Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

К вопросу о логическом обосновании понятия «действительное число»

Представление о понятии числа, которое складывается из трудов великих математиков, таких так Карл Вейерштрасса, Рихард Дедекинда и Георг Кантор, всегда свидетельствует о том теоретическом уровне, которого достигла к этому времени математика, и определяются границы их арифметико-алгебраической практики [1, стр. 138]

Они предложили различные подходы к этой теории и отделили это понятие от геометрии и механики.

Так, например немецкий ученый Карл Вейерштрасса сделал шаг на пути к строгости вслед за Коши. Он уменьшил интуитивных соображений в определениях предшественников, введя для них численное представление [1, с. 286].

Задавшись вопросом «вроде «переменная неограниченно приближается к фиксированному значению, где присутствуют время и движение», Карл Вейерштрасс пытался перевести их в арифметические неравенства. Он описал логическое обоснование анализа на основе построенной им теории действительных (вещественных) чисел и так называемого «е» и «д» языка: «Если возможно определить такую границу, для значения h меньшего по абсолютной величине, будет меньше некоторой величины е, то будем говорить, что бесконечно малому изменению переменной соответствует бесконечно малое изменение функции» [1, с. 287]. Карл Вейерштрасс смог придать анализу форму.

К. Вейерштрасс, стремясь придать анализу обоснование, заметил отсутствие логического обоснования у арифметики и исправил это положение. Так в1863 г. он придумал теорию действительных чисел, которая была опубликована в 1872 г.

Дальше Карл Вейерштрасса составил агрегаты с бесконечным числом элементов и введение для них отношения равенства. Согласно Вейерштрассу, вещественное число - это класс эквивалентности агрегатов, удовлетворяющих следующему условию конечности: «Всякое рациональное число представляется «агрегатом» - конечным множеством единиц.» [1, с. 288].

Немецкий ученый Георг Кантор (1845-1918) построил вещественные числа исходя из рациональных чисел.

Он представил, что всякое иррациональное число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел. Например, число v2 можно представить бесконечной последовательностью рациональных чисел 1; 1,4; 1,41;…. В соответствии с этим все иррациональные числа можно понимать, так же как и рациональные числа [3].

Вещественным числом порядка Кантор называет класс эквивалентности, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие [2].

Рихарда Дедекинда (1831-1916) как в ситуации с Карлом Вейерштрассом необходимость изложения дифференциального и интегрального исчисления заставила Дедекинда думать над этим: «пока он не нашел числа арифметических и совершенно «строгих» обоснований анализа бесконечно малых». Дедекинд исходил из множества Q рациональных чисел. Он писал в 1876 г.: «Я показываю в моей работе, что, не вмешивая посторонних элементов, можно обнаружить в области рациональных чисел некий феномен, который может быть использован для пополнения этой области однозначным построением иррациональных чисел» [2].

Этот некий «Феномен», был сечением.

Исходя из геометрического представления о том, что точка М на прямой разделяет точки на два класса - класса точек, расположенных справа от М, и класс точек, находящийся слева от М.

Карл Дедекинд это называет «сечением» (D1, D2) множества Q, такое разделение Q на два непересекающихся класса, что всякое число из первого класса D1, строго меньше числа из второго класса D2.

Вскоре выясняется, что есть сечения, не обладающие этим свойством. Дедекинд приводит пример: D1 содержит отрицательные рациональные числа и положительные рациональные числа, квадрат которых меньше 2, а D2 - все остальные рациональные числа. Наибольший элемент в D1 должен был удовлетворять условию =2, что невозможно в Q, получается, что в D1 нет наибольшего элемента.

Потом, немецкий ученый Дедекинд пишет: «мы создаем при помощи сечения новое иррациональное число, которое определено этим сечением.

Мы скажем, что число б соответствует сечению» [1, стр. 290].

Карл Дедекинд определил отношение порядка для сечений и доказал это утверждение.

Дальше он показал, что область вещественных чисел не дает ничего, кроме. Он воспользовался этим свойством, чтобы охарактеризовать непрерывную область величин: «Если разбить все величины области, устроенной непрерывным образом, что каждая величина первого класса меньше любой величины второго класса, то либо в первом классе существует наибольшая величина, либо во втором классе существует наименьшая величина».

Новые восприятия в математическом анализе не приживались хорошо. Жестоко критиковал учение Карла Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно сравнить с травлей, но благодаря этим работам, в математическую науку плотно вошли такие понятия как бесконечные объекты: действительное число, стало первым таким объектом. Построения, основанные на аксиоматике, способствовали переходу математиков от «интуитивного» к абстрактному и строгому. Обобщенные методы построения действительного числа стали основой для теории множеств, функционального анализа, интеграла Лебега.

Список литературы

кантор вещественный число логический

1. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: очерки по истории математики. / Перевод с французского А. Бряндинской; под редакцией И. Башмаковой. - М.: Мир, 1986. - 433 с.

2. Граттан - Гиннесс И. К биографии Георга Кантора. // Летопись науки. - 1971 - Т. 27 - №4 - с. 345-391.

3. Уоррен Д. Георг Кантор: его математика и философия большого количества. - Princeton University Press, 1990. - 404 с.

Размещено на Allbest.ru