В мире аликвотных дробей

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Научно-исследовательская работа

«В мире аликвотных дробей»



В мире аликвотных дробей

Цель исследования: познакомиться с историей появления аликвотных дробей и научиться решать задачи, связанные с аликвотными дробями.

Гипотеза исследования: я предполагаю, что найду интересные сведения об аликвотных дробях, рассмотрю формулы по разложению дробей на аликвотные дроби, что поможет более рационально решать сложные олимпиадные задачи.

Задачи работы:

Найти в различных источниках информацию по истории появления аликвотных добей.

Провести анкетирование среди обучающихся 8-ого и 6-ого классов по теме «Знаешь ли ты аликвотные дроби».

Изучить свойства аликвотных дробей.

Научиться использовать аликвотные дроби при решении задач.

Узнать, как применяются аликвотные дроби в современном мире.

Предмет исследования: аликвотные и египетские дроби.

Объекты исследования: история возникновения аликвотных дробей, их свойства и применение при решении задач.

Актуальность темы: расширяет знания по истории развития математики и помогает решать сложные олимпиадные задачи по математике более рациональными способами.



Введение

С обыкновенными дробями мы познакомились еще в 5 классе. А при решении одной из олимпиадных задач я столкнулась, казалось бы, для меня, с новым понятием - «Аликвотные дроби». Но, оказывается, мы все хорошо знаем эти дроби без их исторического названия - аликвотные. Эта название меня очень заинтересовало, поэтому я решила познакомиться с историей аликвотных дробей и их применением.

Дробь вида называется аликвотной дробью, а сумма дробей, числитель которых равен 1, называется египетской дробью. Например, + .

Эти дроби начали использоваться еще в древности. Необходимость в них возникла в результате жизнедеятельности человека. Например, при дележе добычи после охоты, измерении величин при помощи выбранной единицы измерения и т.д.

Конечно сейчас, в современной математике, больше используют обыкновенные и десятичные дроби, однако аликвотные дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

Я предвижу вопрос читателя, а зачем школьнику нужны аликвотные дроби и для чего изучать эту тему?

Во-первых, мы знакомимся с историей математики, с различными этапами развития теории чисел.

Во-вторых, зная свойства аликвотных дробей, мы можем решать более обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.



1. История аликвотных дробей

1.1 Возникновение аликвотных дробей

Всем хорошо известно, что вначале появились натуральные числа, в области, которых всегда выполнимы два математических действия: сложение и умножение. Но деление выполнимо не всегда. И при возникновении этой проблемы, еще в древности (при решении практических задач: разделение участка на несколько частей, деление добычи и т.д.) привело к появлению дробных чисел. Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида . В дальнейшем с помощью этих дробей составлялись дроби вида - рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.

1.2 Аликвотные дроби в Древнем Египте

В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»).

Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot - несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби. Египтяне ставили иероглиф над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:



= =

Египтяне использовали только две дроби, не являющиеся долями - две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы = ; = . Были специальные знаки и для других аликвотных дробей.

=

(зрачок) =

(бровь) =

(меньшая часть глаза) =

(капля слезы) =

(знак сокола) =

(уаджет) = = + + + + + (сумма аликвотных дробей - египетская дробь).

Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того, чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать, чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».



2. Аликвотные дроби на практике

2.1 Разложение обыкновенных дробей на аликвотные

Алгоритм сложения и вычитания аликвотных дробей нам хорошо знаком. Например, + = ; - = . Исходя из этого, я считаю, что обыкновенную дробь можно представить в виде суммы двух или более аликвотных дробей.

Рассмотрим примеры:

Представим дробь в виде суммы аликвотных дробей.

= + x; x = - ; x =

= + y; y = - ; y = ,

из этого следует, что = + + .

Рассмотрим дробь , где знаменатель представлен в виде произведения двух множителей, а числитель равен сумме этих чисел, тогда такую дробь всегда можно представить в виде суммы двух аликвотных дробей = + .

= = +

= = +

Для того чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, иногда приходится проявлять, определенную изобретательность. Скажем, число выражается так + +. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей появилась идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби:

= +

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

= -

Значит аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей.

Вернемся к формуле и докажем это равенство: 

= +

+ , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

, после сокращения получаем: .

Итак, получается, что = . Наша формула верна.

2.2 Решение задач с аликвотными дробями

аликвотный дробь задача

1. Рассмотрим одну из старинных задач по данной теме: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми. Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: = + + . Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать 24 разреза».

2. Представляю решения нескольких задач из сборника «Нестандартные задачи по математике», 7-11 класс (Галкин Е.В.).

1. Вычислите сумму: S = + + + + … +

Решение:

Представим каждую дробь в виде = ; = ; = и т.д.

Тогда = 1 - ; = - ; = - и т.д.

Получим:

S = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) = 1 - = 0,99

Ответ: 0,99.

2. Вычислите сумму:

а) + + + … +

Решение: + + + … + = 1 - + + - + … + - =

= 1 - = = .

б) + + + … + . Предлагаю решить читателю.

3. Рассмотрим задачу из сборника «Международные математические олимпиады» (Фомин А. А., Кузнецова Г. М.).

Пусть p и q - натуральные числа такие, что

= 1 - + - + … - + . Докажите, что число p делится 1979.

Решение:

Для решения воспользуемся справедливым равенством a - b = a + b - 2b.

1 - + - … - + = 1 + + + … + + - 2 ( + + + … + )= = 1 + + + … + + - (1 + + + … + ) = + + … + + .

Число слагаемых в полученной сумме четно (658 слагаемых), а сумма дробей, равностоящих от концов, равна

+ =

+ = , в общем виде это можно записать так

+ = , где k = 1, 2, 3, …, 329, 330.

+ + … = .

Таким образом, после сложения всех дробей

= , где А - некоторое натуральное число.

p = 1979A, из этого следует, что р 1979.

2.3 Открытая проблема

Гипотеза Эрдёша-Штрауса, сформулированная в 1948 году Палом Эрдёшем и Эрнстом Штраусом, утверждает, что для всякого целого числа n ? 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что = + + .

Пал Эрдёш, родившийся в 1913 году в Будапеште, Австро-Венгрия, являлся одним из знаменитых венгерских математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей.

Эрнст Штраус - немецко-американский математик еврейского происхождения, родился в 1922 году в Мюнхене, Германия, который помог найти в теории Евклида и в теории Рамсея арифметические свойства аналитических функций.

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ? 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ? N существует разложение = + + .



3. Анкетирование

Среди учащихся 6-8 классов было проведено анкетирование с целью выявления знаний по теме «Аликвотные дроби».

Анкета:

Выполните действия:

+ = + = + =

Выполните обратное действие:

Представьте дробь в виде суммы двух или более дробей, числители которых равны единице.

= = =

Как называются дроби, с которыми вы выполняли действия? ________________

Знаете ли вы дополнительное название для дробей, числители которых равняются единице? _____________.

3.1 Анализ анкетирования

В анкетровании приняли участие 38 учащихся 6-8 классов.

Только два человека правильно ответили на вопрос, что эти дроби называются аликвотными.



Заключение

Надеюсь, я правильно предугадала мысли читателей - зачем нам нужны аликвотные дроби и что мне дала эта работа?

Во-первых, я соприкоснулась с интересной страницей из истории математики, узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Их записывали при помощи определенных знаков.

Во-вторых, зная аликвотные дроби, я смогла решить более обширный класс нестандартных задач, которые встречаются в олимпиадных работах разных уровней.

В-третьих, разложение дроби на сумму аликвотных - это настоящая головоломка, которая развивает у нас сообразительность, внимательность, аккуратность.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, я пришла к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д., хотя этот процесс очень сложный. Поэтому удобнее пользоваться формулами, рассмотренными в данной работе. И, конечно, если есть открытая проблема, значит, есть к чему стремиться!



Список используемой литературы

1. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11 класс. Волгоград. Учитель, 2008 год.

2. Галкин Е. В. «Нестандартные задачи по математике» 7-11 класс. Челябинск. Взгляд, 2004 год.

3. Фомин А. А., Кузнецова Г. М. «Международные математические олимпиады». Москва. ДРОФА, 2006 год.

Размещено на Allbest.ru