Из истории теоремы Пифагора

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Стерлитамакский филиал «Башкирский государственный университет» Стерлитамак, Республика Башкортостан

Sterlitamak branch "Bashkir state university" Sterlitamak, Republic of Bashkortostan

Из истории теоремы Пифагора

From the history of the Pythagorean theorem

Иванова Е.А (науч. рук. Дорофеев А..В.).

Ivanova E.A (research supervisor Dorofeev A .V.).

Теорема Пифагора является центральной в школьном курсе геометрии. Но Пифагора нельзя считать первым, кто открывал ее. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до Пифагора. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы, а по другой - доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал. Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».

Теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих в истории математики. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

Рассмотрим некоторые доказательства теоремы Пифагора

Доказательство 1. Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.

Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе АС построен квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

пифагор треугольник геометрия гипотенуза

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны»:

Доказательство 2. Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

Построим прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (см. рис.1). Затем построим два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, - (a+b). В каждом из квадратов выполним построения (см.рис. 2 и 3). В первом ? четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получим два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b.

Во втором квадрате ? четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c.

Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b).

Таким образом имеем:

После проведения необходимых алгебраических вычислений получим:

При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле

Размещено на http: //www. allbest. ru/

. Т.е.

- теорема Пифагора доказана.

Доказательство 3. Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Внутри квадрата построены четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата (она же гипотенуза) обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a?b). Площадь внешнего квадрата

Размещено на http: //www. allbest. ru/

И одновременно для внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников:

Из равенства получим формулу теоремы Пифагора . Теорема доказана.

Доказательство 4. Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

В нем используется чертеж, который был на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше. Если мысленно отрезать от чертежа на рис.4 два прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с (гипотенузами приложить к гипотенузам треугольников) то получится фигура под названием «стул невесты» (рис.5). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a. Тем самым древнекитайские математики к выводу, что

Заключение

Материал по использованию доказательств теоремы Пифагора можно применять при организации внеурочной деятельности обучающихся. Методы доказательства теоремы Пифагора накопленные в древности помогут ученику приобщиться к истории науки и повысят интерес к изучению математики.

Библиографический список

1) Киселёв А.П., Геометрия. Часть первая. Планиметрия. ? М.:Просвещение,1969.

2) Скопец З.А.Геометрические миниатюры. ? М.: Просвещение,1990.

3) http://bankreferatov.ru/

4) http://kvant.ru/

Размещено на Allbest.ru