Устойчивость одного дифференциально-разностного уравнения с периодическим кусочно-постоянным коэффициентом
Построение области асимптотической устойчивости одного скалярного дифференциально-разностного уравнения с одним запаздыванием и периодическим кусочно-постоянным коэффициентом в плоскости параметров уравнения. Задача Коши для дифференциального уравнения.
Рубрика | Математика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 26.04.2019 |
Размер файла | 382,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Устойчивость одного дифференциально-разностного уравнения с периодическим кусочно-постоянным коэффициентом
С.М. Седова
Пермский национальный исследовательский
политехнический университет
Построены области асимптотической устойчивости и неустойчивости одного скалярного дифференциально-разностного уравнения с одним запаздыванием и периодическим кусочно-постоянным коэффициентом в плоскости параметров уравнения.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом; области асимптотической устойчивости и неустойчивости.
S.M. Sedova
The stability of one differential-difference equation with one delay and the periodic piecewise constant coefficient
It is built the asymptotic stability domain and the instability domain for one linear differential-difference equation on the plane of the equation parameters.
Key words: differential equation with delay; asymptotic stability domain; instability domain.
Предлагаемая работа является продолжением исследований, опубликованных в работе [1].
Рассматриваем задачу Коши для дифференциально-разностного уравнения с периодическими коэффициентами
, (1)
,
где периодическая функция с периодом , , , т.е. периоды рационально соизмеримы с запаздываниями , . В работе [1] для задачи Коши уравнения (1) был сформулирован критерий устойчивости, полученный в [2], [3], [4], в редакции [4]. В [4] критерий имеет вид: , , функция Коши уравнения (1) [5], [6], [7], - характеристическая функция уравнения (1) [4], функция Коши имеет экспоненциальную оценку , , при некоторых (задача 1) тогда и только тогда, когда наименьший по модулю корень уравнения лежит вне единичного круга: (задача 2). Согласно критерию задача устойчивости (задача 1) сведена к задаче о расположении нуля целой функции комплексного переменного относительно единичной окружности (задача 2).
В работе [1] предложен способ решения задачи 2, сформулированный в теоремах 2, 3, которые названы основными. В [1] характеристическая функция обозначена через и подчеркнута зависимость от конечного числа параметров , .
В основных теоремах критерий устойчивости приобретает такую формулировку, которая позволяет строить (или описывать) область асимптотической устойчивости в пространстве параметров , а также область неустойчивости .
В предлагаемой работе с помощью теоремы 2 (теоремы 2 и 3 [1]) осуществлено построение областей и для уравнения с одним запаздыванием и - кусочно-постоянным коэффициентом
, (2)
,
, .
Область для уравнения (2) приведена в работе [4], но без обоснования построения и с ошибками. Поскольку в [4] решались другие задачи, построение областей и было обозначено как перспектива.
Приведем необходимые для данной статьи обозначения и результаты. Пусть ,.
В работе [4] получены характеристические функции уравнения (2). В случае функция имеет вид
; (3)
в случае
; (4)
в случае ()
. (5)
Как видно из выражений (3)-(5), функция зависит от двух параметров - , т.е. . Выполнено условие . Функция целая функция в комплексной плоскости . Область асимптотической устойчивости уравнения (2) принадлежит полуплоскости . Область неустойчивости уравнения (2) есть .
Критерий устойчивости для задачи Коши уравнения (2) имеет следующую формулировку.
Теорема 1. Пусть наименьший по модулю нуль функции . Если , то уравнение (2) асимптотически устойчиво, если , то уравнение (2) неустойчиво, если , то уравнение (2) может быть устойчиво (неасимптотически) или может быть неустойчиво.
Сформулируем теоремы 2, 3 из [1].
Пусть рассматривается уравнение (1), характеристическая функция уравнения (1), целая функция на плоскости . Известно, что . Пусть единичный круг на плоскости : . образ единичного круга при отображении , линия, ограничивающая . . Отметим свойства множества :
1. замкнутая кривая. Кривая может иметь точки самопересечения (т.е. может не являться жордановой кривой [8]).
2. область (открытое связное множество в ) [8].
3. Область симметрична относи-тельно вещественной оси , т.е. если , то и .
Рассмотрим образ единичной окружности , , при отображении и функцию , , задающую . Пусть в функции выделены вещественная и мнимая части ; выражение зависит от конечного числа параметров, т.е. , , для уравнения (2) . Пусть известны все или часть нулей функции , т.е. , при которых , .
Теорема 2 (теоремы 2, 3 [1])
1) Пусть в точке пространства параметров уравнения (1) ( плоскости параметров уравнения (2)) при некотором имеем и , тогда точка принадлежит области неустойчивости уравнения (1).
2) Пусть в точке при всех , для которых , имеет место неравенство , тогда точка принадлежит области асимптотической устойчивости уравнения (1).
Замечание 1. Система
,
задает область асимптотической устойчивости уравнения (1) в пространстве параметров уравнения (1).
Замечание 2. При построении областей и уравнения (2) промежуток для можно уменьшить до промежутка , так как из выражений (3)-(5) для функции получаем, что единичный круг дважды отображается при отображении в область . Действительно, , т.е. граница является замкнутой линией при . При , выполнив подстановку ,, имеем , т.е. при изменении от до точка опишет ту же замкнутую линию, что и при изменении от до .¦
Учтя замечания 1,2, получим, что система
, (6)
задает область асимптотической устойчивости уравнения (2) в полуплоскости , параметров и уравнения (2).
Замечание 3. Уравнения ,
определяют на плоскости линию , каждой точке которой соответствует корень уравнения на единичной окружности, т.е. .
1. Случаи и
Теорема 3. Пусть (). Область на прямой есть интервал
. (7)
Доказательство. Здесь области и находятся на прямой . Характеристическая функция имеет вид (5). Согласно теореме 2 запишем функции и функции :
, (8)
.
По теореме 2 и замечанию 2 следует найти нули функции в промежутке и для построения области потребовать, чтобы на этих нулях. Имеем при , а также при . Из неравенства получаем . Из неравенства следует . Так как , то не возникает новых ограничений на . При имеем:
, , (9)
поэтому . В результате .
При , при в (8) , т.е. , и точка , принадлежащая единичной окружности, есть корень характеристического уравнения , т.е. .
При , (или ) в (8) имеем , т.е. , и точка , принадлежащая единичной окружности, есть корень характеристического уравнения , т.е. . Таким образом, , или в виде (7): .
Область можно построить и непосредственно по теореме 2 с учетом замечания 2 (или по системе (6)): в нулях функции ( следует потребовать одновременного выполнения неравенства . Таким образом,
или . Согласно (9) точка .¦
Теорема 4. Пусть . Область в полуплоскости , задается неравенствами
устойчивость дифференциальный разностный уравнение
, , . (10)
Замечание 4. Первое из неравенств (10) следует из естественного неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел: .
Замечание 5. Координаты и точки на плоскости будем использовать в двух смыслах: 1) для обозначения координат точки на плоскости , 2) для обозначения координат точки на плоскости , но учитывать при этом, что - среднее арифметическое, - среднее геометрическое двух чисел: , поэтому для них в случае выполняется одно из неравенств: или .
Доказательство. Характеристическая функция имеет вид (3). Согласно теореме 2 запишем функции и функции :
,
, (11)
здесь , .
Рассмотрим последовательно случаи:
1) , 2) , 3) , 4) , 5) .
1) при и . Имеем ,. При получаем, что , тогда с учетом замечания 5 имеем
, (12)
. (13)
Далее считаем, что .
2) при .
Имеем , .
Из условия следует, что
,(14)
. (15)
Далее считаем, что .
3) при , что рассмотрено в теореме 3, или при , что рассмотрено в пункте 2).
4) при , , или . Случай рассмотрен в теореме 3 и пункте 1), поэтому считаем, что , . Так как , , то считаем, что .
Так как , то в (11) .
Если , то и , ,
что не изменяет условий неустойчивости (12),(14).
5) при , ,
или
, , (16)
с учетом того, что , .
а) Рассмотрим случай: в (16) , , т.е. . Так как , то . Из (11) имеем
. (17)
Если , то
, (18)
при этом имеем , .
При
имеет место неравенство , поэтому следует считать, что область ниже линии (18) принадлежит области неустойчивости. При линия (18): ,
находится в области
, (19)
в которой параметры (среднее ариф-метическое) и (среднее геометрическое) не находятся (см. рис. 1).
Таким образом,
. (20)
б) Рассмотрим случай: в (16) ,, т.е. , , . В (11)
. (21)
Если , то , при этом , .
При имеет место неравенство , но этот случай учтен в пункте 1).
В пунктах 5),а), 5),б) рассмотрены случаи в (16). Остальные случаи , не налагают новых ограничений для области . Действительно, при , возникает случай, аналогичный случаю 5),а). В (16) , .
Линии ,
получающиеся из (17) при , расположены в области (19), в которой параметры (среднее арифметическое) и (среднее геометрическое) не определены (см. рис. 1).
Если в (16) , то получаем случай, аналогичный случаю 5),б). В (16) ,.
Линии получающиеся из (21) при , расположены в области , в которой параметры (среднее арифметическое) и (среднее геометрическое) не определены (см. рис. 1).
Объединив (12),(14),(20), получим, что , поэтому выполнено согласно (13), (15)
. (22)
Покажем, что в (22) имеет место равенство.
Если, исходя из уравнения , в (11), выразить
,(23)
,
и подставить в в (11), то получим
.(24)
Выразив знаменатель в (24) из (23), получим
. (25)
При выполнены условия и .
Так как , то в (25) независимо от того, есть ли значения , удовлетворяющие (23), поэтому в (22) имеет место равенство, и выполнено условие (10) (см. рис.1). ¦
Рис. 1. Случай . Область .
Линии: 1., 2., 3.,
4. ,
5. ,
6. .
2. Случай
Теорема 5. Пусть . Область в полуплоскости , задается неравенствами
(26)
.
Доказательство. Характеристическая функция имеет вид (4). Функции и функции имеют вид
,
, (27)
здесь , .
Рассмотрим последовательно случаи:
1) , 2) , 3) , 4) , 5) .
1) при и . Имеем ,. При получаем, что
,
. (28)
Тогда
,
. (29)
Далее считаем, что.
2) при . Имеем , . Из условия следует, что
,или
. (30)
. (31)
3) , или , при ,что рассмотрено в теореме 3, или при , что рассмотрено в пункте 1).
4) при , . Случай рассмотрен в пункте 2), здесь . Поэтому считаем, что , .
а) пусть , тогда .
В (27) .
Если , то
, (32)
при этом в (27) .
В (32) можно считать, что .
При имеет место неравенство , поэтому
. (33)
Отметим, что в (32) линия, соответствующая , расположена выше линии, соответствующей .
Для области получаем с учетом (29)
. (34)
б) пусть , тогда , , и в формуле (27) .
Если , то , .
При имеет место неравенство , поэтому
. (35)
Тогда для области с учетом (29) имеем
. (36)
5) , .
. Исходя из (27), .
Если , то и , что не изменяет областей и .
Покажем, что область совпадает с областью, в которой содержится согласно (29), (31), (34), (36)
(37)
.
Пусть зафиксировано значение :
; (38)
, . Исходя из уравнения , в (27), выразим
(39)
и, подставив в из (27), получим .
Если выразить знаменатель в из (39) и подставить это выражение в , то
. (40)
Для из (39) получим выражение
. (41)
Отметим, что , , с учетом (38).
Рассмотрим все возможные случаи знаков функций и и укажем при этом поведение в (41) и в (40).
I. Зафиксируем некоторое . Пусть
. (42)
Известно (29), что область содержится в нижней полуплоскости . Покажем, что неравенство в (37)
(43)
сохраняется и не налагаются новые ограничения на . зникает новых ограничений на .
1) Пусть , т.е. угол в I четверти, тогда в (41) , в (40) и не возникает новых ограничений на .
2) Пусть , т.е. угол в II четверти;
а) если 1-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 2-м слагаемым, то и точка , т.е. случай 2),а) не дает новых ограничений на ;
б) если 2-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 1-м слагаемым, то , в (40) , и не возникает новых ограничений на .
Отметим, что в случае , имеет место неравенство , реализуется либо случай 1), либо случай 2), и полученное неравенство для в (37) сохраняется. Далее в пункте I считаем, что фиксированное .
3) Пусть , т.е. угол в III четверти, тогда в (41) , точка и нет новых ограничений на .
4) Пусть , т.е. угол в IV четверти;
а) если 2-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 1-м слагаемым, то , и нет новых ограничений на ;
б) если 1-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 2-м слагаемым, то , в (40) . Покажем, что при этом выполнено неравенство
. (44)
С учетом того, что при выполнено , из (41) получаем
. (45)
Так как угол в IV четверти, то удовлетворит одному из неравенств, исходя из (42), , ,…, .
При этом , а , что учтено в (45). Так как , то . Функция убывающая на , функция при фиксированном также убывающая по , поэтому в (45) функцию следует найти в точке .
Отметим выполнимость неравенств, если придавать значения , при которых : .
Тогда в (45) при получим
. (46)
Из (46) с учетом того, что , получаем неравенство (44). В результате неравенство (43) сохраняется.
II. Пусть теперь
. (47)
Известно из (29), что область находится в верхней полуплоскости . Покажем, что неравенство
(48)
сохраняется и не возникает новых ограничений на .
Для выполнено (41), для - (40).
1) Пусть , т.е. угол в I четверти, тогда в (41) , и не возникает новых ограничений на .
2) Пусть , т.е. угол во II четверти;
а) если 1-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 2-м слагаемым, то , в (40) . Покажем, что
. (49)
В (41) имеем
. (50)
Так как угол во II четверти, то удовлетворяет одному из неравенств с учетом (47) , ,…, .
При этом , а , что учтено в (50). , .
При имеем .
В (50) убывающую функцию следует найти в точке .
Таким образом, получаем (49). В итоге неравенство (48) сохраняется.
б) Если 2-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 1-м слагаемым, то , и нет новых ограничений на .
3) Пусть , т. е. угол в III четверти, тогда в (41) , в (40) и нет новых ограничений на .
4) Пусть , т. е. угол в IV четверти;
а) если 1-е слагаемое знаменателя в (41) превалирует над 2-м слагаемым, то , и нет новых ограничений на ;
б) если 2-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 1-м слагаемым, то , в (40) и нет новых ограничений на .
Таким образом, неравенство (48) сохраняется.
Рассмотрение случаев I, II позволяет сделать вывод о том, что область задается только неравенствами в (37) (см. рис. 2). ¦
Рис. 2. Случай . Область .
Линии: 1. ,
.
Список литературы
1. Седова С.М. О критерии устойчивости дифференциально-разностных уравнений // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып.3(7). С.6-11.
2. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. АН СССР.1966. Т.30. Вып. 5. С.971-974.
3. Малыгина В.В. Об устойчивости функ-ционально-дифференциальных уравнений: дис. … канд. … наук. Пермь, 1983. 101 с.
4. Седова С.М. Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами: дис. …канд. … наук. Пермь, 2000. 130 c.
5. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость ли-нейных систем с последействием. I // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 5. С.745-754.
6. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. № 6. С. 3-16.
7. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь, 2001. 230 с.
8. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977. 320 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Анализ уравнения гиперболического типа - волнового уравнения. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера, неоднородное уравнение. Задача Коши, двумерное волновое уравнение. Теорема устойчивости решения задачи Коши. Формулы волнового уравнения.
реферат [1,0 M], добавлен 11.12.2014Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Особенности решения разностного уравнения 2-го порядка векторно-матричным способом с использованием Z-преобразования. Анализ этапов проектирования аналогового фильтра-прототипа, отвечающего требованию обработки сигнала и заданной частоте среза (100Гц).
контрольная работа [1,1 M], добавлен 07.08.2013Определение экстремума функционала при определенных заданных условиях. Особенности вычисления гамма-функции. Вычисление значения и решение неоднородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, специфика выполнения проверки решения.
контрольная работа [53,9 K], добавлен 27.09.2011Определение типа кривой по виду уравнения, уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Определение медианы, уравнения средней линии в треугольнике. Вопросы по линейной алгебре. Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы.
контрольная работа [97,5 K], добавлен 31.10.2010Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015