В мире аликвотных дробей
Аликвотные дроби в Древнем Египте. История возникновения аликвотных дробей, их свойства и применение при решении задач. Гипотеза Эрдёша-Штрауса, ее обощение. Разложение обыкновенных дробей на аликвотные, действия с ними и примеры решения задач.
Рубрика | Математика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 03.05.2019 |
Размер файла | 276,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru//
Размещено на http://www.allbest.ru//
Научно-исследовательская работа
«В мире аликвотных дробей»
В мире аликвотных дробей
Цель исследования: познакомиться с историей появления аликвотных дробей и научиться решать задачи, связанные с аликвотными дробями.
Гипотеза исследования: я предполагаю, что найду интересные сведения об аликвотных дробях, рассмотрю формулы по разложению дробей на аликвотные дроби, что поможет более рационально решать сложные олимпиадные задачи.
Задачи работы:
Найти в различных источниках информацию по истории появления аликвотных добей.
Провести анкетирование среди обучающихся 8-ого и 6-ого классов по теме «Знаешь ли ты аликвотные дроби».
Изучить свойства аликвотных дробей.
Научиться использовать аликвотные дроби при решении задач.
Узнать, как применяются аликвотные дроби в современном мире.
Предмет исследования: аликвотные и египетские дроби.
Объекты исследования: история возникновения аликвотных дробей, их свойства и применение при решении задач.
Актуальность темы: расширяет знания по истории развития математики и помогает решать сложные олимпиадные задачи по математике более рациональными способами.
Введение
С обыкновенными дробями мы познакомились еще в 5 классе. А при решении одной из олимпиадных задач я столкнулась, казалось бы, для меня, с новым понятием - «Аликвотные дроби». Но, оказывается, мы все хорошо знаем эти дроби без их исторического названия - аликвотные. Эта название меня очень заинтересовало, поэтому я решила познакомиться с историей аликвотных дробей и их применением.
Дробь вида называется аликвотной дробью, а сумма дробей, числитель которых равен 1, называется египетской дробью. Например, + .
Эти дроби начали использоваться еще в древности. Необходимость в них возникла в результате жизнедеятельности человека. Например, при дележе добычи после охоты, измерении величин при помощи выбранной единицы измерения и т.д.
Конечно сейчас, в современной математике, больше используют обыкновенные и десятичные дроби, однако аликвотные дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.
Я предвижу вопрос читателя, а зачем школьнику нужны аликвотные дроби и для чего изучать эту тему?
Во-первых, мы знакомимся с историей математики, с различными этапами развития теории чисел.
Во-вторых, зная свойства аликвотных дробей, мы можем решать более обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
1. История аликвотных дробей
1.1 Возникновение аликвотных дробей
Всем хорошо известно, что вначале появились натуральные числа, в области, которых всегда выполнимы два математических действия: сложение и умножение. Но деление выполнимо не всегда. И при возникновении этой проблемы, еще в древности (при решении практических задач: разделение участка на несколько частей, деление добычи и т.д.) привело к появлению дробных чисел. Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида . В дальнейшем с помощью этих дробей составлялись дроби вида - рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.
1.2 Аликвотные дроби в Древнем Египте
В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»).
Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot - несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби. Египтяне ставили иероглиф над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:
= =
Египтяне использовали только две дроби, не являющиеся долями - две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы = ; = . Были специальные знаки и для других аликвотных дробей.
=
(зрачок) =
(бровь) =
(меньшая часть глаза) =
(капля слезы) =
(знак сокола) =
(уаджет) = = + + + + + (сумма аликвотных дробей - египетская дробь).
Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того, чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать, чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».
2. Аликвотные дроби на практике
2.1 Разложение обыкновенных дробей на аликвотные
Алгоритм сложения и вычитания аликвотных дробей нам хорошо знаком. Например, + = ; - = . Исходя из этого, я считаю, что обыкновенную дробь можно представить в виде суммы двух или более аликвотных дробей.
Рассмотрим примеры:
Представим дробь в виде суммы аликвотных дробей.
= + x; x = - ; x =
= + y; y = - ; y = ,
из этого следует, что = + + .
Рассмотрим дробь , где знаменатель представлен в виде произведения двух множителей, а числитель равен сумме этих чисел, тогда такую дробь всегда можно представить в виде суммы двух аликвотных дробей = + .
= = +
= = +
Для того чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, иногда приходится проявлять, определенную изобретательность. Скажем, число выражается так + +. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей появилась идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби:
= +
Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:
= -
Значит аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей.
Вернемся к формуле и докажем это равенство:
= +
+ , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:
, после сокращения получаем: .
Итак, получается, что = . Наша формула верна.
2.2 Решение задач с аликвотными дробями
аликвотный дробь задача
1. Рассмотрим одну из старинных задач по данной теме: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми. Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: = + + . Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать 24 разреза».
2. Представляю решения нескольких задач из сборника «Нестандартные задачи по математике», 7-11 класс (Галкин Е.В.).
1. Вычислите сумму: S = + + + + … +
Решение:
Представим каждую дробь в виде = ; = ; = и т.д.
Тогда = 1 - ; = - ; = - и т.д.
Получим:
S = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) = 1 - = 0,99
Ответ: 0,99.
2. Вычислите сумму:
а) + + + … +
Решение: + + + … + = 1 - + + - + … + - =
= 1 - = = .
б) + + + … + . Предлагаю решить читателю.
3. Рассмотрим задачу из сборника «Международные математические олимпиады» (Фомин А. А., Кузнецова Г. М.).
Пусть p и q - натуральные числа такие, что
= 1 - + - + … - + . Докажите, что число p делится 1979.
Решение:
Для решения воспользуемся справедливым равенством a - b = a + b - 2b.
1 - + - … - + = 1 + + + … + + - 2 ( + + + … + )= = 1 + + + … + + - (1 + + + … + ) = + + … + + .
Число слагаемых в полученной сумме четно (658 слагаемых), а сумма дробей, равностоящих от концов, равна
+ =
+ = , в общем виде это можно записать так
+ = , где k = 1, 2, 3, …, 329, 330.
+ + … = .
Таким образом, после сложения всех дробей
= , где А - некоторое натуральное число.
p = 1979A, из этого следует, что р 1979.
2.3 Открытая проблема
Гипотеза Эрдёша-Штрауса, сформулированная в 1948 году Палом Эрдёшем и Эрнстом Штраусом, утверждает, что для всякого целого числа n ? 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что = + + .
Пал Эрдёш, родившийся в 1913 году в Будапеште, Австро-Венгрия, являлся одним из знаменитых венгерских математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей.
Эрнст Штраус - немецко-американский математик еврейского происхождения, родился в 1922 году в Мюнхене, Германия, который помог найти в теории Евклида и в теории Рамсея арифметические свойства аналитических функций.
Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ? 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ? N существует разложение = + + .
3. Анкетирование
Среди учащихся 6-8 классов было проведено анкетирование с целью выявления знаний по теме «Аликвотные дроби».
Анкета:
Выполните действия:
+ = + = + =
Выполните обратное действие:
Представьте дробь в виде суммы двух или более дробей, числители которых равны единице.
= = =
Как называются дроби, с которыми вы выполняли действия? ________________
Знаете ли вы дополнительное название для дробей, числители которых равняются единице? _____________.
3.1 Анализ анкетирования
В анкетровании приняли участие 38 учащихся 6-8 классов.
Только два человека правильно ответили на вопрос, что эти дроби называются аликвотными.
Заключение
Надеюсь, я правильно предугадала мысли читателей - зачем нам нужны аликвотные дроби и что мне дала эта работа?
Во-первых, я соприкоснулась с интересной страницей из истории математики, узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Их записывали при помощи определенных знаков.
Во-вторых, зная аликвотные дроби, я смогла решить более обширный класс нестандартных задач, которые встречаются в олимпиадных работах разных уровней.
В-третьих, разложение дроби на сумму аликвотных - это настоящая головоломка, которая развивает у нас сообразительность, внимательность, аккуратность.
Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, я пришла к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д., хотя этот процесс очень сложный. Поэтому удобнее пользоваться формулами, рассмотренными в данной работе. И, конечно, если есть открытая проблема, значит, есть к чему стремиться!
Список используемой литературы
1. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11 класс. Волгоград. Учитель, 2008 год.
2. Галкин Е. В. «Нестандартные задачи по математике» 7-11 класс. Челябинск. Взгляд, 2004 год.
3. Фомин А. А., Кузнецова Г. М. «Международные математические олимпиады». Москва. ДРОФА, 2006 год.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особенности возникновения и использования дробей в Египте. Особенности применения шестидесятеричных дробей в Вавилоне, греческими и арабскими математиками и астрономами. Отличительные черты дробей в Древнем Риме и Руси. Дробные числа в современном мире.
презентация [1,3 M], добавлен 29.04.2014Из истории десятичных и обыкновенных дробей. Действия над десятичными дробями. Сложение (вычитание) десятичных дробей. Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей.
реферат [8,3 K], добавлен 29.05.2006На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества. Виды дробей. Запись дробей в Египте, Вавилоне. Римская система дробей. Дроби на Руси - "ломаные числа".
презентация [1022,3 K], добавлен 21.01.2011Обозначение десятичной дроби в разное время. Использование десятичной системы мер в Древнем Китае. Запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и правила действия с ними. Симон Стевин как фландрский учений, изобретатель десятичных дробей.
презентация [169,0 K], добавлен 22.04.2010Появление слова "дробь" в русском языке в VIII веке. Старые названия дробей: полтина, четь, треть, полчеть, полтреть. Особенности древнеримской дробной системы. Л. Пизанский - ученый, который стал использовать и распространять современную запись дробей.
презентация [2,5 M], добавлен 18.11.2013Класс рациональных функций. Практический пример решения интегралов. Линейная замена переменной. Сущность и главные задачи метода неопределенных коэффициентов. Особенности, последовательность представления подынтегральной дроби в виде суммы простых дробей.
презентация [240,6 K], добавлен 18.09.2013Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Числитель и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дробь. Смешанное число. Приведение к общему знаменателю. Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби. Умножение и деление дробей.
презентация [48,9 K], добавлен 11.10.2011Понятие "задача" и процесс ее решения. Технология обучения приемам восприятия и осмысления, поиска и составления плана решения. Методика обучения решению задач различными методами. Сущность, смысл и обозначение дробей, практические способы их сравнения.
методичка [242,5 K], добавлен 03.04.2011Понятие первообразной функции. Виды иррациональных функций, приемы их интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, алгебраических иррациональностей, биномиальных дифференциалов, тригонометрические подстановки. Примеры решения типовых задач.
курсовая работа [278,4 K], добавлен 07.06.2012Уравнение в дробях количества знаков после запятой, выполнение сложения и вычитания, не обращая внимания на запятую. Практическая значимость теории десятичных дробей. Самостоятельная работа с последующей проверкой результатов, выполнение вычислений.
презентация [35,7 K], добавлен 02.07.2010