Устойчивость одного дифференциально-разностного уравнения с периодическим кусочно-постоянным коэффициентом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Устойчивость одного дифференциально-разностного уравнения с периодическим кусочно-постоянным коэффициентом

С.М. Седова

Пермский национальный исследовательский

политехнический университет

Построены области асимптотической устойчивости и неустойчивости одного скалярного дифференциально-разностного уравнения с одним запаздыванием и периодическим кусочно-постоянным коэффициентом в плоскости параметров уравнения.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом; области асимптотической устойчивости и неустойчивости.

S.M. Sedova

The stability of one differential-difference equation with one delay and the periodic piecewise constant coefficient

It is built the asymptotic stability domain and the instability domain for one linear differential-difference equation on the plane of the equation parameters.

Key words: differential equation with delay; asymptotic stability domain; instability domain.

Предлагаемая работа является продолжением исследований, опубликованных в работе [1].

Рассматриваем задачу Коши для дифференциально-разностного уравнения с периодическими коэффициентами

, (1)

,

где периодическая функция с периодом , , , т.е. периоды рационально соизмеримы с запаздываниями , . В работе [1] для задачи Коши уравнения (1) был сформулирован критерий устойчивости, полученный в [2], [3], [4], в редакции [4]. В [4] критерий имеет вид: , , функция Коши уравнения (1) [5], [6], [7], - характеристическая функция уравнения (1) [4], функция Коши имеет экспоненциальную оценку , , при некоторых (задача 1) тогда и только тогда, когда наименьший по модулю корень уравнения лежит вне единичного круга: (задача 2). Согласно критерию задача устойчивости (задача 1) сведена к задаче о расположении нуля целой функции комплексного переменного относительно единичной окружности (задача 2).

В работе [1] предложен способ решения задачи 2, сформулированный в теоремах 2, 3, которые названы основными. В [1] характеристическая функция обозначена через и подчеркнута зависимость от конечного числа параметров , .

В основных теоремах критерий устойчивости приобретает такую формулировку, которая позволяет строить (или описывать) область асимптотической устойчивости в пространстве параметров , а также область неустойчивости .

В предлагаемой работе с помощью теоремы 2 (теоремы 2 и 3 [1]) осуществлено построение областей и для уравнения с одним запаздыванием и - кусочно-постоянным коэффициентом

, (2)

,

, .

Область для уравнения (2) приведена в работе [4], но без обоснования построения и с ошибками. Поскольку в [4] решались другие задачи, построение областей и было обозначено как перспектива.

Приведем необходимые для данной статьи обозначения и результаты. Пусть ,.

В работе [4] получены характеристические функции уравнения (2). В случае функция имеет вид

; (3)

в случае

; (4)

в случае ()

. (5)

Как видно из выражений (3)-(5), функция зависит от двух параметров - , т.е. . Выполнено условие . Функция целая функция в комплексной плоскости . Область асимптотической устойчивости уравнения (2) принадлежит полуплоскости . Область неустойчивости уравнения (2) есть .

Критерий устойчивости для задачи Коши уравнения (2) имеет следующую формулировку.

Теорема 1. Пусть наименьший по модулю нуль функции . Если , то уравнение (2) асимптотически устойчиво, если , то уравнение (2) неустойчиво, если , то уравнение (2) может быть устойчиво (неасимптотически) или может быть неустойчиво.

Сформулируем теоремы 2, 3 из [1].

Пусть рассматривается уравнение (1), характеристическая функция уравнения (1), целая функция на плоскости . Известно, что . Пусть единичный круг на плоскости : . образ единичного круга при отображении , линия, ограничивающая . . Отметим свойства множества :

1. замкнутая кривая. Кривая может иметь точки самопересечения (т.е. может не являться жордановой кривой [8]).

2. область (открытое связное множество в ) [8].

3. Область симметрична относи-тельно вещественной оси , т.е. если , то и .

Рассмотрим образ единичной окружности , , при отображении и функцию , , задающую . Пусть в функции выделены вещественная и мнимая части ; выражение зависит от конечного числа параметров, т.е. , , для уравнения (2) . Пусть известны все или часть нулей функции , т.е. , при которых , .

Теорема 2 (теоремы 2, 3 [1])

1) Пусть в точке пространства параметров уравнения (1) ( плоскости параметров уравнения (2)) при некотором имеем и , тогда точка принадлежит области неустойчивости уравнения (1).

2) Пусть в точке при всех , для которых , имеет место неравенство , тогда точка принадлежит области асимптотической устойчивости уравнения (1).

Замечание 1. Система

,

задает область асимптотической устойчивости уравнения (1) в пространстве параметров уравнения (1).

Замечание 2. При построении областей и уравнения (2) промежуток для можно уменьшить до промежутка , так как из выражений (3)-(5) для функции получаем, что единичный круг дважды отображается при отображении в область . Действительно, , т.е. граница является замкнутой линией при . При , выполнив подстановку ,, имеем , т.е. при изменении от до точка опишет ту же замкнутую линию, что и при изменении от до .¦

Учтя замечания 1,2, получим, что система

, (6)

задает область асимптотической устойчивости уравнения (2) в полуплоскости , параметров и уравнения (2).

Замечание 3. Уравнения ,

определяют на плоскости линию , каждой точке которой соответствует корень уравнения на единичной окружности, т.е. .

1. Случаи и

Теорема 3. Пусть (). Область на прямой есть интервал

. (7)

Доказательство. Здесь области и находятся на прямой . Характеристическая функция имеет вид (5). Согласно теореме 2 запишем функции и функции :

, (8)

.

По теореме 2 и замечанию 2 следует найти нули функции в промежутке и для построения области потребовать, чтобы на этих нулях. Имеем при , а также при . Из неравенства получаем . Из неравенства следует . Так как , то не возникает новых ограничений на . При имеем:

, , (9)

поэтому . В результате .

При , при в (8) , т.е. , и точка , принадлежащая единичной окружности, есть корень характеристического уравнения , т.е. .

При , (или ) в (8) имеем , т.е. , и точка , принадлежащая единичной окружности, есть корень характеристического уравнения , т.е. . Таким образом, , или в виде (7): .

Область можно построить и непосредственно по теореме 2 с учетом замечания 2 (или по системе (6)): в нулях функции ( следует потребовать одновременного выполнения неравенства . Таким образом,

или . Согласно (9) точка .¦

Теорема 4. Пусть . Область в полуплоскости , задается неравенствами

устойчивость дифференциальный разностный уравнение

, , . (10)

Замечание 4. Первое из неравенств (10) следует из естественного неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел: .

Замечание 5. Координаты и точки на плоскости будем использовать в двух смыслах: 1) для обозначения координат точки на плоскости , 2) для обозначения координат точки на плоскости , но учитывать при этом, что - среднее арифметическое, - среднее геометрическое двух чисел: , поэтому для них в случае выполняется одно из неравенств: или .

Доказательство. Характеристическая функция имеет вид (3). Согласно теореме 2 запишем функции и функции :

,

, (11)

здесь , .

Рассмотрим последовательно случаи:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

1) при и . Имеем ,. При получаем, что , тогда с учетом замечания 5 имеем

, (12)

. (13)

Далее считаем, что .

2) при .

Имеем , .

Из условия следует, что

,(14)

. (15)

Далее считаем, что .

3) при , что рассмотрено в теореме 3, или при , что рассмотрено в пункте 2).

4) при , , или . Случай рассмотрен в теореме 3 и пункте 1), поэтому считаем, что , . Так как , , то считаем, что .

Так как , то в (11) .

Если , то и , ,

что не изменяет условий неустойчивости (12),(14).

5) при , ,

или

, , (16)

с учетом того, что , .

а) Рассмотрим случай: в (16) , , т.е. . Так как , то . Из (11) имеем

. (17)

Если , то

, (18)

при этом имеем , .

При

имеет место неравенство , поэтому следует считать, что область ниже линии (18) принадлежит области неустойчивости. При линия (18): ,

находится в области

, (19)

в которой параметры (среднее ариф-метическое) и (среднее геометрическое) не находятся (см. рис. 1).

Таким образом,

. (20)

б) Рассмотрим случай: в (16) ,, т.е. , , . В (11)

. (21)

Если , то , при этом , .

При имеет место неравенство , но этот случай учтен в пункте 1).

В пунктах 5),а), 5),б) рассмотрены случаи в (16). Остальные случаи , не налагают новых ограничений для области . Действительно, при , возникает случай, аналогичный случаю 5),а). В (16) , .

Линии ,

получающиеся из (17) при , расположены в области (19), в которой параметры (среднее арифметическое) и (среднее геометрическое) не определены (см. рис. 1).

Если в (16) , то получаем случай, аналогичный случаю 5),б). В (16) ,.

Линии получающиеся из (21) при , расположены в области , в которой параметры (среднее арифметическое) и (среднее геометрическое) не определены (см. рис. 1).

Объединив (12),(14),(20), получим, что , поэтому выполнено согласно (13), (15)

. (22)

Покажем, что в (22) имеет место равенство.

Если, исходя из уравнения , в (11), выразить

,(23)

,

и подставить в в (11), то получим

.(24)

Выразив знаменатель в (24) из (23), получим

. (25)

При выполнены условия и .

Так как , то в (25) независимо от того, есть ли значения , удовлетворяющие (23), поэтому в (22) имеет место равенство, и выполнено условие (10) (см. рис.1). ¦

Рис. 1. Случай . Область .

Линии: 1., 2., 3.,

4. ,

5. ,

6. .

2. Случай

Теорема 5. Пусть . Область в полуплоскости , задается неравенствами



(26)

.

Доказательство. Характеристическая функция имеет вид (4). Функции и функции имеют вид

,

, (27)

здесь , .

Рассмотрим последовательно случаи:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

1) при и . Имеем ,. При получаем, что

,

. (28)

Тогда

,

. (29)

Далее считаем, что.

2) при . Имеем , . Из условия следует, что

,или

. (30)

. (31)

3) , или , при ,что рассмотрено в теореме 3, или при , что рассмотрено в пункте 1).

4) при , . Случай рассмотрен в пункте 2), здесь . Поэтому считаем, что , .

а) пусть , тогда .

В (27) .

Если , то

, (32)

при этом в (27) .

В (32) можно считать, что .

При имеет место неравенство , поэтому

. (33)

Отметим, что в (32) линия, соответствующая , расположена выше линии, соответствующей .

Для области получаем с учетом (29)

. (34)

б) пусть , тогда , , и в формуле (27) .

Если , то , .

При имеет место неравенство , поэтому

. (35)

Тогда для области с учетом (29) имеем

. (36)

5) , .

. Исходя из (27), .

Если , то и , что не изменяет областей и .

Покажем, что область совпадает с областью, в которой содержится согласно (29), (31), (34), (36)

(37)

.

Пусть зафиксировано значение :

; (38)

, . Исходя из уравнения , в (27), выразим

(39)

и, подставив в из (27), получим .

Если выразить знаменатель в из (39) и подставить это выражение в , то

. (40)

Для из (39) получим выражение

. (41)

Отметим, что , , с учетом (38).

Рассмотрим все возможные случаи знаков функций и и укажем при этом поведение в (41) и в (40).

I. Зафиксируем некоторое . Пусть

. (42)

Известно (29), что область содержится в нижней полуплоскости . Покажем, что неравенство в (37)

(43)

сохраняется и не налагаются новые ограничения на . зникает новых ограничений на .

1) Пусть , т.е. угол в I четверти, тогда в (41) , в (40) и не возникает новых ограничений на .

2) Пусть , т.е. угол в II четверти;

а) если 1-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 2-м слагаемым, то и точка , т.е. случай 2),а) не дает новых ограничений на ;

б) если 2-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 1-м слагаемым, то , в (40) , и не возникает новых ограничений на .

Отметим, что в случае , имеет место неравенство , реализуется либо случай 1), либо случай 2), и полученное неравенство для в (37) сохраняется. Далее в пункте I считаем, что фиксированное .

3) Пусть , т.е. угол в III четверти, тогда в (41) , точка и нет новых ограничений на .

4) Пусть , т.е. угол в IV четверти;

а) если 2-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 1-м слагаемым, то , и нет новых ограничений на ;

б) если 1-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 2-м слагаемым, то , в (40) . Покажем, что при этом выполнено неравенство

. (44)

С учетом того, что при выполнено , из (41) получаем

. (45)

Так как угол в IV четверти, то удовлетворит одному из неравенств, исходя из (42), , ,…, .

При этом , а , что учтено в (45). Так как , то . Функция убывающая на , функция при фиксированном также убывающая по , поэтому в (45) функцию следует найти в точке .

Отметим выполнимость неравенств, если придавать значения , при которых : .

Тогда в (45) при получим

. (46)

Из (46) с учетом того, что , получаем неравенство (44). В результате неравенство (43) сохраняется.

II. Пусть теперь

. (47)

Известно из (29), что область находится в верхней полуплоскости . Покажем, что неравенство

(48)

сохраняется и не возникает новых ограничений на .

Для выполнено (41), для - (40).

1) Пусть , т.е. угол в I четверти, тогда в (41) , и не возникает новых ограничений на .

2) Пусть , т.е. угол во II четверти;

а) если 1-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 2-м слагаемым, то , в (40) . Покажем, что

. (49)

В (41) имеем

. (50)

Так как угол во II четверти, то удовлетворяет одному из неравенств с учетом (47) , ,…, .

При этом , а , что учтено в (50). , .

При имеем .

В (50) убывающую функцию следует найти в точке .

Таким образом, получаем (49). В итоге неравенство (48) сохраняется.

б) Если 2-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 1-м слагаемым, то , и нет новых ограничений на .

3) Пусть , т. е. угол в III четверти, тогда в (41) , в (40) и нет новых ограничений на .

4) Пусть , т. е. угол в IV четверти;

а) если 1-е слагаемое знаменателя в (41) превалирует над 2-м слагаемым, то , и нет новых ограничений на ;

б) если 2-е слагаемое в знаменателе в (41) превалирует над 1-м слагаемым, то , в (40) и нет новых ограничений на .

Таким образом, неравенство (48) сохраняется.

Рассмотрение случаев I, II позволяет сделать вывод о том, что область задается только неравенствами в (37) (см. рис. 2). ¦

Рис. 2. Случай . Область .

Линии: 1. ,

.

Список литературы

1. Седова С.М. О критерии устойчивости дифференциально-разностных уравнений // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып.3(7). С.6-11.

2. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. АН СССР.1966. Т.30. Вып. 5. С.971-974.

3. Малыгина В.В. Об устойчивости функ-ционально-дифференциальных уравнений: дис. … канд. … наук. Пермь, 1983. 101 с.

4. Седова С.М. Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами: дис. …канд. … наук. Пермь, 2000. 130 c.

5. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость ли-нейных систем с последействием. I // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 5. С.745-754.

6. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. № 6. С. 3-16.

7. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь, 2001. 230 с.

8. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977. 320 с.

Размещено на Allbest.ru