Об одном свойстве матричного уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 512.5; 330.4

Об одном свойстве матричного уравнения Х = Е - ХХ

В.Л. Чечулин

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

chechulinvl@mail.ru; (342) 2-396-424

Описано свойство матричного уравнения, описывающего стационарный оборот общественно необходимого времени (безынфляционность экономики) в многомерном (многоотраслевом) случае; указано, что это свойство упрощает итерационный процесс решения уравнения.

Ключевые слова: матричное уравнение оборота общественно необходимого времени; безынфляционность; резольвента.

матричный уравнение итерационный многомерный

On a property of the matrix equation Х = Е - ХХ

V. L. Chechulin

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15

chechulinvl@mail.ru; (342) 2-396-424

Described property of the matrix equation that describes the steady turnover of socially necessary time (non-inflationary economy) in the multivariate (multidisciplinary case) indicated that this property simplifies the process of iterative solutions of the equation.

Key words: matrix equation turnover of socially necessary time; bezyn-inflationary; resolution.

В работах [2], [3] была описана экономико-математическая модель, использующая для представления стационарного (безынфляционного) состояния экономки уравнение

х = 1 - хх, (1)

в [4] упоминалось о матричном уравнении оборота общественно необходимого времени, для представления экономики содержащей несколько отраслей (сферы необходимости, обязательств и свобод). Ниже описаны свойства матричного уравнения, указывающие простой способ его решения.

Одномерный случай

В одномерном случае уравнение (1) решается итерационным способом:

xn+1 = 1 - хnхn. (2)

Уравнение преобразуется к виду х - 1 = -хх, 1 - х = хх, 1 / (1 - х)=1 / хх и далее, так как

, получается

. (3)

Причём эта формула справедлива только в точке решения х = х* (х* - решение (1)).

Многомерный случай

В одномерном случае уравнение (1) переписывается в виде

Х = Е - ХХ, (4)

где Х - квадратная матрица размерности nn, Е - единичная (диагональная) матрица.

ХХ в этом случае представимо посредством матричных рядов ХХ = exp(Хln(X)), где экспонента и логарифм таковы [1]:

, (5)

, (6)

где |s - 1| < 1, (7)

s - собственные числа матрицы X.

Условие (7) выполнимо ввиду прикладного смысла матрицы X (её симметричности и того, что все её элементы по модулю меньше единицы).

По аналогии с (3) для матричного случая имеет место в точке решения Х=Х* (X* - решение (4)):

. (8)

Параметризованный случай

Для параметризованного случая

х = 1 - хх, (9)

Х = Е - ХХ, (10)

вышеприведённые заключения таковы.

Уравнение (9) преобразуемо к виду

х - 1 = - хх, 1 - х = хх, ,

, и далее, так как

,

получается , ,(11)

причём (11) справедливо только в точке решения уравнения (9).

Появление делителя 1/ у членов ряда в (11) указывает в содержательной интерпретации (см. [2], [3]) на замедление оборачиваемости высвобождаемого времени при увеличении параметра от 1 и выше.

Аналогично для матричного варианта уравнения (10) имеется следующее выражение, справедливое в точке решения уравнения (10):

, (12)

также, в содержательной интерпретации (см. [2], [3]) указывающее на замедление оборачиваемости высвобождаемого времени при увеличении параметра от 1 и выше.

Заключение

Установлены свойства матричного уравнения Х = Е - ХХ в виде выражения (12), которое является проверочным для решения уравнения (10), вычисляемого методом простой итерации:

Хn+1 = 1 - ХnХn.

Список литературы

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц: пер. с англ. М.: Наука, 1966. 576 с.

2. Чечулин В.Л. Модели безынфляционного состояния экономики и их приложения: моногр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2011. 112 с. URL: http://www.psu.ru/psu2/files/0444/chechulin_modeli_ekonomiki.pdf (дата обращения: 25.07.2013).

3. Чечулин В.Л., Леготкин В.С., Русаков С.В. Модели безынфляционности и устойчивости экономики и их приложения: моногр. / Перм. гос. ун-т Пермь, 2012. 112 с. URL: http://www.psu.ru/psu2/files/0444/chechulin_legotkin_rusakov_me_ustojchivost.pdf (дата обращения: 25.07.2013).

4. Чечулин В.Л. Об инфляционных циклах // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. Вып. 7 (33). 2009. C. 76-83.

Размещено на Allbest.ru