Об одной многоточечной краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка

А. Р. Абдуллаев, Е. А. Скачкова

Размещено на http://www.allbest.ru/

6

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Математика. Механика. Информатика Вып. 2 (25)

5

Об одной многоточечной краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка

А.Р. Абдуллаев

Для дифференциального уравнения второго порядка рассматривается многоточечная краевая задача. Получены достаточные условия разрешимости.

Ключевые слова: многоточечная задача; существование решения.

Рассмотрим краевую задачу

, (1)

, (2)

где , , функция удовлетворяет условиям Каратеодори.

В предлагаемой работе исследуется случай, когда , причем безотносительно взаимного расположения значений и на интервале . В частном случае, когда , задача (1), (2) принимает вид трехточечной задачи для уравнения второго порядка. Отметим, что такая задача находит широкое применение в различных областях теории управления, экономике и т.д., поэтому изучалась многими авторами (см., например, [1, 2]).

Введем основные обозначения.

Пусть - пространство суммируемых по Лебегу в -й степени функций , с нормой ; - пространство ограниченных в существенном функций , с нормой ; - пространство абсолютно непрерывных функций , таких, что , с нормой . Через , обозначим пространство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций , таких, что , с нормой

.

многоточечный дифференциальный уравнение операторный

Всюду далее - сопряженный с показатель

, .

Определение 1. Под решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию , удовлетворяющую почти всюду на отрезке уравнению (1) и условиям (2).

Сформулируем условия разрешимости задачи (1), (2) в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) существуют неотрицательные постоянные , и неотрицательная функция , такие, что

при и почти всех ;

2) существует , такое, что (или ) при и почти всех и для всех ;

3) справедливо неравенство

.

Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве .

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, приведем необходимые утверждения и определения.

Вместе с задачей (1), (2) рассмотрим соответствующую линейную задачу:

.

Подпространство решений этой задачи определим равенством

с нормой пространства .

На этом пространстве задачу (1), (2) представим в виде операторного уравнения

, (3)

где операторы , определяются следующим образом:

, .

Таким образом, для доказательства разрешимости задачи (1), (2) достаточно исследовать на разрешимость операторное уравнение (3). Оператор в уравнении (3) оказывается необратимым (см. ниже), следовательно, по терминологии, принятой для квазилинейных операторных уравнений, задача (3) называется резонансной.

Для линейного оператора , где - банаховы пространства, через и соответственно обозначим ядро и образ оператора.

Нам потребуется понятие обобщенно обратного к оператору оператора. Пусть - проектор на ядро оператора и - дополнительный проектор [3]. Так как понятие обобщенно обратного оператора трактуется по-разному, в работе мы будем следовать определению, сформулированному в [4].

Через обозначим обобщенно обратный к оператору , ассоциированному с проектором Р [4]. Напомним, что для оператора справедливы условия:

1) , где - оператор естественного вложения;

2) ;

3) .

Для непрерывного оператора определим неотрицательную числовую характеристику равенством:

называемую квазинормой оператора . Если , то оператор принято называть квазиограниченным [ААР]. Если - линейный оператор, то совпадает с нормой оператора , т.е. . Если , то при и при .

Для определения условий разрешимости уравнения (3) воспользуемся вспомогательным утверждением о разрешимости операторных уравнений. Воспользуемся теоремой, приведенной в работе [5].

Пусть - разложение в прямую сумму замкнутых подпространств.

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

1) - нетеров;

2) - вполне непрерывен;

3) существуют такие числа , что для каждого элемента существует элемент такой, удовлетворяющий требованиям , ;

4) .

Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение.

Для оператора , ядро и образ определяются равенствами:

,

.

Представим в виде разложения в прямую сумму подпространств и для произвольного полагаем , где , . В качестве проектора рассмотрим оператор , , через обозначим проектор на образ оператора .

Лемма 1. Оператор, определенный равенством

,

является проектором на образ оператора .

Доказательство. Рассмотрим оператор и проверим, что он является проектором, такой оператор называется дополнительным проектором к проектору .

Действительно,

.

Это и означает, что оператор является проектором. Лемма доказана.

Лемма 2. Обобщенно обратный оператор для оператора , ассоциированный с проектором , имеет следующий вид:

.(4)

Норма оператора удовлетворяет оценке

. (5)

Доказательство. Проверим выполнение свойств обобщенного обратного оператора:

.

.

.

Следовательно, оператор является обобщенным обратным оператором.

Оценим норму оператора в пространстве .

Используя неравенство Гёльдера, получим:

Лемма доказана.

Следующее утверждение доказано в работе [6]. Сформулируем его в удобной для нас форме.

Лемма 3. Для любого элемента пространства справедливы неравенства:

, .

Лемма 4. Пусть существуют неотрицательные постоянные , и неотрицательная функция , такие, что

почти всюду при и .

Тогда для оператора справедлива оценка:

,

где , .

Доказательство. Действительно,

Лемма доказана.

Произвольно зафиксируем элемент и определим непрерывное отображение равенством:

. (6)

Лемма 5. Пусть выполнено следующее условие: существует , такое, что

(или ) при , и почти всех . Тогда существует постоянная , удовлетворяющая неравенству

,

такая, что .

Доказательство. Пусть существует , такое, что при . Положим . Тогда для всех , справедливо , а следовательно, . Аналогично для всех .

Тогда в силу непрерывности функции существует постоянная , удовлетворяющая неравенству

,

такая, что .

В случае, когда выполнено условие

,

доказательство проводится по той же схеме.

Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 1.

Доказательство теоремы 1. Для доказательства теоремы проверим выполнение условий теоремы 2. Действительно, оператор - фредгольмов (лемма 1) и оператор , определенный равенством

вполне непрерывен.

Для проверки условия 3 теоремы 2 рассмотрим уравнение

,

где , - некоторый элемент . Если при каждом фиксированном данное уравнение имеет решение, то существует элемент , удовлетворяющий условию .

Имеем

Для произвольно фиксированного элемента исследуем функционал , определенный равенством (6).

Из леммы 5 следует, что существует элемент , удовлетворяющий требованиям , , причем , .

Теорема доказана.

Список литературы

1. Gupta C.P.. Solvability of a multi-point boundary value problem at resonance // Results Math. 1995. Vol. 28. P. 270-276.

2. Liu B. Solvability of multi-point boundary value problems at resonance (I). Indian J. pure appl. Math. 2002. № 33(4). P. 475-494.

3. Треногин В. А. Функциональный анализ: монография. Изд. 3-е, испр. М.: Физматлит., 2002. 488 с.

4. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов. Челябинск, 1994. 93 с.

5. Абдуллаев А.Р., Скачкова Е.А. Периодические решения системы линейных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4(23).

6. Скачкова Е.А. О периодических решениях функционально-дифференциального уравнения третьего порядка // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 3(7).

Размещено на Allbest.ru