Основы линейной алгебры для экономистов и менеджеров

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

ТЕОРЕТИКО - ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС

«ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ»

Учебное пособие по курсу «Линейная алгебра»

Москва

2014



Рекомендовано к изданию

Решением Ученого совета ИМЭС

(Протокол № 4 от 27 ноября 2014 г.)

Настоящее учебное пособие разработал кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и информатики ИМЭС Налимов Валерий Николаевич.



Предисловие

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов первого курса заочной формы обучения и по тематическому объему полностью соответствует требованиям рабочих программ учебной дисциплины «Линейная алгебра», которые, в свою очередь, полностью соответствуют требованиям действующих федеральных государственных образовательных стандартов по направлениям 38.03.01 “Экономика” и 38.03.02 “Менеджмент”.

Порядок изложения разделов, тем и основных подразделов тем в данном учебном пособии соответствует порядку, принятому в рабочих программах учебной дисциплины «Линейная алгебра» по соответствующему направлению подготовки. Однако нумерация тем и подразделов в настоящем пособии может отличаться от нумерации, принятой в учебном пособии [1].

По каждой теме и подразделу темы данное пособие содержит теоретический материал, изложенный в предельно сжатой форме (теоремы и аксиомы, математические факты, формулы и их следствия, имеющие практическую значимость), а также примеры использования этого материала для решения задач. В конце изложения теоретического материала каждой темы приведены вопросы для самопроверки знаний по этой теме курса. Некоторые темы курса заканчиваются вопросами в форме тестов.

После ознакомления с теоретическим материалом студенту следует кратко и четко ответить на вопросы, самостоятельно оценив и отобрав материал, изложенный в литературе, ссылки на которую приведены в конце каждой темы, или подраздела, а полный список литературы приводится в конце пособия. Ваши ответы должны быть размещены непосредственно в Вашем экземпляре пособия. Причем при тестовом варианте ответов на вопросы Вы должны поставить любой значок (крестик, галочку и т.п.) только в одном квадрате, соответствующем верному, на Ваш взгляд, ответу на поставленный вопрос.

Настоящее пособие может быть полезно и студентам 1 курса очно-заочного (вечернего), а также очного (дневного), отделений ИМЭС, при подготовке к сдаче экзаменов по дисциплине «Линейная алгебра».



Тема 1. Матрицы и определители

1.1 Основные сведения о матрицах

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. При этом числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Матрицы принято обозначать прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются соответствующие строчные буквы с двойной индексацией: aij , где индекс i обозначает номер строки, в которой находится данный элемент матрицы, а индекс j - номер столбца, в котором находится этот элемент. Например, для матрицы

элементами являются а11= 0, а12= 1, а13= - 3, а21= 1, а22= 2, а23= - 2.

Матрицей-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

Матрицей-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

Прямоугольной называется матрица при любом соотношении между числом строк и числом столбцов, кроме случая, когда m = n.

Квадратной порядка n называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n.

Верхней треугольной называется квадратная матрица, у которой все aij = 0 для всех i > j.

Нижней треугольной называется квадратная матрица, у которой все aij = 0 для всех i < j.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все aij = 0 для всех i ? j.

Единичной называется квадратная матрица, у которой все aij = 0 для всех i ? j и все аij = 1 для всех i = j. Например, единичная матрица третьего порядка выглядит следующим образом:

Главную диагональ любой матрицы образуют элементы, для которых i = j , т.е. элементы а11, а22, а33 и т.д.

Нулевой или нуль-матрицей называется матрица любого размера, все элементы которой равны нулю. Обозначение: .

1.2 Операции над матрицами (алгебра матриц)

Равенство матриц. Две матрицы А = (aij) и B = (bij) одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых i и j справедливо равенство aij = bij.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число л называется матрица В = л А, элементы которой для любых i и j определяются формулой bij = л aij .

ПРИМЕР:

Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А + В, элементы которой для любых i и j определяются формулой cij = aij + bij (т.е. матрицы складываются поэлементно).

ПРИМЕР:

Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А размером m x k и матрицы В размером k x n называется матрица С размером m x n, каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

ПРИМЕР: Найти произведения АВ и ВА матриц:

Имеем:

Как следует из примера чаще всего АВ ? ВА. При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, т.е. если А квадратная матрица того же порядка, что и Е, всегда выполняется равенство АЕ = ЕА = А.

Транспонирование матрицы - это переход от матрицы А к матрице АТ, в которой строки и столбцы матрицы А поменяны местами с сохранением порядка их следования. При этом матрица АТ называется транспонированной к матрице А.

ПРИМЕР:

Как следует из примера, при транспонировании матрицы любого размера элементы ее главной диагонали остаются на своих местах и в транспонированной матрице.

1.3 Определители квадратных матриц

Необходимость введения понятия определителя - некоторого числа, характеризующего любую квадратную матрицу A, тесно связана с задачей решения систем линейных уравнений (см. тему 2.2), а также с некоторыми другими приложениями матричной алгебры.

Для обозначения определителя матрицы A наиболее часто используются следующие символы: |А|, ДА, detA.

Определение. Определителем первого порядка, или определителем квадратной матрицы первого порядка называется ее единственный элемент

Определение. Определителем второго порядка, или определителем квадратной матрицы второго порядка, называется число, которое вычисляется по правилу: разность произведений элементов главной и побочной диагоналей:



Определение. Определителем третьего порядка, или определителем квадратной матрицы третьего порядка, называется число, равное:

Замечание. Эта формула может быть получена, например, по правилу Саррюсса, состоящему в следующем: приписать к определителю третьего порядка справа два первых его столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и параллельных ей диагоналей, из которых затем вычесть сумму произведений элементов побочной и двух параллельных ей диагоналей. Таким образом, вычисления надо проводить по схеме:

Определители более высоких порядков (т.е. при n > 3) вычисляются другими способами, основанными на ряде новых понятий таких, как минор элемента матрицы и алгебраическое дополнение элемента матрицы.

Определение. Минором Мij элемента aij квадратной матрицы A n-го порядка называется определитель матрицы на единицу меньшего порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Например, минором элемента квадратной матрицы: будет число, равное:

Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадратной матрицы A порядка n называется его минор, взятый со знаком , т.е.:

Например, алгебраическое дополнение того же элемента, что и в предыдущем примере, будет равно:

Для установления алгоритма вычисления определителей любого порядка сформулируем следующую теорему.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Практическое значение теоремы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению n более “простых” определителей (n - 1)-го порядка. Последовательно применяя такое разложение, в конце концов приходят к конечной сумме, состоящей из чисел, умноженных на определители второго порядка, вычисление которых не вызывает трудностей.

ПРИМЕР: Вычислить определитель матрицы

Согласно теореме Лапласа, для первой строки матрицы можно записать:

Поскольку элемент , найдем алгебраические дополнения:

Таким образом,

1.4 Основные свойства определителей

При однократной перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет свой знак.

Умножение всех элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на одно и то же число равносильно умножению всего определителя на это же число.

Если некоторая строка (или столбец) определителя целиком состоит из нулей, то этот определитель равен нулю.

Если элементы какой-либо строки (или столбца) определителя пропорциональны (в частном случае равны) соответствующим элементам другой строки (или столбца), то этот определитель равен нулю.

При транспонировании матрицы ее определитель не меняет своего значения, т.е. |АТ| = |А|.

Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой множитель.

Определители верхней треугольной, нижней треугольной и диагональной матриц равны произведению элементов их главной диагонали.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: |АВ| = |А|•|В|, откуда следует: |АВ| = |ВА|.

1.5 Обратная матрица и обращение матриц

Определение. Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если выполняется равенство:

А-1•А = А•А-1 = Е.

Определение. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной. Если же определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной.

Обратная матрица А-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица А является невырожденной

Алгоритм обращения матрицы

Вычислить определитель матрицы А. При этом обратная матрица будет существовать, только в случае |А| ? 0.

Транспонировать матрицу А, т.е. найти матрицу АТ.

Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы АТ и, расставив их на места соответствующих элементов, получить присоединенную к А матрицу .

Найти матрицу обратную матрице А по формуле:

Проверить правильность вычислений, убедившись в справедливости любого из равенств

ПРИМЕР: Найти матрицу, обратную матрице

Находим |А| = 10 ? 0, следовательно, матрица, обратная к матрице А существует.

Транспонируем матрицу А и найдем:

Последовательно найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы АТ и, расставив их на места элементов в матрице АТ, получим присоединенную к матрице А матрицу в виде:

Находим искомую матрицу:

Проверка показывает, что вычисления проведены правильно:

1.6 Ранг матрицы и его отыскание

Ранг матрицы, наряду с определителем квадратной матрицы, является одной из ее важнейших характеристик.

Определение. Минором порядка k матрицы А называется определитель квадратной матрицы k-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием каких-либо ее строк и столбцов.

Например, из прямоугольной матрицы размера 3 х 4, вычеркивая строки и столбцы, можно получить миноры третьего, второго и первого порядка.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из сформулированного определения вытекает простейший алгоритм отыскания ранга матрицы. Для этого нужно образовать все без исключения миноры максимально возможного порядка и проверить (путем последовательного вычисления) их на отличие от нуля. Если хотя бы один из этих миноров отличен от нуля, то вычисления прекращают и заключают, что ранг данной матрицы равен порядку этого минора. Если же все такие миноры равны нулю, то образовывают миноры порядка на единицу меньшего, чем предыдущие, и проверяют их на отличие от нуля и т.д.

В общем случае, когда матрица имеет достаточно большие размеры, отыскание ее ранга описанным способом представляет собой достаточно трудоемкий и сложный (в смысле объема вычислений) процесс.

Для существенного облегчения отыскания ранга матрицы широко используются элементарные преобразования строк матрицы:

Отбрасывание нулевой строки.

Умножение всех элементов строки на любое число, отличное от нуля.

Перестановка строк или столбцов матрицы.

Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое число.

Матрица, полученная из данной матрицы элементарными преобразованиями строк, называется эквивалентной данной матрице и обладает важным свойством: она имеет тот же ранг, что и данная матрица.

Кроме того, при отыскании ранга матрицы особую роль играют матрицы специального вида - ступенчатые матрицы. Примерами таких матриц являются матрицы:

Любая ступенчатая матрица не содержит нулевых строк, а все ее ступеньки имеют в высоту одну строку, т.е. число ступенек равно числу строк такой матрицы.

Шириной ступеньки называется число элементов строки, стоящих на этой ступеньке. Например, в матрице А ширина первой (верхней) ступеньки равна 2, второй ступеньки - 1, а третьей (нижней) ступеньки - 2 элемента.

Для отыскания ранга матрицы с помощью элементарных преобразований строк переводят исходную матрицу в эквивалентную ей ступенчатую матрицу, ранг которой (равный рангу исходной матрицы!) определяется количеством ступенек (строк) в ней. Такой перевод обычно осуществляют с помощью алгоритма Гаусса.

Алгоритм Гаусса (пошаговый)

Шаг 1. Если элемент а11 исходной матрицы равен нулю, т.е. а11= 0, то перестановкой строк или столбцов матрицы добиваются того, чтобы элемент а11 полученной матрицы был отличен от нуля.

Шаг 2. Сложением первой строки (в ней а11 ? 0), умноженной на подходящие (различные для различных строк) множители, с другими строками добиваются того, чтобы все элементы первого столбца матрицы, стоящие ниже элемента а11 ? 0, т.е. элементы а21, а31, … были бы равны нулю.

Шаг 3. Теперь, либо уже получена ступенчатая матрица, либо в строках со второй по m-ую имеется по крайней мере один ненулевой элемент, который при помощи перестановки строк или столбцов (кроме первой строки и первого столбца) может быть поставлен на второе по порядку место в главной диагонали, т.е. на место элемента а22. После этого снова выполняют операции, аналогичные шагу 2, но сложение осуществляют уже со второй строкой, и в результате получают, что все элементы второго столбца, стоящие ниже элемента а22 равны нулю и т.д. и т.д.

Аналогичные перечисленным операции применяются и к последующим строкам матрицы, а сам процесс продолжают до тех пор, пока не получат искомую, ступенчатую матрицу. Если в процессе выполнения таких операций на каком-то шаге получается нулевая строка, то ее вычеркивают.

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы

Решение. Убедившись, что для данной матрицы элемент а11 = 1 ? 0, сразу переходим к шагу 2. Умножив первую строку матрицы на число (- 2), сложив ее со второй строкой и записав результат во вторую строку, а также сложив первую строку матрицы с третьей строкой и записав результат в третью строку, получим матрицу вида:

Убедившись, что в полученной после 2 шага матрице элемент а22 = 7 ? 0, переходим к реализации шага 3, для чего умножим вторую строку этой матрицы на число 1/7 и сложим ее с третьей строкой, в результате получим:

У полученной ступенчатой матрицы третья, нулевая строка может быть вычеркнута без изменения ранга этой матрицы. Оставшаяся матрица имеет размер 2 4 и также является ступенчатой. Очевидно, что полученная ступенчатая матрица имеет две ступеньки (две строки), а, следовательно, ранг ее равен 2 и, следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

Рекомендуемая литература по теме 1: [1 - 3].

ТЕСТ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ

по Теме 1. Матрицы и определители

Для умножения матрицы любого размера на число достаточно:

умножить на это число элементы любой строки этой матрицы

умножить на это число элементы любого столбца этой матрицы

умножить на это число все без исключения элементы этой матрицы

Для какой из приведенных пар матриц определена операция умножения?

Минором Mij элемента aij квадратной матрицы A n-го порядка называется:

любой определитель (n-1)-го порядка, полученный из этой матрицы

любой определитель второго порядка, полученный из этой матрицы

определитель, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца этой матрицы

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадратной матрицы A называется:

минор этого элемента, взятый со знаком (- 1)i+j

минор элемента aij

любой определитель (n-1)-го порядка матрицы A

Вырожденной называется квадратная матрица, определитель которой:

не равен нулю

равен нулю

равен единице

Для существования обратной матрицы для матрицы A необходимо и достаточно, чтобы матрица A была:

невырожденной

вырожденной

единичной

Какая из перечисленных ниже операций приводит к изменению ранга матрицы?

перестановка строк (столбцов) матрицы

транспонирование матриц

вычеркивание любой строки (столбца) матрицы



Тема 2. Системы линейных уравнений

2.1 Основные понятия и определения

В самом общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

где и при всех и есть произвольные числа, называемые, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы.

Решением системы уравнений называется такая совокупность чисел, при подстановке которой в каждое из уравнений системы последнее обращается в числовое тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

В свою очередь, совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Всякая система уравнений, состоящая из m уравнений с n неизвестными, всегда может быть записана в матричной форме:

,

где A - матрица коэффициентов при неизвестных, в общем случае прямоугольная размером m n, X - матрица-столбец неизвестных размера n 1, B - матрица-столбец свободных членов размера m 1.

2.2 Решение систем линейных уравнений

2.2.1 Метод обратной матрицы

Если в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и матрица системы А является невырожденной, т.е. |А| ? 0, то для матрицы системы существует обратная матрица А-1.

Запишем такую систему в матричном виде: AX = B. Умножая слева обе части этого матричного равенства на матрицу А-1, получим: A-1(AX) = A-1B. Так как (A-1A)X = EX = X, то решением системы будет матрица-столбец:

ПРИМЕР: Для системы уравнений:

определитель матрицы системы |А| = 5 ? 0 (убедитесь в этом сами). Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует и имеет вид:

Поэтому решением данной системы будет матрица-столбец:



2.2.2 Правило Крамера

Предположим, что матрица системы А является квадратной, а ее определитель Д0 = |А| ? 0. Тогда единственное решение системы может быть найдено по формулам Крамера:

где Дj - определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j -го столбца на столбец свободных членов.

ПРИМЕР: Решим с использованием формул Крамера систему примера в подразделе 2.2.1. Здесь Д0 = |А| = 5,

И по формулам Крамера получим:

2.2.3 Метод Гаусса

Методы, рассмотренные в предыдущих подразделах, применимы только когда число уравнений равно числу неизвестных. Однако существует универсальный метод решения таких систем, применимый при любом соотношении между числом уравнений и числом неизвестных - метод Гаусса.

Для любой системы линейных уравнений можно составить расширенную матрицу системы, которая отличается от матрицы системы тем, что справа добавляется еще один столбец - столбец свободных членов, который для удобства принято отделять вертикальной чертой. В общем случае расширенная матрица системы имеет вид:

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Система линейных уравнений, соответствующая этой матрице, будет эквивалентна исходной системе. Для системы уравнений, составленной по ступенчатой матрице, все решения могут быть найдены последовательно, начиная с последнего уравнения.

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Составляем расширенную матрицу системы.

С помощью элементарных преобразований строк приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

Если последняя ступенька полученной матрицы имеет только один шаг в ширину, система несовместна. Если же последняя ступенька имеет не менее двух шагов в ширину, то система совместна.

Если число ступенек равно числу неизвестных и последняя ступенька имеет два шага в ширину, то система имеет единственное решение, которое находится последовательно, начиная с последнего уравнения.

Если последняя ступенька имеет более двух шагов в ширину, или хотя бы одна из остальных ступенек имеет более одного шага в ширину, то совместная система имеет бесконечное множество решений.

ПРИМЕРЫ:

1. Решите методом Гаусса систему примера подраздела 2.2.1.

Следуя алгоритму, запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Число ступенек в полученной матрице равно числу неизвестных и равно 3, а последняя (нижняя) ступенька имеет два шага в ширину. Следовательно (п. 4 алгоритма), данная система имеет единственное решение. Составим эквивалентную систему:

Решая полученную систему от последнего уравнения к первому, последовательно найдем: х3 = 1, х2 = 2, х1 = 4.

2. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений:

Следуя алгоритму, запишем:

В полученной ступенчатой матрице последняя (нижняя) ступенька имеет 3 шага в ширину. Поэтому (п. 5 алгоритма), можно заключить, что данная система имеет бесконечное множество решений. Полученной ступенчатой матрице соответствует система:

Для отыскания общего вида решений этой системы положим х3 = С, где С - любое действительное число, и подставив это значение в уравнения системы, последовательно найдем: х2 = 1 - 2С и х1 = 1 + С.

3. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений:

Следуя алгоритму, запишем:

В полученной ступенчатой матрице последняя (нижняя) ступенька имеет один шаг в ширину. Следовательно (п. 3 алгоритма), данная система несовместна.

Совместность любой системы линейных уравнений можно проверять с помощью следующего критерия.

Теорема Кронекера - Капелли

Система линейных уравнений совместна только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

ПРИМЕР: Проверьте совместность системы линейных уравнений:

Для сравнения рангов матриц составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Рассматривая полученную ступенчатую матрицу, имеющую только две ступеньки, можно сделать вывод, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен 2. Согласно критерию, данная система уравнений - совместна.

2.3 Системы линейных однородных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если в каждом из уравнений системы свободный член равен нулю. Она в общем случае имеет вид:



Очевидно, что такая система уравнений всегда совместна, поскольку она всегда имеет, по крайней мере, одно нулевое (тривиальное) решение.

Если в системе m = n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет единственное нулевое решение, что следует из формул Крамера. Следовательно, ненулевые решения возможны лишь для таких систем однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа неизвестных, или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Ненулевые решения системы однородных уравнений находятся путем ее решения методом Гаусса. При этом в силу однородности системы таких решений будет бесконечно много, и каждое из них будет выражаться через одну произвольную постоянную.

ПРИМЕР: Найдите ненулевые решения системы однородных уравнений:

Следуя алгоритму метода Гаусса, составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Полученной ступенчатой матрице будет соответствовать система уравнений вида:

Полагая х3 = С, где С - произвольное действительное число, из третьего уравнения найдем: х4 = 2С и, далее, х2 = 35С и х1 = 23С.

Рекомендуемая литература по Теме 2: [1 ч 3].

ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ по ТЕМЕ 2

Система линейных уравнений называется определенной, если она:

имеет хотя бы одно решение

имеет единственное решение

имеет бесконечное множество решений

Для системы линейных уравнений с равным числом уравнений и неизвестных по формулам Крамера можно найти:

множество решений системы

только единственное решение системы

только нулевое решение системы

Для решения систем линейных уравнений с m уравнениями и n неизвестными метод Гаусса применим:

только, когда m = n

только, когда m < n

при любом соотношении между m и n

Равенство рангов матрицы системы уравнений и расширенной матрицы этой системы является достаточным признаком:

несовместности системы уравнений

совместности системы уравнений

определенности системы уравнений

Система линейных уравнений называется системой однородных уравнений, если:

в каждом уравнении системы свободный член равен нулю

хотя бы в одном уравнении системы свободный член равен нулю

только в одном уравнении системы свободный член равен нулю

Верно ли утверждение, что любая система линейных, однородных уравнений всегда совместна?

Нет.

Да, т.к. она всегда имеет нулевое решение

Да, т.к. она всегда имеет ненулевые решения



Тема 3. Элементы линейной алгебры

3.1 Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве

Полагая, что понятия плоскости и трехмерного пространства известны читателю из школьного курса геометрии, обобщим, а в некоторых случаях уточним, начальные сведения о векторах.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой A и конечной точкой B, который можно перемещать параллельно самому себе. Обозначение: или .

Длиной (модулем, нормой) вектора называется число, равное длине отрезка AB, изображающего вектор.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, и компланарными, если их количество равно трем и они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Если точки начала и конца вектора совпадают, например, то такой вектор называется нулевым вектором и обозначается: . Длина нулевого вектора равна нулю, т.е. . Поскольку направление нулевого вектора не определено, то его считают коллинеарным любому вектору.

Произведением вектора на число л называется вектор: имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора если л > 0, и противоположное ему, если л < 0.

Противоположным вектором вектору называется произведение этого вектора на число (? 1), т.е. .

Перенесем вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его начальная точка совпала с началом координат. Тогда можно ввести понятие координат вектора.

Координатами вектора называются координаты его конечной точки, если его начальная точка помещена в начало координат. При этом координатами вектора на плоскости являются числа , где M(x, y), а в трехмерном пространстве - соответственно - числа , где M(x, y, z).

В соответствии с приведенными определениями не трудно показать, что суммой векторов и будет вектор с координатами: , произведением вектора на число будет вектор с координатами: .

Из тех же определений следует, что длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:

или .

соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве.

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.: . Скалярное произведение векторов можно выразить и через координаты этих векторов:

или .

соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве.

Если , то очевидно угол между векторами и будет равен нулю, следовательно:

,

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Очевидно, что косинус угла между векторами будет определяться выражением:

3.2 N-мерный вектор и векторное пространство

Определение. N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел: а каждое число хi называется i-ой компонентой (координатой) вектора.

По аналогии с векторами на плоскости (двухмерными векторами) и в трехмерном пространстве (трехмерными векторами) можно сформулировать следующие правила, которые следует рассматривать как аксиомы.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. , если для всех .

Суммой двух n-мерных векторов называется n-мерный вектор, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. если то для всех .

Произведением n-мерного вектора на действительное число называется n-мерный вектор, компоненты которого равны произведению этого числа на соответствующие компоненты этого вектора, т.е. если , то для всех .

Операции над векторами, установленные этими правилами, принято называть линейными операциями. Линейные операции над векторами должны удовлетворять целому ряду свойств, рассматриваемых как аксиомы.

- коммутативное свойство суммы.

- ассоциативное свойство суммы.

- ассоциативное свойство относительно числового множителя.

- дистрибутивное свойство относительно суммы векторов.

- дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей.

Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора , в этом - особая роль нулевого вектора.

Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что .

Для любого вектора справедливо , в этом - особая роль числового множителя 1.

Определение. Векторным (линейным) пространством называется множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным восьми аксиомам,

ПРИМЕР: Для заданной матрицы А размера m x n строки этой матрицы можно рассматривать как множество n-мерных векторов.

3.3 Размерность и базис векторного пространства

Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа , т.е.:

Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что выполняется тождество:

. (*)

В противном случае, т.е. когда это тождество выполняется только при для всех векторы называются линейно независимыми.

Линейное векторное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов уже являются линейно зависимыми.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного линейного векторного пространства R называется его базисом.

Можно доказать следующее утверждение:

Каждый вектор линейного пространства R можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

ПРИМЕР: Если в n-мерном векторном пространстве R задан базис , то любой вектор этого пространства может быть представлен в виде разложения по векторам этого базиса: . При этом числа называются координатами вектора относительно этого базиса.

Замечание. Каждый вектор однозначно определяется координатами в некотором базисе. При этом нулевой вектор имеет в этом базисе нулевые координаты, а противоположный данному вектор - противоположные по знаку координаты.

Если имеется система n линейно независимых векторов пространства R и любой вектор этого пространства линейно выражается через векторы этой системы, то пространство R является n-мерным, а указанная система векторов - его базисом.

ПРИМЕР: Даны векторы , где векторы образуют базис линейного трехмерного пространства. Покажите, что данные векторы также являются базисом этого пространства.

Данные векторы образуют базис, если они являются линейно независимыми. Поэтому запишем для них тождество (*) сразу в матричном виде:



Этому тождеству соответствует система линейных однородных уравнений вида:

Поскольку определитель матрицы этой системы отличен от нуля |А| = 7 ? 0, согласно правилу Крамера, система имеет единственное нулевое решение: л1 = л2 = л3 = 0. Это и означает, что заданные векторы - линейно независимы и образуют базис.

3.4 Переход к новому базису

Пусть в пространстве R имеется два базиса: «старый» и «новый» . Очевидно, что каждый из векторов нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

(*)

Это же представление можно записать в матричной форме:

Полученная запись означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода А. Эта матрица, как и матрица АТ невырожденная, т.к. в противном случае ее строки (а, следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимы.

Найдем зависимость между координатами одного и того же вектора в разных базисах. Пусть некоторый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. можно записать:

Если теперь подставить в среднюю часть этих равенств выражения для векторов из равенств (*), то после несложных преобразований можно получить:

(**)

Систему представлений (**) можно записать и в матричной форме, т.е. в виде: Х = А•Х*, именно так координаты вектора в старом базисе выражаются через координаты того же вектора в новом базисе.

Если решить систему уравнений (**) методом обратной матрицы (это можно сделать, т.к. матрица A невырожденная, и обратная ей матрица существует), то получим: Х* = А-1Х именно таким образом координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты того же вектора в старом базисе.

ПРИМЕР: Найдите координаты вектора в новом базисе примера подраздела 3.3.

Используя разложения векторов по векторам базиса, приведенные в условии примера подраздела 3.3, можно матрицу перехода от старого базиса к новому записать в виде:

.

Можно убедиться в том, что определитель этой матрицы |А| = 7 ? 0. Поэтому существует обратная ей матрица, которая имеет вид (убедитесь в этом самостоятельно):

Для отыскания координат вектора в новом базисе воспользуемся формулой: Х* = А-1Х и найдем:

Таким образом разложение вектора по векторам нового базиса можно записать в виде:

3.5 Евклидово пространство

Выше мы ввели понятие линейного векторного пространства, в котором определены операции сложения векторов и умножения их на число, а также ввели понятия размерности и базиса этого пространства. Теперь дополним это пространство метрикой, т.е. укажем способы измерения длин векторов и углов между ними. Это можно сделать, доопределив в векторном пространстве понятие скалярного произведения векторов, естественно, обобщив его на случай n-мерных векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное:

Отметим основные свойства скалярного произведения, которые непосредственно вытекают из сформулированного определения.

- коммутативное свойство;

- дистрибутивное свойство;

- свойство справедливое для любого действительного б; , если , и , если .

Определение. Линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, рассматриваемым как аксиомы, называется евклидовым пространством.

Определение. Длиной или нормой вектора в n-мерном евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата, т.е.:

Определенная таким образом норма вектора обладает некоторыми свойствами, основное из которых записывается в виде: и носит название неравенства Коши-Буняковского.

Очевидно, что косинус угла между двумя векторами и можно определить равенством, непосредственно вытекающим из неравенства Коши-Буняковского:

, где:

Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение. Векторы n-мерного евклидова пространства Rn образуют ортонормированный базис, если они попарно ортогональны, и норма каждого из них равна единице.

Существует теорема, устанавливающая одно из основных свойств евклидова пространства.

Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером одного из таких ортонормированных базисов является система из n единичных векторов, у которых i-ая компонента равна 1, а все остальные компоненты равны нулю, т.е. базис из векторов: и т.д.

3.6 Линейные операторы

Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор этого же пространства, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) и записывают .

Оператор называется линейным, если для любых векторов и пространства Rn и любого действительного числа л выполняются соотношения:

- свойство аддитивности оператора;

- свойство однородности оператора.

Опираясь на свойства линейности оператора, можно показать, что его воздействие на вектор состоит в том, что матрица-столбец координат этого вектора (в некотором базисе) умножается слева на квадратную матрицу А оператора и в результате получается матрица-столбец координат вектора (в том же базисе), т.е. Y = AX. Другими словами, каждому линейному оператору можно поставить в соответствие единственную квадратную матрицу этого оператора.

При переходе к другому базису в пространстве Rn матрица линейного оператора изменится. Можно показать, что матрицы А* и А линейного оператора в новом базисе и в старом базисе , соответственно, связаны соотношением: , где С - матрица перехода от старого базиса к новому (см. подраздел 3.4).

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (или линейного преобразования, заданного матрицей А), если существует такое число л, что справедливо равенство: . При этом число л называется собственным значением оператора (или матрицы А), соответствующим собственному вектору .

Из приведенного определения следует, что собственный вектор под воздействием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на число - собственное значение, ему соответствующее.

Характеристическим уравнением матрицы А линейного оператора называется уравнение:

где л - неизвестное собственное значение, Е - единичная матрица.

ПРИМЕР: Для матрицы

характеристическое уравнение будет иметь вид:



Таким образом, задача отыскания собственных векторов и собственных значений линейного оператора решается в следующей последовательности. Вначале составляют и решают характеристическое уравнение. Его решениями будут собственные значения, причем их количество не превосходит n. После этого, подставляя последовательно каждое из найденных собственных значений в систему однородных уравнений вида:

каждый раз решают ее методом Гаусса и выясняют структуру нетривиальных решений - координат собственного вектора, соответствующего данному собственному значению.

ПРИМЕР: Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

Составим характеристическое уравнение для отыскания собственных значений:

Решениями этого уравнения будут два собственных значения преобразования А: л1 = 2 и л2 = ? 1.

Приступим к отысканию собственного вектора, соответствующего первому из собственных значений. Для этого запишем систему однородных уравнений:

Полученная система фактически представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными. Положим и найдем . Таким образом, собственный вектор, соответствующий первому из собственных значений, будет иметь следующие координаты:

,

где С1 - любое действительное число, отличное от нуля.

Для второго собственного значения система однородных уравнений запишется в виде:

Т.е. представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными. Полагая , найдем , и окончательно запишем:

,

где С2 - любое действительное число, отличное от нуля.

3.7 Квадратичные формы и их свойства

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами:

Коэффициенты квадратичной формы являются любыми действительными числами, причем . Матрица А, составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. Матрица А всегда имеет симметричный относительно главной диагонали вид и поэтому часто называется симметрической.

ПРИМЕР: Найдите матрицу квадратичной формы, записанной в виде:

.

Поскольку искомая матрица должна быть симметрической, то она должна содержать в качестве элементов главной диагонали коэффициенты при квадратах переменных, а в качестве остальных элементов - половины коэффициентов при произведениях переменных. Поэтому перепишем квадратичную форму в виде:

Расставив коэффициенты в круглых скобках в соответствующие строки матрицы, получим матрицу заданной квадратичной формы в виде:

Если ввести в рассмотрение две матрицы: ХТ - матрицу-строку переменных и Х - матрицу-столбец переменных, то любую квадратичную форму можно записать в матричном виде:

Можно показать, что при невырожденном линейном преобразовании переменных , т.е. при переходе от переменных xi к переменным yi , матрица квадратичной формы изменится и примет вид: .

При некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях переменных вид квадратичной формы можно существенно упростить, приведя матрицу этой формы к диагональному виду.

Квадратичная форма L называется канонической, или имеющей канонический вид, если ее матрица является диагональной, т.е.

.

Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных всегда может быть приведена к каноническому виду.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используются разнообразные методы, среди которых наиболее часто применяется метод выделения полных квадратов. Покажем работу этого метода на конкретном примере.

ПРИМЕР: Привести к каноническому виду квадратичную форму, имеющую вид:

Выделим полный квадрат при переменной , т.е. перепишем заданную квадратичную форму в виде:

Таким образом, невырожденное линейное преобразование переменных: позволило привести данную квадратичную форму к каноническому виду: .

Полученные различными методами канонические виды одной и той же квадратичной формы в самом общем случае различаются значениями коэффициентов при новых переменных. Однако эти канонические виды обладают важным свойством:

Закон инерции квадратичных форм

Число слагаемых с положительными (отрицательными) и нулевыми коэффициентами в любом каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

ПРИМЕР: Квадратичная форма:

двумя различными способами приведена к следующим каноническим видам:



Сравнение этих канонических видов одной и той же квадратичной формы показывает, что в обоих видах число положительных слагаемых равно 2, а отрицательных - 1.

Квадратичная форма L называется положительно (отрицательно) определенной, если при любых значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется неравенство L > 0 (L < 0).

Существуют различные критерии для установления знаковой определенности квадратичных форм. Приведем два из них как наиболее употребительные.

Для того чтобы квадратичная форма L = XTAX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А этой формы были положительны (отрицательны).

Критерий Сильвестра

Для того чтобы квадратичная форма L = XTAX была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А этой формы были положительны.

В критерии Сильвестра под главными минорами матрицы понимают миноры i - го порядка, построенные следующим образом:



ПРИМЕР: Покажите положительную определенность квадратичной формы: .

Найдем вначале матрицу этой формы. Поскольку эту форму можно переписать в виде: , искомая матрица имеет вид:

Характеристическое уравнение для этой матрицы будет иметь вид:

, или: .

Решая его, найдем: , следовательно, на основании первого критерия можно заключить, что данная квадратичная форма является положительно определенной.

Теперь найдем главные миноры матрицы А:

.

Поскольку оба полученных минора положительны, на основании критерия Сильвестра заключаем, что данная квадратичная форма является положительно определенной.

Рекомендуемая литература по Теме 3: [1 ч 3].

ВОПРОСЫ для самопроверке знаний по теме 3:

При каком значении с векторы и будут перпендикулярны?

Условие перпендикулярности векторов: скалярное произведение равно 0, т.е. Подставим координаты векторов и решим полученное уравнение: перпендикулярны. Таким образом, при векторы и перпендикулярны.

Сколько векторов будет содержать базис пространства ?

Базис пространства будет содержать 5 векторов.

Можно ли образовать ортонормированный базис из двух векторов:

?

Векторы образуют ортонормированный базис, если они ортогональны, и норма каждого из них равна единице.

Проверим эти условия. Найдем нормы и

Проверим ортогональность векторов

Так как и ортогональны и их нормы равны 1, векторы образуют ортонормированный базис.

В какие векторы преобразует векторы (1, 0) и (0, 1) линейный оператор, заданный матрицей ?

Найдем преобразованные векторы по формуле:

Таким образом векторы и после преобразования имеют координаты и

Является ли число 1 собственным значением матрицы ?

Составим характеристическое уравнение чтобы найти собственные значения матрицы A

Таким образом, число 1 является собственным значением матрицы A.

Будет ли положительно определенной квадратичная форма

?

Найдем вначале матрицу этой формы:

Найдем главные миноры матрицы А:



Поскольку отрицателен, на основании критерия Сильвестра заключаем, что данная квадратичная форма не является положительно определенной.



Тема 4. Элементы аналитической геометрии в пространстве

алгебра матрица уравнение вектор

После выбора системы координат Oxyz в трехмерном евклидовом пространстве точки и векторы этого пространства становятся тройками чисел: A(x, y, z), . После такой замены геометрические свойства фигур можно изучать методами алгебры и анализа, т.е. методами аналитической геометрии. Ниже рассмотрены только простейшие фигуры и их основные свойства.

4.1 Уравнения плоскости

Пусть заданы: прямоугольная система координат Oxyz; произвольная плоскость ; точка , лежащая на плоскости ; а также вектор , перпендикулярный плоскости (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

Рассмотрим на плоскости произвольную точку . Очевидно, что эта точка будет лежать на плоскости тогда и только тогда, когда векторы и будут взаимно перпендикулярны (ортогональны), т.е. когда их скалярное произведение будет равно нулю. Поскольку:

и ,

это условие можно записать в виде:

Это уравнение и есть уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору .

Если в последнем уравнении раскрыть скобки и ввести обозначение: , то получим общее уравнение плоскости:

При этом вектор , перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором (или вектором нормали) этой плоскости.

Очевидно, что угол между плоскостями, заданными общими уравнениями:

и

будет определяться углом между нормальными векторами: и этих плоскостей, а косинус этого угла может быть найден по формуле:

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей эквивалентно условию коллинеарности нормальных векторов этих плоскостей, т.е. может быть записано в виде:

В свою очередь, условие перпендикулярности плоскостей вытекает из условия перпендикулярности нормальных векторов, т.е. из равенства нулю их скалярного произведения, и может быть записано в виде:

4.2 Уравнения прямой в пространстве

В самом общем случае прямая в пространстве может быть определена совместным заданием общих уравнений двух пересекающихся плоскостей:

Однако существуют и другие способы задания прямых в пространстве, или другие виды уравнения прямой, к выводу которых мы и переходим.

Пусть заданы: некоторая прямая L и ненулевой вектор , лежащий на данной прямой, или на параллельной ей прямой. Вектор будем называть направляющим вектором данной прямой L (рис. 4.2).

Рис 4.2.

Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный направляющий вектор: . Пусть произвольная точка пространства. Эта точка будет принадлежать прямой L тогда и только тогда, когда векторы и будут коллинеарны, т.е., когда их координаты будут пропорциональны:

Полученные уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки и будут иметь вид:

Если теперь обозначить через t любое из равных отношений канонических уравнений:

,

то получим систему равенств:

Эти равенства называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Заметим, что в этих уравнениях t - произвольно изменяющийся параметр.

Рекомендуемая литература по теме : [2 ч 3].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 4:

Каким будет нормальный вектор плоскости с общим уравнением ? Запишите его координаты:

Нормальный вектор плоскости будет иметь координаты

2. Будут ли параллельными плоскости и ?

Плоскости параллельны если выполняется условие:

Проверим:

Условие выполняется, следовательно, плоскости параллельны.

3. Будет ли вектор (1, 1, 1) коллинеарным (параллельным) прямой, заданной параметрическими уравнениями:

Составим уравнение прямой в каноническом виде:

Направляющий вектор имеет координаты Проверим коллинеарность векторов (1;1;1) и

Условие не выполняется, следовательно, заданные прямая и вектор не коллинеарны.

4. Какая точка прямой с параметрическими уравнениями:

будет соответствовать значению параметра t = 5?

Подставим значение t=5 в параметрическое уравнение прямой:

Таким образом, точка имеет координаты



Литература

1. Налимов В.Н. Основы линейной алгебры для экономистов и менеджеров: Учебное пособие. - М.: Издание ИМЭС, 2013.

2. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. - М.: Проспект, 2012.

3. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра: Курс лекций. - М.: Эксмо, 2006.

Размещено на Allbest.ru