Математика на шахматной доске

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1

Государственное бюджетное образовательное учреждение Республики Мордовия среднего профессионального образования (среднее специальное учебное заведение) “Торбеевский колледж мясной и молочной промышленности”

МАТЕМАТИКА НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Коростелёв А. С., Сергушкин И.А.

Торбеево, Республика Мордовия

Для победы в шахматы необходимо логически мыслить, просчитать комбинации на несколько ходов вперёд и быть предельно внимательным. И в науке математике не обойтись без логики и точного расчёта. Отсюда вытекает, что форма мышления математика и шахматиста довольно близки, а математические способности нередко сочетаются с шахматными. Среди крупных ученых известно немало сильных шахматистов: математик академик А. А. Марков, физик академик П. Л. Капица. В то же время многие гроссмейстеры имеют математическое или близкое к нему образование. Склонность к занятиям математикой проявлялась даже у чемпионов мира по шахматам. Первый советский чемпион мира М. Ботвинник в последние годы все силы отдал разработке алгоритма игры в шахматы и, по существу, переквалифицировался в математика-прикладника.

Одной из самых популярных игр из числа тех, для которых необходима специальная доска, являются шахматы. Шахматная доска - объект моего исследования. Предмет исследования - математические задачи, связанные с шахматной доской и шахматными фигурами.

В своей статье я также затрону шахматную игру и проблемы, связанные с этой игрой в обычном ее понимании.

В этой части рассматривается несколько знаменитых головоломок на шахматной доске, задача на покрытие шахматной доски костями домино, задачи на разрезание, математика шахматных фигур все задачи носят математический характер и предлагались на предметной математической олимпиаде разных уровней.

Проделаем мысленно некоторые манипуляции с шахматной доской. Разрежем ее на четыре части, как показано на рисунке 1 (поля специально не раскрашены), и составим из них прямоугольник (рис.2).

Шахматная доска состоит из 64 клеток, а вот полученный прямоугольник -- из 65. При разрезании доски откуда-то взялось одно лишнее поле! математика шахматный задача доска

Рис 1 Рис 2

Разгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно. Если делать чертеж аккуратнее, то вместо диагонали прямоугольника появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами, которые кажутся почти слившимися. Это как раз и есть то самое «лишнее» поле.

Теперь рассмотрим любопытное шахматное доказательство теоремы Пифагора. Донное доказательство очень красочно, живо и понятно доказывает, что «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Нарисуем на доске квадрат, в результате чего она разбивается на пять частей:

сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (рис.3). А теперь взглянем на рисунок 4.

Рис 3 Рис 4

Перед нами те же четыре треугольника, а вместо одного большого квадрата два квадрата меньших размеров. Треугольники на обоих рисунках имеют равную площадь, значит, равная площадь и у оставшихся частей доски: сверху один квадрат, снизу -- два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие -- на его катетах, делаем вывод, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора доказана.

Можно ли покрыть костями домино 2x1 квадрат 8x8, из которого вырезаны противоположные угловые клетки? (рис. 5).

Можно было бы заняться скучными математическими рассуждениями, но шахматное решение и изящнее, и проще. Окрасим наш

Рис 5 Рис 6

урезанный квадрат (на рис. Сверху) в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без угловых полей al и b8 (рис. 6).

При покрытии доски каждая кость домино занимает одно белое и одно черное поле, и, значит, весь набор костей (в количестве 31 штуки) покрывает одинаковое число белых и черных полей. Но на нашей урезанной доске черных полей на два меньше, чем белых (вырезанные поля черные), и, следовательно, необходимого покрытия не существует! Итак, раскраска доски не только помогает шахматисту ориентироваться во время игры, но и позволяет решать необычные головоломки.

Задача 1. Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза -- на те поля, на которых был заматован его король (см. рис. 7, где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни.

Рис 7

Задача 2. На какое максимальное число разных частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении. Переворачивать части не разрешается. Максимальное число частей равно 18. На рис. 8(а,б) представлены два вида разрезов.

Рис. 8

Задача 3. Какое максимальное число полей доски можно пересечь одной прямой?

Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых -- девяти вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая-разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей. Из рис. 9 следует, что ровно столько полей пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток. Итак, одним разрезом можно пересечь 15 полей доски.

Рис. 9

Задача 4. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля?

Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно -- по одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали. Однако, оказывается, что и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других -- в направлениях почти параллельных второй диагонали доски (рис. 10).

Рис. 10

Задача 1. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так,, чтобы одна не могла взять другого?

Решение: Шахматная доска имеет 8 горизонталей и 8 вертикалей, т.е. 64 клетки. Всего способов взаимного расположения на доске двух фигур равно 64*63. Определим количество расположений двух ладей так, чтобы они не могли взять друг друга. На каждой горизонтали таких способов будет 8*7. Так как различных горизонталей и вертикалей 16, то всего количество различных вариантов составит 16*8*7. Таким образом, количество искомых способов равно64*63-16*8*7=3136.

Задача2. Сколькими способами король с поля е1может добраться кратчайшим путём до поля d8?

Решение. Кратчайшее путешествие короля до цели занимает семь ходов, причём он может перемещаться любими зигзаобразными путями, оставаясь при этом внутри квадрата e1-a5-d8-h4. Для подсчёта искомого числа составим таблицу чисел, которые будем перемещать прямо на полях доски (рис. 1). Число стоящее на данном поле равно числу кратчайших путей до него с поля е1. На поля d2, e2,f2 король может попасть кратчайшим путём единственным способом, и поэтому на них стоят единицы. По той же причине единицы стоят на полях с3 и g3. На полеd3 за два хода король попадает двумя способами, а на е3- тремя. В общем случае число кратчайших до данного поля складывается из одного, двух и трёх чисел, стоящих на полях предыдущей горизонтали с которых король попадает на данное поле в один ход. Пользуясь этой закономерностью, мы, в конце концов заполним всю таблицу и получим с поля е1до поля d8 может добраться кратчайшим путём 357 способами.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1

Рис. 1

Задача 3. На шахматной доске размером 8X8 отметили 17 клеток. Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню потребуется не менее трёх ходов для попадания с одной из них на другую.

Решение. Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке рис.3. Легко проверить, что путь коня от любой из четырёх клеток этой фигуры до любой другой состоит не менее, чем из трёх ходов. Шестнадцатью такими фигурами можно замостить всю доску (рис. 4). По принципу Дирихле одна из этих шестнадцати фигур содержит, по крайней мере, две отмеченные клетки. Они и будут искомыми.

Рис. 3

Рис. 4

Шахматы справедливо считают единственной игрой из всех, придуманных человеком, в которой сочетаются спорт, искусство и наука. Почему шахматы привлекательны для людей разных возрастов и профессий? Потому что, играя в шахматы, мы приобретаем много полезных качеств, тренируем память, учимся упорству, находчивости, развиваем фантазию. Занятие шахматами способствует развитию математических способностей человека. Шахматы - это и вид интеллектуальной борьбы, и соревнование, а любое соревнование совершенствует сильные черты личности.

Под словом «игра» понимается не только забава, отдых или спорт, но, что гораздо важнее, возможность создать на шахматной доске необычное, фантастическое - в этом шахматы близки к искусству. Но к шахматам можно относиться и как к науке со своими законами, принципами. Шахматы содержат в себе элементы научного исследования - именно такой подход свойствен многим выдающимся шахматистам. Задачи, связанные с шахматной теорией, широко применяются в математике.

В ходе работы мы исследовали связь математики и шахмат, рассмотрели математические решения задач, связанных с шахматной доской и шахматными фигурами. Таким образом, цель работы достигнута. Работу можно использовать для подготовки к олимпиадам, конкурсам, проведения кружков, спецкурсов.

Размещено на Allbest.ru