусаренко

Размещено на http://www.allbest.ru/

8

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика. Механика. Информатика Вып.2(6)

4

Пермский государственный технический университет

Об одном обобщении интегро-дифференциального неравенства Виртингера

Е.Л. Гусаренко, С.А. Гусаренко

Аннотация

Получены необходимые и достаточные условия справедливости интегрально-дифференциального неравенства с условием .

Ключевые слова: неравенство Виртингера; минимизация квадратичного функционала.

Annotation

About one geniralisation integro-differential Wirtinger Inequality

Necessary and sufficient conditions of justice of an integro-differential inequality with a restrictions are received.

Key words: Wirtinger's inequality; minimizing quadratic functional.

Основная часть

В работе получены условия справедливости интегро-дифференциального неравенства

(1)

дифференциальный уравнение неравенство вариационный

для функций с условием

(2)

являющегося обобщением известного неравенства Виртингера [1]

.

При исследовании неравенства (1) с условием (2) применялись методы исследования вариационных задач, разработанные Пермским cеминаром по функционально-дифференциальным уравнениям [2], [3].

Обозначим через и через пространство суммируемых с квадратом функций и, соответственно, пространство таких абсолютно непрерывных функций , что . Суть метода состоит в редукции неравенства (1)-(2) в пространстве к задаче минимизации квадратичного функционала

(3)

в пространстве , где интегральный опера-тор - ограниченный и самосопряженный. Как известно, задача (3) разрешима тогда и только тогда, когда все точки спектра оператора не превосходят единицы.

Решение модельной задачи

имеет вид , где ядро интегрального оператора равно

Подставив в неравенство (1) сведем его к задаче (3), где

.

Найдем собственные значения инте-грального оператора . Отметим, что существование ненулевого решения урав-нения эквивалентно существованию нетривиального решения системы

Достаточно рассмотреть случай .

1. Пусть .

Общее решение уравнения (4) имеет вид

.

Обозначим . Система (4)-(2)-(5) будет иметь нетривиальное решение при условии

.

Это условие эквивалентно объединению

Из (6) следует, что значение . Обозначим и запишем уравнение (7) в виде

. (8)

Рассмотрим функции и при .

Так как при, , , то функция монотонно возрастает в области определения. Функция при , является монотонно убывающей, так как . Следовательно, на каждом интервале , где , существует единственное решение уравнения (8). Если ? наименьший корень уравнения (8), то соответствующее значение будет наибольшим корнем уравнения (7). Таким образом, условие эквивалентно условию . Тогда

, где .

2. Рассмотрим случай, когда .

Общее решение уравнения (4) в этом случае будет представлено как

,

а система (4)-(2)-(5) будет иметь нетриви-альное решение, если

,

где . Отсюда получаем соотношение

равносильное уравнению

.

Функция ограничена: . Функция моно-тонно возрастает, причем , . Тогда существует наимень-ший положительный корень уравнения (9). Условие эквивалентно не-равенству

.

3. При интегральный оператор , а общее решение уравнения (2) имеет вид

.

Система (4)-(2)-(5) будет иметь нетривиальное решение, если

 = 0 , (10)

где . Условие (10) эквивалентно равенству . Следовательно, если , то все собственные значения оператора не будут превосходить единицы.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Для всех функций неравенство (1) с условием (2) верно тогда и только тогда, когда

;

при

.

Отметим, что искомое множество параметров имеет вид

Рис. 1 Параметры в плоскости ,

4. Кассическое неравенство Виртингера рассматривается на периодических функциях. В этом случае задача формулируется следующим образом: найти условия справедливости неравенства

(1)

с условиями

, (2)

. (11)

Но тогда , и задача (1)-(2)-(11) эквивалентна классическому неравенству Виртингера, для которого справедлив известный результат.

Теорема 2. Для всех функций неравенство (1) с условиями (2) и (11) верно тогда и только тогда, когда .

Список литературы

1. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос.изд. ин. лит.,1948. 456 с.

2. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional differential equa-tions and applications // Mem. on different. equat. end math. physics. 1996. Vol.8. P. 1?102.

3. Гусаренко С.А. О вариационных задачах с линейными ограничениями // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2. С. 30?44.

Размещено на Allbest.ru