Описано содержательное сравнение теории множеств с самопринадлежностью (обладающей непротиворечивостью) с более ранними подходами, использующими ослабление или отрицание аксиомы фундирования; указано, что иные подходы, чем введение самопринадлежности на основании гносеологических и онтологических закономерностей познания, не дали доказательства непротиворечивости теории множеств, рассматривая лишь некоторые модификации известных аксиоматик.

Ключевые слова: теория множеств с самопринадлежностью; самопринадлежность; непротиворечивость теории множеств; аксиоматика Цермело - Френкеля; фундирование; антифундирование.

Предисловие

В работах [8], [10] была описана теория множеств с самопринадлежностью, обладающая непротиворечивостью (ввиду непредикативности [6], [7], [17], самоссылочности теории доказательство непротиворечиволсти выполнено средствами самой теории); эта теория множеств является неаксиоматизируемой, - построенной по типу исчисления объектов на множестве всех множеств М, с выделением из М объектов схемой свёртывания (выделение объектов из М не следует из аксиом, а представляет собой конструирование аксиом, количество которых является, таким образом, неопределённым ввиду невозможности описать все объекты из М). Ниже кратко описаны основания этой теории и сравнение с иными теориями множеств, допускающими ослабление аксиомы фундирования (запрещающей самопринадлежность множеств).

1. Основания теории множеств

Таблица 1. Диалектика единого и многого

Таблица 2. Отношение части и целого

При формализации этих интуитивно ясных отношений и выстраиваются операции с самопринадлежащими множествами" [8].

Более подробно свойства множеств с cамопринадлежностью и доказательство непротиворечивости теории рассмотрены в [8], [10].

2. Конечность самоссылочности

В этом параграфе указано, что в отличие от несамоссылочных, предикативных теорий, теория множеств с самопринадлежностью ведёт к бесконечной самоссылочности.

Известен следующий вид самореферентных высказываний [2], пусть имеется "семантически замкнутый язык с переменными по формулам: x, y, z, предикатом истинности Тарского Tr (x):

Tr (x) - x, (1)

и квантором самореферентности Sx:

SxP (x) -P (SxP (x)). (2)

Здесь P (x) называется ядром самореферентного предложения. Если правое вхождение формулы SxP (x) в формуле выше заменить на эквивалентную ей формулу P (SxP (x)), то в результате итерации такой замены получится следующая бесконечная последовательность выражений, напоминающая последовательность Пирса:

SxP (x) - P (SxP (x)) - P (P (SxP (x))) - - P (P (P (SxP (x)))) - …." [2]. (3)

То есть в предикативном выражении самореферентность (самоссылочность) влечёт бесконечные последовательности. Попытки формализовать в таком предикативном языке самопринадлежность множеств приводит к аналогичным бесконечным последовательностям, не имеющим содержательного в плане теории множеств смысла.

Однако при допущении непредикативных (самосслочных) конструкций самореферентность самопринадлежности имеет конечный вид. Например [2], пусть А = {а, А} - самопринадлежащее множество, A О A, тогда его запись (сравнимо с (3)) такова: А = {а, А} = (раскрытие в правой части А= {а, А} по определению) = {а, {а, А}} = (раскрытие многих взятых как многое, удаление скобок {}) = = {а, а, А} = (удаление подобных обозначений) = {а, А} = А. Более сложный пример: множество подмножеств множества А таково: Exp (А) = {{а}, {а, А}, {А}} = (раскрытие самопринадлежащего едино-многого объекта А) ={{а}, {а, А}, {а, А}} = (удаление подобных обозначений) = {{а}, {а, А}} = (раскрытие многих, взятых как многое, в одно многое) = {а, а, А} = (удаление подобных обозначений) = {а, А} = А.

аксиома фундирование теория множество

Самопринадлежащее множество имеет конечную самореферентную (самоссылочную) запись его обозначения. Таким образом, при самопринадлежности самореферентность (самоссылочность), соответствующая обозначению самопринадлежащих множеств конечна.

Ещё более сложный пример самоссылочности - это определение последователя к объекту. Простой последователь объекта А содержит объект А и себя самого [5]:

P ({А}) ={ [х] ОМ| ([х] ОЖ) или ₍[x] ОА либо [х] =P (А)) },

P ([А]) ={ [х] ОМ| ([х] ОЖ) или ([x] =А либо [х] =P (А)) }.

В этой формуле слева и справа стоит Р (А), - самоссылочность задаётся удвоением обозначения одного и того же объекта (это связано с удвоением образа действительности при отражении её в сознании), - при этом никакой дурной бесконечности не возникает, ведь справа и слева - один и тот же, самопринадлежащий объект:

P ({A}) ={{А}, P ({A}) }, P ([A]) ={ [А], P ([A]) }.

3. Аксиоматические теории множеств

В этом параграфе указано на ограниченность аксиоматического подхода в теории множеств.

В истории математики появление аксиоматических теорий (в смысле формальных логических систем) соответствует 5-му периоду развития (с нач. XIX в.). Программа Гильберта аксиоматизации математики, высказанная в начале XX в., потерпела крах ввиду теорем Гёделя, гласящих (для предикативных формальных систем) о невозможности доказательства непротиворечивости предикативной теории средствами самой этой теории. (Теория множеств с самопринадлежностью непредикативна и её ограничения теорем Гёделя не касаются, см. [9].)

Тем не менее при отрыве от реальности исследование разных типов предикативных аксиоматических систем превратилось в некую самоцель зарубежных исследователей, при этом сплошном теортетизировании, не имеющем созерцательных оснований и не выходящем далеко в практику (онтологически обособленном чисто логическом рассуждении), выявлялись связи между отдельными аксиоматиками и несколько изменялся состав аксиом, без попыток обоснования непротиворечивости аксиоматик (ввиду явных ограничений теорем Гёделя).

Как указано в [12], периоды развития аксиоматик теории множеств таковы (см. и [3]):

1900-1924. Предложены нефундированные (самопринадлежащие) множества (Мириманов и др.), попытка вписать которые в известные к тому времени теории множеств влекла за собой парадоксы (например, парадокс Мириманова).

1925-1949. Для исключения из рассмотрения самопринадлежащих множеств предложена аксиома фундирования, и посредсвом её построены аксиоматики теории множеств (из которых самая известная аксиоматика Цермело - Френкеля, ZF).

1950-1974. Рассматривались модели теории множеств без аксиомы фундирования.

С 1975 г. были допущены к рассмотрению не полностью фундированные множества (тon-well-founded sets) [12].

(Кроме этой периодизации следует отметить, что с 1993 г. были описаны множества с самопринадлежностью и множество всех множеств, о которых сказано выше и отдельно в [4], [10].)

Но сколько бы ни усложнялись аксиоматики, и сколь бы ни выявлялись новые связи между ними, их предикативность ничего не добавит к обоснованию их непротиворечивости (они так и останутся вне существенных самоссылочных оснований).

Ниже приведён типичный пример таких построений ([14], см. также [13]).

Рис.1. Диаграмма соотношения модификаций аксиоматики ZF (по [14])

Рассматриваются также и модификации аксиоматики теории множеств Неймана - Бернайса - Гёделя (NBG), см. [18], [19]. Вопросы обоснования введения тех или иных основоположений теории (аксиом) в этих работах не описаны, аксиоматика вводится произвольно, также не рассматриваются вопросы непротиворечивости получаемых теорий, возможности введения понятий множества всех множеств в этих модифицированных аксиоматиках тоже не усматривается.

4. Антифундирование

В этом параграфе указано на ограниченность использования в аксиоматике антифундирования.

После отказа от аксиомы фундирования наблюдались попытки описать не полностью фундированные множества и даже ввести аксиому антифундироания. Аксиома антифундирования описана подробно с её различными вариантами в [12]. При введении этой аксиомы в [12] указывается, что каждому множеству соответствует единственный ориентированный граф, соответствующий отношению принадлежности, и что не полностью фундированные множества предполагаются в наличии; причём стрелка (ребро графа) направлена почему-то не в сторону отношения включения, а от большего (содержащего) множества к меньшему (содержащемуся в нём). По [12] множество, содержащееся в самом себе, имеет граф, указанный на рис.2: Щ={Щ}. Но эта диаграмма развёртывается в [12] как бесконечная последовательность: >>>…, или в виде записи, подставляющей в правую часть выражения вместо Щ его определение Щ={Щ}: Щ={Щ}={{ Щ}}=…={{{{…}}}}=…; это сравнимо с бесконечной последовательностью Пирса, упомянутой в параграфе 3. Антифундирование по [12] заключается не в ликвидации бесконечных вложений (см. параграф 2), а в ограничении при рассмотрении только конечными графами множеств (без рассмотрения их бесконечного развёртывания). То есть используется всё тот же приём, что и при введении аксиомы фундирования. Если что-то неудобно, то не рассматривают это: при введении аксиомы фундирования отказались от рассмотрения самопринадлежащих множеств, при антифундировании отказываются рассматривать развёртывание самопринадлежности в бесконечную цепь.

При дальнейшем рассмотрении антифундирования выдумывание ограничений отказа от самопринадлежности доходило до курьёзов, так в [16], чтобы не рассматривать предложенное в [12] развёртывание бесконечной последовательности принадлежности указывается, что выражение х e y Ы x О y*, где отношение e - это отношение между индивидуумами, а О - это отношение между индивиддумом и классом, тогда а={а} из [12] (см. выше) заменяется на "х (х e а Ы x О y), и a*={a}, т.е. в [16] говорится, что {а} соответствует не самому собственно а, а его метке (colabel) a*, что означает принадлежность а не самому себе, а его метке (colabel) а*Рис.2. Множество Щ

Как видно в [16], при рассмотрении нефундированных множеств предпринимаются те же попытки, что и при введении аксиомы фундирования, - исключения из рассмотрения самопринадлежащих множеств. Аналогичны ограничения в [21], [20], в [15] описаны варианты рассмотрения бесконечных последовательностей при развёртывании графа принадлежности (см. рис.2 и выше; но в этих работах нет и попыток обоснования непротиворечивости теории множеств (основного вопроса).

Заключение