Получение точных решений уравнений нелинейной механики прямым методом возмущений

Размещено на http: //www. allbest. ru/

ФГБОУ ВО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», Россия, Саратов

Получение точных решений уравнений нелинейной механики прямым методом возмущений

Землянухин Александр Исаевич

д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой

«Прикладная математика и системный анализ»

Бочкарев Андрей Владимирович

к.т.н., доцент кафедры «Прикладная математика и системный анализ»

Аннотация

Продемонстрирована возможность применения прямого метода возмущений для получения точного решения интегрируемого эволюционного уравнения пятого порядка. Предложены 4 варианта приведения получаемого асимптотического ряда к геометрическому.

Ключевые слова: нелинейное дифференциальное уравнение, метод возмущений, асимптотический ряд, солитон.

Annotation

Zemlyanukhin Aleksandr Isaevich

Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education

«Yuri Gagarin State Technical University of Saratov», Russia, Saratov,

Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Professor ,

Head of the Department of «Applied mathematics and system analysis »

Bochkarev Andrey Vladimirovich

Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education

«Yuri Gagarin State Technical University of Saratov», Russia, Saratov,

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor

at the Department of «Applied mathematics and system analysis »

OBTAINING EXACT SOLUTIONS OF EQUATIONS OF NONLINEAR MECHANICS USING THE DIRECT METHOD OF PERTURBATION

The possibility of using the direct perturbation method to obtain exact solutions of the fifth-order integrated evolutionary equation is demonstrated. Four options of bringing the resulting asymptotic series to a geometric one are proposed.

Keywords: nonlinear differential equation, perturbation method, asymptotic series, soliton.

В настоящее время существует большое количество аналитических методов для отыскания точных решений нелинейных эволюционных уравнений. Основным методом решения интегрируемых эволюционных уравнений является метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1]. Уравнения, возникающие в приложениях, чаще всего неинтегрируемые, однако многие из них обладают классами точных солитоноподобных решений. Многочисленные методы построения таких решений [2] работают независимо от интегрируемости исходного уравнения. Исключением является метод Хироты [3] прямого построения многосолитонных решений уравнений, интегрируемых МОЗР. Основная идея этого метода состоит в асимптотическом упрощении билинейного уравнения, полученного из исходного при помощи специального преобразования зависимой переменной.

Наибольшее влияние на развитие МОЗР и остальных методов оказало уравнение Кортевега-де-Вриза (КдВ), возникающее в системах различной физической природы, характеризующихся нелинейностью и дисперсией. Точные решения уравнения КдВ и других интегрируемых уравнений - солитоны - представляют собой существенно нелинейные образования, которые, как принято считать, не могут возникнуть на основе асимптотических поправок к линейному решению.

В настоящей работе прямой метод возмущений применяется к одному из высших уравнений иерархии КдВ для получения точного решения. При этом демонстрируются некоторые специальные свойства получаемого асимптотического ряда.

Рассмотрим эволюционное уравнение 5-го порядка из иерархии КдВ:

. (1)

Будем искать его решение в форме:

, (2)

где - малый параметр, а - функции, подлежащие определению. После подстановки (2) в (1) приравняем нулю выражения при одинаковых степенях :

(3)…

Решение первого из уравнений (3) в виде

(4)

позволяет получить дисперсионное отношение линеаризованной задачи:

(5)

Определяя последовательно из (3) и вводя обозначение

можно записать решение (2) уравнения (1) в виде:

(6)

Видно, что ряд (6) не является строго геометрическим. Кроме того, Хирота отмечал, что даже в случае уравнения КдВ ряд теории возмущений сходится медленно и даже расходится [3], и технику суммирования аппроксимантами Паде следует применять к преобразованному специальным образом уравнению.

1. Аппроксимация Паде асимптотического ряда (6)

Анализ ведущих членов уравнения (1) показывает, что его решение имеет полюс второго порядка. Так как наилучшие приближения степенных рядов получаются при помощи диагональных аппроксимант Паде [Андрианов], построим аппроксиманту [2/2], соответствующую порядку полюса, для ряда (6):

(7)

Заметим, что в данном случае аппроксиманта [2/2] вырождается в аппроксиманту [1/2]. Основной результат здесь состоит в том, что (7) после обратной замены дает точное решение исходного уравнения (1):

(8)

2. Преобразование асимптотического ряда в геометрический

Рассмотрим аппроксиманту более подробно. Представим ее как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

(9)

Соответствующий этой сумме ряд по степеням z совпадает с рядом (6).

Заметим, что без использования аппроксиманты Паде угадать вид знаменателя соответствующей геометрической прогрессии затруднительно. Проделаем элементарные преобразования для улучшения вида асимптотического ряда (6). Заметим, что выражение

(10)

является рядом геометрической прогрессии с суммой

Последнее выражение после обратных преобразований - взятия производной по z и умножения на z - дает точное решение (7).

3. Извлечение квадратного корня из асимптотического ряда

Большинство методов поиска точных решений основано на их представлении в виде усеченного разложения по степеням решения, имеющего полюс первого порядка (решения простейшего уравнения [2]). В данном случае ряд (6) представляет решение с полюсом второго порядка, следовательно, квадратный корень из этого ряда соответствует решению с полюсом первого порядка. Представим этот корень в виде ряда

 (11)

коэффициенты которого найдем из равенства

приравнивая последовательно нулю коэффициенты при Ряд (11) оказывается геометрическим:

(12)

Легко видеть, что квадрат суммы ряда (12) совпадает с (7).

4. Обращение асимптотического ряда

В некоторых случаях дополнительную информацию о степенном ряде можно получить при помощи его обращения [4]. Получим обратный ряд для (6) из выражения

(13)

в котором

(14)

а определяется выражением (6). Подставляя (6) и (14) в (13), найдем коэффициенты , приравнивая нулю множители при соответствующих степенях z. Оказывается, что обратный ряд содержит только три ненулевых слагаемых

нелинейный механика возмущение математика

(15)

и его сумма после приведения слагаемых к общему знаменателю и обращения совпадает с (7).

Свойства ряда (6), продемонстрированные в п.п. 1-4, являются общими для уравнений, интегрируемых МОЗР. В случае неинтегрируемых уравнений ситуация усложняется и данные процедуры вместе или по отдельности можно применять только для установления соотношений между коэффициентами уравнений для получения, когда это возможно, геометрического ряда.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 16-01-00176-а.

Литература

1. Абловиц М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, Х. Сигур; пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 479 с.

2. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики / Н.А. Кудряшов. - Долгопрудный: Издат. дом «Интеллект», 2010. - 368 с.

3. Солитоны / под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри; пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 408 с.

4. Андрианов И.В. Асимптотическая математика и синергетика / И.В. Андрианов, Р.Г. Баранцев, Л.И. Маневич. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 304 с.

Размещено на Allbest.ru