В мире процентов

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы "Школа № 2025"

Московский Городской Конкурс исследовательских и проектных работ обучающихся

Исследовательская работа

«В мире процентов»

Секция: МАТЕМАТИКА

Автор работы: Разживина Александра,

5 «К» класс, ГБОУ Школа № 2025

тел: 89175050133

Научный руководитель:

Быканова Валентина Валерьевна,

учитель математики



Оглавление

Введение

В мире процентов

1. История процента

2. История знака процент

3. Проценты на практике

3.1 Типы задач на проценты

3.2 Формулы для решения задач на проценты

3.3 Методы решения задач на проценты

3.4 Примеры решения задач на проценты

4. Проценты в повседневной жизни

4.1 Проценты в жизни нашей семьи

4.2 Процентные вычисления в жизни 5 «К» класса

4.3 Задачи на проценты из ОГЭ

Заключение

Литература

Приложение 1

Приложение 2



«Знающие - вспомнят еще раз, незнающие - пусть научатся».

Введение

Если внимательно посмотреть по сторонам, роль математики в жизни человека становится очевидной. Компьютеры, современные телефоны и прочая техника сопровождают нас каждый день, а их создание невозможно без использования законов и расчетов великой науки. Однако роль математики в жизни людей и общества не исчерпывается подобным ее применением. Иначе, например, многие деятели искусства могли бы с чистой совестью сказать, что время, посвященное в школе решению задач и доказательству теорем, было потрачено впустую. Тем не менее, это не так

В школьном курсе математики учащиеся знакомятся с понятием процента. Тема «Проценты» имеет очень древние корни, но, несмотря на это, она весьма актуальна во все времена. В современном мире человеку довольно часто приходится встречаться с различными рекламными надписями, в которых присутствует знак «%», например: «скидка 50% на весь товар», или «спец предложение - скидки 25%» и многое-многое другое. При покупке многих продуктов питания, так же на глаза попадается этот «загадочный» знак. Но ведь, чтобы разобраться в этих надписях и понимать, какую информацию они несут, наверное, всё же нужно хорошо разбираться в процентах, их исчислении.

В мире процентов

Цель исследования: познакомиться с историей «процента» и научиться, на примере общего подхода к решению задач, применять полученные знания о процентах в повседневной жизни.

Гипотеза исследования: я предполагаю, что найду интересные сведения о процентах, рассмотрю разные виды задач и научусь применять полученные знания в повседневной жизни. Так же составлю подборку задач в помощь учащимся 9-ых классов для подготовки к экзамену по математике.

Задачи работы:

1. Найти в различных источниках информацию по истории появления процентов.

2. Изучить типы задач на проценты и методы их решения.

3. Узнать, как применяются проценты в современном мире.

4. Составить брошюру «В помощь выпускнику. Задачи на проценты»

Предмет исследования: проценты.

Объекты исследования: история возникновения процентов, методы решения задач на проценты.

Актуальность темы: проценты - это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Ведь почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты.

В качестве методов и приемов исследования применялись:

1. Поиск информации о процентах в различных источниках: библиотеке, интернете, газетах, учебниках.

2. Сравнение и обобщение информации.

3. Анализ собранной информации.

4. Обобщение материала

Как в жизни современного человека проявляют себя проценты? Нужны ли каждому из нас хотя бы элементарные знания о процентах? Ответом на эти вопросы является данная работа.

знак формула задача процент



1. История процента

История происхождения процентов началась еще в древности.

И первыми идею выражать, таким образом, части целого в одних и тех же долях, придумали древние вавилоняне. Дело в том, что этот строй пользовался шестидесятеричными дробями, поэтому им просто необходимо было такое нововведение. До наших дней дошли клинописные таблицы вавилонян, при помощи которых можно легко и быстро определить, какова сумма процентных денег.

У народов Индии своя история появления процентов.

Проценты были известны в Индии ещё в 5 веке. Индийские математики по-своему считали процент. И это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Они пользовались тройным правилом (использованием пропорции). Кроме этого, в Индии проводили более сложные операции с процентами, чем просто считать сдачу

История появления процентов в Древнем Риме.

Официально история появления процентов начинается с тех времен, когда сенату пришлось устанавливать максимально допустимый процент взимаемый с должников, чтобы заимодавцы "не переусердствовали", в "выбивании долгов". Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: "На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы". Кстати, именно из Рима проценты начали свое "шествие" по миру.

В Средние века очень сильно распространена была торговля, в связи с чем много внимания было обращено на правильность и умение высчитывать проценты. Тогда уже проценты, история которых началась гораздо раньше, начали свою эволюцию.

Торговцам приходилось считать не просто проценты, а проценты с процентов, сложные проценты и т. д. Некоторые компании даже составляли свои таблицы и схемы по вычислению процентов. Эти таблицы, кстати, считались коммерческой тайной и тщательно охранялись. Но уже в 1584 году таблицы с расчетом процентов перестали быть тайной. Дело в том, что Симон Стевен, инженер из Нидерландов, опубликовал таблицу процентов.

Употребление термина "процент" в России начинается в конце 18 века. Долгое время под процентами понималась исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Проценты принимались только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась.



2. История знака процент

Существует две версии происхождения знака %.

Одна из версий, больше похожая на вымысел, это ошибка наборщика, который, набирая в 1685 году в Париже книгу под названием "Руководство по коммерческой арифметике" Матье де ла Порта, по ошибке вместо слова "cto" поставил знак %.

По второй, более правдоподобной версии, знак % это упрощение буквы t в слове "cto" (которым ранее обозначали проценты). В скорописи буква t превратилась в черту (/), а затем и современный знак cto - c/o - %. Мы уже не узнаем, какая из версий правильная, однако знаком % пользуются в современном мире, и очень активно.

Процент -- это одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Это математическое понятие часто встречаются в повседневной жизни.



3. Проценты на практике

Чтоб решить на проценты задачу.

Поступайте вы так, не иначе:

Начинайте решенье с того -

Узнавайте цену одного.

Сколько надо процентов, тогда

Вы найдете легко, без труда

3.1 Типы задач на проценты

1) Нахождение процента от числа.

2) Нахождение числа по его проценту.

3) Нахождение процентного отношения двух чисел.

3.2 Формулы для решения задач на проценты

1) Формула вычисления процента от заданного числа.

Если дано число A и необходимо вычислить число B, составляющее P процентов от A, то

В =

2) Формула вычисления числа по его проценту.

Если дано число B, которое составляет P процентов от числа A и необходимо найти значение числа A, то

А =



3) Формула вычисления процентного отношения одного числа от другого.

Если дано два числа A и B и необходимо определить, какой процент составляет число B от числа A, то

P =

3.3 Метод решения задач с процентами

Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции.

Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:

все - 100%

часть - часть в %

которые можно записать в виде пропорции

Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.

3.4 Примеры решения задач на проценты:

Пример 1. Найти число B составляющее 15% от числа 30.

Решение.

30 соответствует 100%

x соответствует 15%



Запишем пропорцию

решим полученное уравнение x = = 4,5

Ответ: 15% от 30 равно 4.5.

Пример 2. Найти сколько процентов составляет число 35 от числа 20.

Решение.

20 соответствует 100%

35 соответствует x

Запишем пропорцию

решим полученное уравнение x = = 175%

Ответ: 35 составляет 175% от 20.

Пример 3. Найти число, 5% которого равны 20.

Решение.

x соответствует 100%

20 соответствует 5%

Запишем пропорцию

решим полученное уравнениеx = = 400

Ответ: 400.



4. Проценты в повседневной жизни

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Проценты часто используются в различных выражениях, например,

? «Работать за проценты» -- работать за вознаграждение, исчисляемое в зависимости от прибыли или оборота.

? «На (все) сто процентов» -- полностью.

? «Процентщик» -- человек, ссужающий деньги под большие проценты, ростовщик.

4.1 Проценты в жизни семьи

Расчет тарифов за коммунальные услуги. Цены за пользование газом и электроэнергией постоянно повышаются. Я сравнила квитанции на оплату комунальных услуг в нашей семье за январь 2017 и за январь 2019 года. Данные приведены в таблице. Цены повысились на 10%.

1. Электроэнергия. В январе 2017 года наша семья платила 850 рублей, но уже в 2019 году тариф повысился на 26%, т. е. на 250 рублей.

2. Вода. В январе 2017 года наша семья платила 850 рублей, но уже в 2019 году тариф повысился на 11%, т. е. на 100 рублей.

3. Газ. В январе 2017 года наша семья платила 3900 рублей, но уже в 2019 году тариф повысился на 18%, т. е. на 700 рублей.



Данные приведены в таблице.

Коммунальные услуги	2017	2019
Электроэнергия	950 р.	1200 р.
Вода	850 р.	950 р.
Газ	3900 р.	4600

4.2 Процентные вычисления в жизни 5 «К» класса

Успеваемость 5 «К» класса за 1 - 2 четверти:

1 четверть:

3 на «5»

7 на «4»

15 на «3»

= 28% (на «4»)

(на «5»)

100% - (28% + 12% ) = 60% (на «3»)

2 четверть:

4 на «5»

8 на «4»

13 на «3»

= 32% (на «4»)

= 16% (на «5»)

100% - (32% + 16%) = 52% (на «3»)

Проведя расчеты, я пришла к выводу, что в первой четверти процент отличников и хорошистов меньше, чем во второй.

Класс по годам рождения:

Всего - 25 человек

2008 год - 2 человека

2007 год - 16 человек

2006 год - 7 человек

х = = 4% - 2008 год

х =

х =

Проведя вычисления, я узнала, что большая часть моих одноклассников родилась в 2007 году, в 2006 году немного меньше, а уже в 2006 году совсем мало.

4.3 Задачи на проценты из сборников ОГЭ

Изучив сборники для подготовки к ОГЭ, я узнала, что в них встречаются задачи на проценты с прикладным применением в быту и повседневной жизни. Примеры задач и их решение:

1) Плата за телефон составляет 350 рублей в месяц. В следующемгоду она увеличится на 12 %. Сколько рублей придется платить ежемесячно за телефон в следующем году?

Согласно условию 350 рублей - это 100%, тогда 12% - это х. Составим пропорцию:

350 = 100%

Х = 12%

Х =

= 392 руб.

Ответ: 392 рубля придется платить ежемесячно за телефон в следующем году.

2) На счет в банке, доход по которому составляет 10% годовых, внесли 28 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Согласно условию 28 тыс. р. - это 100%, тогда 10 % - это х. Составим пропорцию:

28000 = 100%

Х = 10%

Х =

28000 + 2800 = 30800 руб.

Ответ: 30800 рублей будет на этом счете через год.

3) Городской бюджет составляет 81 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 15%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

Согласно условию 81млн. р. - это 100%, х - это 15%. Составим пропорцию:

81000000 = 100%

х = 15%

х =

Ответ: 12150000 рублей потрачено на эту статью бюджета.

4) Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 940 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

Согласно условию 940 рублей - 50%, тогда 100% - х. Составим пропорцию:

940 = 50%

х = 100%

х =

Ответ: 1880 рублей стоил товар до распродажи.

Большее количество задач подобрано в брошюре «В помощь при подготовке к экзамену. Задачи на проценты». (Приложение 1)



Заключение

В математике есть термин,

Именуется «процент».

Мы вам с точностью ответим:

Проще ничего и нет.

Это, кто ещё не знает,

Одна сотая числа.

Кто процент легко считает,

Тот повсюду голова.

Измеряются в них скидки,

Что торговцы нам дают,

Вклады в банках и кредиты,

И инфляция валют.

Если в классе все чихают,

Есть большой процент больных, --

Карантин пообещают,

От учёбы передых.

Как маткласс, мы твёрдо скажем:

Знать процент - большая честь.

Без процентов не дано нам

Ни дышать, ни пить, ни есть.

И конечно, пожелаем

Вам, и нам, и всем подряд,

Чтоб в учёбе был достигнут

Стопроцентный результат!

Шабуров Александр

Данная исследовательская работа ведет к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства, способствует не только выработке умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию устойчивого интереса к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности. В ходе реализации проекта на основании проделанной работы было показано, что процент постоянный спутник нашей жизни.



Список используемой литературы

1.Ященко И. В. ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 /Л.О. Рослова и др. - 2016. - 463, [1] с.

2.БоровскихА. Что такое процент? / А. Боровских, Н. Розов // Математика.- 2012.- №1.- стр.23-25;

3.БоровскихА. Что такое процент? / А. Боровских, Н. Розов // Математика.- 2012.- №1.- стр.23-25;

4.http://mathist.narod.ru/razmerz.htm

5.http://oldskola1/narod.ru/PS03/ArufPS0309.htm

6.http://oldskola1/narod.ru/PS07/ArufPS0703.htm

7.http://uztest.ru/



Приложение 1

1.Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?

Решение.

Рассчитаем скидку, которую получает покупатель оплачивая товар по дисконтной карте с 5%-ной скидкой: 520*0,05=26 руб. Таким образом, итоговая цена со скидкой равна: 520-26=494 руб.

Ответ: 494.

2. На счет в банке, доход по которому составляет 15% годовых, внесли 24 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Решение.

Найдем, сколько процентов будет через год: 100%+15%=115%. Таким образом, через год в банке будет: 24000*1,15=27600 руб. или 27,6 тыс. руб.

Ответ: 27,6.

3. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

Стоимость поездки составляет: 4*198+12*(1-0,5)*198=10-198=1980 руб.

Ответ: 1980.

4.Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение.

Стоимость одной кисти равна 240 ? 0,25 · 240 = 180 руб. Стоимость двух кистей равна 360 руб. Значит, сдача с 500 рублей составит 140 рублей.

Ответ: 140.

5.Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

Решение.

Расходы составили 45 000 000*12,5/100=45 000 000*0,125=5 625 000 руб.

Ответ: 5625000.

6. Брюки дороже рубашки на 20%, а пиджак дороже рубашки на 44%. На сколько процентов пиджак дороже брюк?

7. В течение августа помидоры подешевели на 50%, а затем в течение сентября подорожали на 70%. Какая цена меньше: в начале августа или в конце сентября -- и на сколько процентов?

8. В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?



Приложение 2

1. Задание 7 № 43

Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

2. Задание 7 № 69

Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

3. Задание 7 № 137243

Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

4. Задание 7 № 137245

Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

5. Задание 7 № 137246

Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?

6. Задание 7 № 137247

Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма в рублях из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

7. Задание 7 № 137248

Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:5. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 32 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Ответ укажите в рублях.

8. Задание 7 № 137251

Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?

9. Задание 7 № 137252

В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

10. Задание 7 № 137257

На счет в банке, доход по которому составляет 15% годовых, внесли 24 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

11. Задание 7 № 137258

Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?

12. Задание 7 № 137264

В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на двенадцатый день после поступления в продажу?

13. Задание 7 № 311614

Брюки дороже рубашки на 20%, а пиджак дороже рубашки на 44%. На сколько процентов пиджак дороже брюк?

14. Задание 7 № 311853

Виноград стоит 160 рублей за килограмм, а малина -- 200 рублей за килограмм. На сколько процентов виноград дешевле малины?

15. Задание 7 № 314120

Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

16. Задание 7 № 314125

Спортивный магазин проводит акцию: «Любая футболка по цене 300 рублей. При покупке двух футболок -- скидка на вторую 60%». Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух футболок?

17. Задание 7 № 314405

В течение августа помидоры подешевели на 50%, а затем в течение сентября подорожали на 70%. Какая цена меньше: в начале августа или в конце сентября -- и на сколько процентов?

В ответе укажите количество процентов.

18. Задание 7 № 316325

Поступивший в продажу в апреле мобильный телефон стоил 4000 рублей. В сентябре он стал стоить 2560 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с апреля по сентябрь?

19. Задание 7 № 317816

Туристическая фирма организует трехдневные автобусные экскурсии. Стоимость экскурсии для одного человека составляет 3500 р. Группам предоставляются скидки: группе от 3 до 10 человек -- 5%, группе более 10 человек -- 10%. Сколько заплатит за экскурсию группа из 8 человек?

20. Задание 7 № 317842

Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 12,5%. Выразите эту часть бюджета десятичной дробью.

21. Задание 7 № 317843

Содержание некоторого вещества в таблетке витамина составляет 2,5%. Выразите эту часть десятичной дробью.

22. Задание 7 № 317887

Плата за телефон составляет 340 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 2%. Сколько придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?

23. Задание 7 № 317936

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 30%, во второй -- на 45%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1400 р.?

24. Задание 7 № 317941

На предприятии работало 240 сотрудников. После модернизации производства их число сократилось до 192. На сколько процентов сократилось число сотрудников предприятия?

25. Задание 7 № 317942

В начале 2010 г. в поселке было 730 жителей, а в начале 2011 г. их стало 803. На сколько процентов увеличилось число жителей поселка за год?

26. Задание 7 № 317951

После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?

27. Задание 7 № 317971

Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,71 их числа в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?

28. Задание 7 № 318031

В начале учебного года в школе было 1250 учащихся, а к концу года их стало 950. На сколько процентов уменьшилось за год число учащихся?

29. Задание 7 № 318186

Клубника стоит 180 рублей за килограмм, а виноград - 160 рублей за килограмм. На сколько процентов клубника дороже винограда?

30. Задание 7 № 318225

Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Десяток яиц стоит в магазине 35 рублей, а пенсионер заплатил за них 33 рубля 25 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

31. Задание 7 № 318293

Магазин детских товаров закупает погремушку по оптовой цене 260 рублей за одну штуку и продаёт с 40-процентной наценкой. Сколько будут стоить 3 такие погремушки, купленные в этом магазине?

32. Задание 7 № 318314

Суточная норма потребления витамина С для взрослого человека составляет 60 мг. Один помидор в среднем содержит 17 мг витамина С. Сколько процентов суточной нормы витамина С получил человек, съевший один помидор? Ответ округлите до целых.

33. Задание 7 № 318325

В городе 190 000 жителей, причем 29% - это пенсионеры. Сколько примерно человек составляет эта категория жителей? Ответ округлите до тысяч.

Размещено на Allbest.ru