Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика. Механика. Информатика Вып. 3(11)

9

Конечные непростые группы с некоторыми ограничениями на факторгруппы

С.И. Фаерштейн

Пермская государственная фармацевтическая академия

И.С. Фаерштейн

Московский государственный университет

Россия, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, 1

Описываются конечные неабелевы p-группы, все факторгруппы которых абелевы, и конечные непростые ненильпотентные группы, все факторгруппы которых нильпотентны.

Ключевые слова: неабелевы p-группы; абелевы факторгруппы; непростые ненильпотентные группы; нильпотентные факторгруппы.

абелевы факторгруппы достаточность нормальный делитель

В работе [1] описаны все конечные непростые непримарные группы, у которых все факторгруппы примарны. Настоящая статья продолжает эту тематику.

^© Фаерштейн С. И., Фаерштейн И. С., 2012Через обозначается подгруппа p-группы G, порождаемая p-ми степенями всех ее элементов.

Теорема 1. В конечной неабелевой p-группе G все факторгруппы абелевы тогда и только тогда, когда - циклическая группа и .

Доказательство. Достаточность.

Пусть - циклическая группа, и N - произвольный неединичный нормальный делитель группы G. Как показано в работе [2], . Следовательно, и, значит, - абелева группа. Достаточность доказана.

Необходимость. Предположим, что - нециклическая группа. Тогда в найдутся две различные подгруппы A и B порядка p, из которых по крайней мере одна, скажем A, не содержит. Но тогда - неабелева группа. Следовательно, - циклическая группа. Пусть - подгруппа порядка p из . Так как факторгруппа абелева, то и, значит, . Необходимость доказана. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть G - неабелева p-группа с двумя образующими и все фактор-группы группы G - абелевы. Тогда G является одной и только одной из следующих групп:

1.

2.

3. - группа кватернионов.

Доказательство. Достаточность. Легко видеть, что в каждой из перечисленных в условии теоремы 2 групп - циклическая группа и . Поэтому согласно теореме 1 все факторгруппы каждой из указанных групп абелевы. Достаточность доказана.

Необходимость. Пусть - циклическая подгруппа группы G максимального порядка, содержащая и b, c - произвольные элементы группы G. Так как , то . Это значит, что . Отсюда в свою очередь вытекает, что факторгруппа - элементарная абелева группа. В частности, если G порождается двумя элементами, то . Все конечные p-группы, имеющие циклическую подгруппу индекса p, описаны в [2]. Читая список таких групп (см. [2]), убеждаемся, что группа G является одной и только одной из групп типа 1, 3, указанных в условии теоремы.

Кроме того, если , то ясно, что G - группа типа 2 теоремы.

Необходимость доказана. Теорема доказана.

Теорема 3. В конечной неабелевой p-группе G, порождаемой не менее чем тремя элементами, все факторгруппы абелевы тогда и только тогда, когда G является одной из следующих групп:

,

где N либо циклическая группа, либо группа типа 1 теоремы 2, либо неабелева группа порядка. - неабелевы группы порядка .

, где

и

Доказательство. Легко проверить, что - циклическая группа и . В силу теоремы 1 в группе G все факторгруппы абелевы.

Необходимость. Пусть в конечной неабелевой p-группе G все факторгруппы абелевы. Тогда согласно теореме 1 - циклическая группа и . Как показано при доказательстве теоремы 2 - элементарная абелева группа. Следовательно, - циклическая группа. Отсюда и из того, что , следует, что любые 2 элемента группы G либо перестановочны, либо порождают одну из групп теоремы 2. Отметим, что среди образующих элементов группы G может быть элемент a, и . Действительно, возможна такая группа , где

Пусть - либо циклическая группа , порождаемая образующим элементом a, , либо группа типа 1 теоремы 2 с циклической подгруппой , являющейся циклической подгруппой максимального порядка. Покажем, что любые другие 2 неперестановочных элемента c и d порождают (без ограничения общности) подгруппу порядка . Без ограничения общности можно полагать, что . Так как - циклическая группа, , то . Но тогда и, следовательно, - подгруппа порядка . Ясно, что

а также . Следовательно, G - одна из групп теоремы.

Необходимость доказана. Теорема доказана.

Теорема 4. В конечной непростой ненильпотентной группе G все факторгруппы нильпотентны тогда и только тогда, когда G является одной из следующих групп:

1. , где P - силовская p-подгруппа, B - нильпотентная группа. - элементарная абелева p-группа, являющаяся единственным минимальным нормальным делителем, .

2. В G имеется единственный минимальный нормальный делитель N, являющийся неразрешимой группой, и факторгруппа - нильпотентная группа.

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно.

Необходимость. Пусть G - неразрешимая группа и N - ее минимальный нормальный делитель. Так как факторгруппа - нильпотентная группа, в частности, разрешимая группа, то N - неразрешимая группа. Ясно, что N - единственный минимальный нормальный делитель. Это значит, что G - группа типа 2 теоремы.

Пусть G - разрешимая ненильпотентная группа, все факторгруппы которой нильпотентны. Так как G - разрешимая группа, то в ней имеется неединичная инвариантная абелева подгруппа (например, неединичный абелев член ряда коммутантов). Поскольку всякая характеристическая подгруппа инвариантной подгруппы сама инвариантна, то отсюда следует, что в G имеется инвариантная абелева p-подгруппа A. Покажем, что силовская p-подгруппа P группы G инвариантна в G. Если, то доказывать нечего. Пусть . Так как факторгруппа - нильпотентная группа, то ее силовская p-подгруппа инвариантна в . Поэтому прообраз в G группы , силовская p-подгруппа P, инвариантна в G. Это значит, что , где B - нильпотентная группа. Так как факторгруппа нильпотентная, то .

Ясно, что A - единственный минимальный нормальный делитель.

Так как , то отсюда следует, что . С другой стороны, . Действительно, если, то и. Пусть и . Так как , то , что невозможно, так как . Покажем, что . Предположим, что в P имеется циклическая подгруппа порядка . Если все циклические подгруппы порядка принадлежат то либо , либо . Ни то, ни другое невозможно. Пусть и . Так как , то . Отсюда вытекает, что и, значит, или . Ни то, ни другое невозможно.

Следовательно, и G - группа типа 1 теоремы. Необходимость доказана. Теорема доказана.

Список литературы

1.Фаерштейн С.И., Фаерштейн И.С. Конечные непримарные группы, все собственные фактор-группы которых примарны // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 3(7). С. 17-18.

2.Холл М. Теория групп. М.: Наука, 1962.

Размещено на Allbest.ru