Выдающееся открытие XIX века (к 200-летию со дня рождения Эвариста Галуа)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выдающееся открытие XIX века (к 200-летию со дня рождения Эвариста Галуа)

Н.Н. Макеев

механики и управления РАН

Описывается история создания фундаментальной математической теории ? теории групп - французским математиком Э. Галуа. (25.10.1811?31.05.1832).

Ключевые слова: история математики; алгебраические уравнения; теория групп Галуа.

N.N. Makeyev

Outstanding discovery of XIX century (To the 200-years from the birthday of E. Galois)

The history of the theory groups discovery as well as the life and scientific achievements of Evarist Galois, an outstanding French mathematician are described in this article.

Key words: history of mathematics; equations of algebra; theory of groups.

Юный математик Франции

В октябре 2011 г. исполнилось 200 лет со дня рождения выдающегося французского математика, создателя теории групп, одного из гениальных творцов математики XIX в. Эвариста Галуа. Прожив неполный 21 год, он успел заложить основы новой теории, предвосхитив открытия многих своих современников ? знаменитых математиков. Научные труды Э.Галуа, значительно опередившие его время и потому долго не получавшие признания, оказали определяющее влияние на последующее развитие не только алгебры, но и всей математики XIX в. Много лет спустя после гибели Э.Галуа его идеи нашли применения в различных областях естествознания

Выдающийся норвежский математик, член Французской академии наук, первый лауреат Международной премии имени Н.И. Лобачевского (1897) Софус Ли (1842?1899) в очерке "Влияние Галуа на развитие математики" (1894) назвал имена четырех крупнейших математиков XIX в.: Гаусса, Коши, Абеля и Галуа. Это суждение представляет собой характеристику творческих достижений Э.Галуа и его места в мировой математической науке.

Предшественники Э. Галуа

Начало исследованию проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах было положено итальянскими математиками. Способ решения неприводимого кубического уравнения впервые был найден Ферро дель Сципионом (1465?1526). Это открытие явилось исходным пунктом развития не только алгебры, но и всей математики в целом. Н.Фонтана (Тарталья, 1500?1557) в 1535 г. нашел решение в радикалах кубического уравнения общего вида. Л.Феррари (1522?1565) открыл способ решения уравнения четвертой степени общего вида [1, 2].

На протяжении последующих почти 300 лет, вплоть до появления исследований Э.Галуа, попытки нахождения решений в радикалах уравнений общего вида степенью выше четвертой не привели к успеху.

В 1767 г. Ж. Лагранж (1736?1813) опубликовал мемуар "О решении числовых уравнений", а затем ? последующие дополнения к нему. Эта работа имела большое значение для развития алгебры, но, как отметил Э.Т.Белл [3], ее автор не установил критерия разрешимости уравнений в радикалах.

Исследования Ж.Лагранжа показали, что алгебраическое уравнение степени n ? 4 решается путем представления его решения через корни уравнения, степень которого ниже степени данного уравнения. Дальнейшие исследования показали, что эта проблема в такой постановке неразрешима для алгебраических уравнений степени выше четвертой.

В 1799 г. была опубликована докторская диссертация К.Гаусса (1777?1855), содержащая первое доказательство основной теоремы алгебры. Затем в работе "Арифметические исследования" он привел теорию уравнений деления круга на равные части, которая являлась прообразом теории Э.Галуа [1].

Разработку этой проблемы продолжил Н.Абель (1802?1829), который в 1824 г. доказал неразрешимость в радикалах алгебраического уравнения пятой степени общего вида. Им было доказано, что уравнения с коммутативной (впоследствии названной абелевой) группой подстановок корней уравнения разрешимы в радикалах. Тем самым были выделены типы алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах [1].

Следующий, завершающий, шаг в изучении проблемы разрешимости был совершен Э.Галуа.

История открытия

В годы, когда Э.Галуа приступил к исследованию проблемы разрешимости алгебраических уравнений, уже был поставлен вопрос о существовании их решений в радикалах.

Свою первую статью из области алгебры, которая впоследствии была названа теорией групп, Э. Галуа направил в Академию наук 25 мая 1829 г., будучи учащимся лицея. Однако его работа не была рассмотрена на заседании Академии, как это было принято в то время. Существует следующее объяснение этого факта [4].

Рецензентом работы Э.Галуа был назначен О.Коши (1789?1857), в то время самый известный математик Франции. К тому времени он уже занимался исследованиями по комбинаторике, предшествовавшей теории групп. Из письма, обнаруженного в 1971 г. в архиве Академии наук, следует, что 18 января 1830 г. ожидалось выступление О.Коши на заседании академии с изложением результатов работы Э.Галуа. В этом письме О.Коши писал: "Сегодня я должен был представить Академии отчет о работах Галуа … Я болен и остался дома. Сожалею, что не имею возможности присутствовать на сегодняшнем заседании, и хотел бы, чтобы вы включили в расписание следующего заседания мое выступление по вышеуказанному предмету".

Однако на следующей неделе, выступая на заседании академии с докладом по своей работе, Коши не представил работу Э.Галуа. Причина этого остается неизвестной, однако есть предположение, что О.Коши рекомендовал Э.Галуа расширить статью и представить ее на конкурс для соискания высшей награды академии по математике. Документы подтверждают, что Э.Галуа действительно представил свою работу на этот конкурс в феврале того же года, за месяц до истечения срока конкурса. Статья была направлена для заключения секретарю академии Ж.Фурье (1768?1830). Однако в мае того же года Ж.Фурье скончался, рукопись Э.Галуа среди его бумаг не нашли.

В архиве Академии наук сохранились следующие протоколы заседаний [5].

Заседание от 25 мая 1829 года

Алгебраические исследования г-на Эвариста Галуа, представленные г-ном Коши, посланы на рассмотрение г-дам …

Заседание от 1 июня 1829 года

Г-н Коши представляет от имени г-на Галуа рукопись, озаглавленную "Исследования алгебраических уравнений простой степени". Г-да Пуассон и Коши назначаются рецензентами.

Несмотря на неудачи, Э.Галуа продолжал математические исследования и опубликовал несколько работ по теории алгебраических уравнений в журнале Bulletin des Sciences mathematiques, издаваемом М.Феруссаком. Это статьи "Анализ одного мемуара о решении алгебраических уравнений" [6], "Замечание о решении числовых уравнений" [7], "Из теории чисел" [8]. Из этих статей видно, что в 1830 г. он значительно продвинулся в изучении проблемы разрешимости алгебраических уравнений выше четвертой степени.

В январе 1831 г. Э.Галуа завершил "Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах" [9] и, следуя рекомендации академика С.Пуассона, представил ее в Академию наук для участия в конкурсе на соискание Большой премии по математике, учрежденной академией [10]. Эта статья Э.Галуа, как и большинство его работ, отличалась чрезвычайной краткостью и сжатой формой аргументации, что затрудняло ее понимание. Вероятно, по этой причине С.Пуассон рекомендовал Академии наук отклонить работу. Он посоветовал Э.Галуа расширить статью и переработать ее, сделав форму изложения более ясной. Помимо этого, С.Пуассон посчитал ошибочным одно из доказательств работы, тогда как его справедливость можно доказать, основываясь на одном из результатов, полученных Ж.Лагранжем [4].

Работы Э.Галуа, написанные им в течение 1831 г., в том числе статья [11], не были опубликованы.

На очередном заседании Академии наук, состоявшемся 17 января 1831 г., ее членам - Лакруа и Пуассону ? было поручено рассмотреть статью Э.Галуа, рукопись которой он накануне передал в секретариат академии. Год назад эта работа уже представлялась в Академию. В связи с повторным представлением работы Э.Галуа написал к ней введение, в котором просил "по крайней мере" прочесть то, что он написал в своей работе. Его настойчивость объяснялась тем, что, пока Э.Галуа не отослал весьма резкое письмо президенту Академии наук, его работу так и не прочитали [5]. Подтверждением этого являются следующие протоколы заседания Академии, сохранившиеся в архиве.

Заседание от 17 января 1831 года

Мемуар г-на Галуа об условиях разрешимости уравнений в радикалах послан на рассмотрение г-м Лакруа и Пуассону.

Заседание от 4 апреля 1831 года

Жалоба г-на Галуа, касающаяся его мемуара об уравнениях, послана рецензентам, г-м Лакруа и Пуассону.

Заседание от 11 июля 1831 года

Г-да Лакруа и Пуассон делают следующее сообщение о мемуаре г-на Галуа об условиях разрешимости в радикалах.

Цель, которую автор поставил себе в этом мемуаре, состоит в доказательстве теоремы, сформулированной следующим образом: "Чтобы неприводимое уравнение простой степени можно было решить в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы при некоторых двух известных его корнях остальные корни выражались рационально".

Во всяком случае, мы сделали все от нас зависящее, чтобы понять доказательство г-на Галуа. Его рассуждения не обладают ни достаточной ясностью, ни достаточной полнотой, для того чтобы мы могли судить об их точности, поэтому мы не в состоянии дать о них представление в этом докладе. Автор заявляет, что теорема, составляющая основное содержание его мемуара, является частью общей теории, имеющей много других приложений.

В целом ряде случаев различные части одной и той же теории оказываются взаимно поясняющими друг друга, так что их легче понять вместе, чем по отдельности. Поэтому, прежде чем высказать окончательное мнение, следует подождать, пока автор опубликует свою работу целиком; имеющуюся же пока часть в том виде, в каком она представлена в Академию, мы не можем оценить положительно.

Следуют подписи: Лакруа, Пуассон ? докладчики.

Академия утверждает заключение, представленное в докладе.

Итак, работа Э.Галуа [9] была отклонена. Большую премию Французской академии наук по математике получили Н.Абель (посмертно) и К.Якоби (1804?1851) ? оба за работы по теории эллиптических функций [1].

В бумагах Э.Галуа, найденных после его гибели, обнаружены две заметки, которые, вероятно, были написаны как предисловие к его работам. В одной из них Э.Галуа нелицеприятно отзывается о членах Академии наук, в том числе о С.Пуассоне. Эти отзывы настолько резки, что Ж.Таннери, первый издатель рукописей Э.Галуа, не решился их опубликовать. В частности, Э.Галуа писал: "Эти люди отстали на сто лет"; "… Г-н Пуассон не захотел или не смог понять" [5].

В дальнейшем Э.Галуа принял активное участие в революционных событиях, которые привели его к трагической гибели.

теория группа галуа

О теории групп Галуа

В конце XVIII?начале XIX в. теорию групп развивали П.Руффини, Н.Абель, Ж.Лагранж. Однако в историю математики основателем теории групп вошел Э.Галуа, именем которого впоследствии была названа эта теория.

К 1829 г. центральным в теории алгебраических уравнений являлся вопрос о том, каким должен быть метод решения уравнения общего вида с одним неизвестным, все действительные коэффициенты которого являются рациональными числами. При этом предполагалось, что искомый метод должен быть общим и содержать лишь четыре арифметические операции и операцию извлечения корня. Если решения (корни) уравнения можно получить на основе известных коэффициентов уравнения только с применением этих операций, то считают, что данное уравнение разрешимо в радикалах.

Первое открытие Э.Галуа, сделанное при исследовании проблемы разрешимости, состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности, установив некоторые свойства корней алгебраических уравнений.

Второе открытие связано с примененным им методом: вместо изучения самого уравнения он изучал некоторую совокупность, обладающую определенным характерным свойством ? группу.

Группа ? одно из фундаментальных понятий современной математики. Группой называют непустое множество M элементов (независимо от их природы или конкретного вида), для которых определена одна бинарная операция , удовлетворяющая условию ассоциативности и такая, что уравнения однозначно разрешимы для любых значений [12].

Таким образом, группа (термин введен Э.Галуа) ? это совокупность абстрактных элементов, обладающих определенными общими свойствами. Если эти элементы ? действительные числа, то общее свойство группы состоит в том, что результат умножения любых двух ее элементов есть также действительное число. В случае, при которм элементами группы являются движения на плоскости, свойство группы выражается в том, что сумма любых двух движений есть тоже движение. В более сложных случаях элементами группы могут быть операции над этими элементами. Тогда основное свойство группы состоит в том, что композиция любых двух операций также является операцией.

Именно этот случай изучал Э.Галуа. Рассматривая алгебраическое уравнение, которое требуется решить, он сопоставлял с ним некоторую группу операций и доказывал, что свойства данного уравнения однозначно соответствуют особенностям этой группы. Поскольку различные уравнения могут соответствовать одной и той же группе, достаточно вместо каждого из этих уравнений в отдельности рассматривать соответствующую им конечную группу перестановок корней уравнения, отражающую свойства симметрии этого уравнения. В настоящее время эта группа называется группой Галуа.

В чем состоит существо теории Э.Галуа? Он установил, что ядро гомоморфизма (прообраз единицы в группе) не может быть произвольной подгруппой. Э.Галуа показал, что алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа этого уравнения ? разрешимая группа. Оказалось, что наибольшая возможная группа перестановок корней уравнения ? неразрешимая, если степень этого уравнения n > 4. В связи с этим Э.Галуа писал: " … когда в группе некоторого уравнения исчерпаются все возможные собственные разложения, мы придем к группам, которые можно преобразовать … Если каждая из этих групп содержит простое число перестановок, то уравнение решается в радикалах; в противном случае ? нет. Наименьшее число перестановок, которое может иметь неразложимая группа, когда это число составное, это есть ". Эта группа является знакопеременной группой пятой степени ? группой всех чётных подстановок пяти букв. В силу этого уравнение пятой степени есть уравнение наименьшей степени, которое не может быть решено в радикалах [14].

Значение теории Галуа в развитии математики

Методы, разработанные Э.Галуа для решения поставленной им проблемы, гораздо значительнее, чем собственно открытия в теории разрешимости алгебраических уравнений. Его исследования привели к созданию новой теории ? теории групп, применение которой выходит за границы теории разрешимости алгебраических уравнений. В связи с этим Н. Бурбаки пишет: "… он [Галуа] в действительности положил начало … теории групп и полей, многие фундаментальные результаты которых он сам получил … с помощью тех же принципов, которые употребляются и теперь" [15]. И далее: "Теория Галуа, по существу, представляла собой обобщение теорий Гаусса и Абеля, однако, если они рассматривали уравнения с коммутативной группой Галуа, то Галуа рассмотрел общий случай, когда группа Галуа некоммутативна" [15].

Наступило время, когда теория групп Э.Галуа получила общее признание. Это произошло в 70-е гг. XIX в. в связи с оценкой определяющей роли симметрии в геометрии. В 1872 г. немецкий математик, автор Эрлангенской программы Ф.Клейн (1849?1925) утверждал: геометрия имеет столько различных ветвей, сколько групп симметрий могут иметь геометрические фигуры.

Исследуя дискретные группы, Ф.Клейн рассмотрел группы симметрий многогранников и показал, что этими и близкими им группами можно, обобщая метод Э.Галуа, воспользоваться для решения алгебраических уравнений с коммутативной группой (абелевых уравнений).

Впоследствии теория Э.Галуа становится важнейшей частью алгебры, а общая теория групп находит применения в ряде областей науки: математической физике, топологии, теории вероятностей и др. Положения этой теории позволили раскрыть сущность неизвестных явлений в таких отраслях знания, как теория чисел, кристаллография, физика элементарных частиц, квантовая механика. В связи с этим интересно отметить, что теория групп позволяет произвести оптимальный выбор позиционирования кубика Рубика [4].

Открытие групп Э.Галуа генерировало нахождение групп с другими свойствами. Возникли группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии, группы Галилея в механике и группы Лоренца в специальной теории относительности [13].

Эпистолярные фрагменты

Фрагмент 1

"Мой дорогой друг. Я сделал в анализе несколько новых открытий. Одни из них касаются теории уравнений, другие ? интегральных функций. В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения решаются в радикалах, что мне дало повод углубить эту теорию и описать все преобразования над уравнением, допустимые, даже когда оно не решается в радикалах. Из всего этого можно сделать три мемуара. Первый написан, и, вопреки тому, что о нем говорит Пуассон, я его поддерживаю с поправками, которые я в нем сделал. Второй содержит довольно любопытные приложения теории уравнений" [16].

Фрагмент 2

"Ты знаешь …, что это не были единственные вопросы, которые я исследовал. Мои главные размышления … были направлены к приложению к трансцендентному анализу теории неопределенности. Речь идет о том, чтобы видеть a priori, какие замены можно произвести, какие количества можно подставить вместо данных количеств в соотношение между трансцендентными количествами или функциями так, чтобы соотношение не перестало иметь место. Но я не имею времени (выделено мною. - Н.М.), и мои идеи еще недостаточно хорошо развиты в этой необъятной области. Напечатай, пожалуйста, это письмо в "Энциклопедическом обозрении" [16].

Фрагмент 3

"Не раз в своей жизни я осмеливался выдвигать теоремы, в которых не был уверен. Но все, что написано здесь, я уже целый год храню в голове. Могут заподозрить, что я объявляю результаты исследований, для которых не имею исчерпывающих доказательств. В моих интересах не допустить ошибки, чтобы подобные подозрения не могли возникнуть.

Публично обратись к Якоби или Гауссу с просьбой дать мнение не об истинности, а о значении тех теорем, развернутого доказательства которых я не даю, и тогда, надеюсь, кто-нибудь сочтет полезным разобраться во всей этой путанице.

Горячо обнимаю тебя!

Э. Галуа" [17.

Комментарий к работе [9], отклоненной Академией наук

Замечание рецензентов: "Доказательство леммы неполно. Но лемма правильна ? смотри работу Лагранжа № 100, Берлин, 1775 год" (рецензенты ? Лакруа, Пуассон).

Комментарий Э. Галуа: "Доказательство леммы дословно переписано с того, которое дается нами в работе, представленной в 1830 г. Мсье Пуассон счел долгом присовокупить свое замечание (смотри выше), которое мы оставляем здесь как исторический документ. Пусть нас рассудит читатель" [17].

30 мая 1832 г. Письмо Огюсту Шевалье "… Я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования вычислений, вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться.

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам ? вот задачи математиков будущего, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.

Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет" (выделено мною.- Н.М.) [13].

Письмо Э.Галуа О.Шевалье от 29 мая 1832 г. впервые было опубликовано в издании "Revue encyclope'dique", 1832. С.568?576 [17], а впоследствии помещено Ж.Лиувиллем (1809?1882) в основанном им журнале [18].

Судьба научных трудов и рукописей Галуа

Рукописи Э.Галуа, оставшиеся после его гибели, передал О.Шевалье его брат ? Альфред Галуа. О.Шевалье, выполняя волю своего друга, опубликовал в 1832 г. в "Энциклопедическом обозрении" [17] его письмо, написанное 29 мая 1832 г., в ночь накануне дуэли. Сохранилась копия письма А.Галуа к К.Якоби. О.Шевалье и А.Галуа послали рукописи последних работ Эвариста К.Гауссу и К.Якоби, но ответа от них не последовало [19].

Вероятно, от О.Шевалье неизданные рукописи Э.Галуа спустя 14 лет после его трагической гибели попали к Ж.Лиувиллю. Он скрупулезно изучил рукописи и опубликовал работу "Простейшие уравнения, разрешимые в радикалах" [11] в "Журнале чистой и прикладной математики" в 1846 г. [18].

Ж.Бертран (1822?1900) в очерке об Э.Галуа писал: "Публикуя работу, показавшуюся неясной Пуассону, Лиувилль объявил о своем намерении снабдить ее комментарием, которого он никогда не написал … [Он встретил] затруднение, в котором честно признался Пуассон и которое, несомненно, испытали Фурье и Коши … Чтобы понять его [Галуа] изложение, нужно … научиться видеть его [изложение] в нужном свете. … Этого требует сущность темы. … [У Галуа] и мысли и язык являлись новыми" [20].

В 1870 г., почти через 40 лет после гибели Э.Галуа, К.Жордан (1838?1922) выпустил книгу о теории подстановок. В предисловии он написал, что эта книга является лишь комментарием к работе Э.Галуа. Однако именно этот труд привлёк внимание мирового математического сообщества к работам Э.Галуа.

В своей книге К. Жордан писал: "Галуа было суждено дать четкое обоснование теории разрешимости уравнений. … Проблема разрешимости, прежде казавшаяся единственным объектом теории уравнений, ныне представляется первым звеном в длинной цепи вопросов, касающихся преобразования и классификации иррациональных чисел. Применив свои общие методы к этой частной проблеме, Галуа … нашел характерное свойство групп уравнений, разрешимых в радикалах. Но, торопясь с формулировкой, он оставил несколько коренных теорем без достаточных доказательств … [Всего] коренных идей три: … идея приводимости …, идея переходности … и различие между простыми и сложными группами. Последней, наиболее важной [идеей] из трех, мы обязаны Галуа [17]".

В конце XIX в. идеи Э.Галуа стали общеизвестными в среде математиков; их влияние неизменно возрастало. Софус Ли в очерке "Влияние Галуа на развитие математики» (1894) писал: "Видя, как плодотворны оказались идеи Галуа в стольких областях анализа, геометрии и даже механики, можно смело надеяться, что они окажут равное влияние и на математическую физику".

В 1906?1907 гг. французский математик, член Парижской академии наук Ж.Таннери (1848?1910) опубликовал большую часть оставшихся рукописей Э.Галуа.

Рукописи Э.Галуа, попавшие к Ж.Лиувиллю, после его кончины попали к его дочери, де Блиньер, которая скрупулезно их восстановила. Впоследствии подлинники писем были переданы в Академию наук. В настоящее время они хранятся в Библиотеке l'Institut de France (Института Франции) [17].

Собрание математических трудов Э.Галуа было издано в 1897 г. Французским математическим обществом с предисловием Э.Пикара (Изд-во Готье-Виллар). В 1951 г. это собрание сочинений было переиздано. Отдельные математические заметки Э.Галуа, не вошедшие в это собрание, опубликованы Ж.Таннери в издании "Бюллетень математических наук" (1906, сер. 2, т.30; 1907, т.31). В 1908 г. они были изданы в виде книги с названием "Рукописи Эвариста Галуа" (Изд-во Готье-Виллар).

На русском языке издана книга [14]. В нее вошли математические работы Э.Галуа (прижизненные статьи, посмертные работы, фрагменты рукописей, опубликованные Ж.Таннери), а также статьи Н.Г.Чеботарева "Проблемы современной теории Галуа" и П.Дюпюи "Жизнь Эвариста Галуа" с приложением документов.

Эпилог

Утром 30 мая 1832 г. Э. Галуа был смертельно ранен на дуэли. Через день он скончался.

Сохранившееся научное наследие Э.Галуа составляет всего 60 страниц рукописного текста. Однако по своей научной значимости оно является выдающимся открытием в математике. Введение понятия группы существенно продвинуло и облегчило решение многих вопросов, позволив не рассматривать при этом множество других теорий. Для этого оказалось достаточным выделить некоторые характерные признаки той или иной теории, а поскольку они в определенном смысле аналогичны, нет необходимости исследовать каждую в отдельности. Э. Галуа стремился внести в обширный математический аппарат новое стройное гармоническое единство, тот "порядок", о котором он упоминал в одном из своих писем.

Э.Галуа прожил всего 20 лет, пять из них он занимался математикой. Выдающееся открытие Э.Галуа положило начало развитию нового научного направления в математике ? теории абстрактных алгебраических структур. Последующие 20 лет математики А.Кэли (Кейли, 1821?1895) и К.Жордан развивали и обобщали плодотворные идеи Э.Галуа [10].

Список литературы

Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь. Киев: Радянс. школа, 1979. 607 с.

Боголюбов А.Н. Математики. Механики: Биографический справочник. Киев: Наук. думка, 1983. 639 с.

Белл Э.Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979. 255 с.

Ротман Т. Короткая жизнь Эвариста Галуа // Scientific American. 1983. № 1. С. 84?93.

Дальма А. Эварист Галуа: революционер и математик. М.: Наука, 1984. 112 с.

Galois E. Analyse d'un memoirй sur la resolution algebrique des equations // Bulletin des Sciences mathem. 1830. Vol. 13. P.271.

Galois E. Note sur la resolution des equations numeriques // Там же. 1830. Vol.13. P. 413.

Galois E. Sur la theorie des nombres // Там же. 1830. Vol. 13. P. 428.

Galois E. Memoirй sur les conditions de resolubilite des equations par radicaux // Работа, отклоненная Академией наук. Б.М., 1831.

Харченко В.К. Некоммутативная теория Галуа. Новосибирск: Науч. книга, 1996. 372 с.

Galois E. Des equations primitives qui sont solubles par radicaux // Неоконченная работа, опубликованная посмертно в [18].

Математика в понятиях, определениях и терминах: в 2 ч. / под ред. Л.В. Сабинина. М.: Просвещение. 1978. Ч. I.. 319 c.

Теория групп. URL: http: // www. scriru. сom / 2 с.

Галуа Эварист. Соч. Сер.: Классики естествознания / под ред. Н.Г. Чеботарева. М.; Л.: ОНТИ, 1936. 336 с.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 290 с.

Галуа Э. Письмо Огюсту Шевалье. URL: http: // www. kirsoft. com. ru / 1c.

Инфельд Л. Эварист Галуа. Избранник богов. М.: Мол. гвардия, 1960. 368 с.

Galois Evariste. Oeuvres matematiques // Journal de mathematiques pures et appliquйes. 1846. Vol.11. P.381?444.

Стиллвелл Д. Математика и ее история. М.; Ижевск, 2004. С. 361?365.

Bertrand J. La vie d'Evariste Galois par P.Dupuy // Eloges Academicues. Paris, 1902. P. 329?345.

Размещено на Allbest.ru