Моделирование территориальных процессов в российских городах методом географически взвешенной регрессии

Размещено на http://allbest.ru

¹Саратовского института РГТЭУ

²Саратовского государственного университета

Моделирование территориальных процессов в российских городах методом географически взвешенной регрессии

¹Балаш О.С. к.э.н., доц., кафедры

высшей математики и информационных технологий

²А.В. Харламов, ст. преподаватель

Условиями применения классической модели регрессии, используемой при анализе однородных объектов, являются некоррелированность ошибок, подчиняющихся нормальному распределению с нулевым средним и постоянной дисперсией. Но при моделировании процессов, имеющую большую территориальную неоднородность, классическая модель может давать неверный результат.

Для анализа пространственных данных обследуемую область разделяют на районы и для учета влияния этих областей в модель вводят фиктивные переменные. Зонирование зависит от выбора масштаба и определения вида границ. Различают районы с четкими и нечеткими границами.

При разделении исследуемой территории на зоны с четкими границами предполагают, что они определяют отличия в социально-экономических явлениях. Часто берут административные границы, но такое деление не всегда верно. Поэтому проблема выделения однородных зон ложится на исследователя. Субъективное и необоснованное определение границ может приводить к ошибочным результатам, и предпочтительнее использовать нечеткие границы.

Нечеткие границы означают, что каждый объект с той или иной вероятностью имеет возможность попасть в любую зону. Вероятность зависит от близости объекта к центру зоны и с увеличением расстояния уменьшается.

Кроме определения границ возникает проблема влияния масштаба выделяемых областей на значимость коэффициентов модели. Возможна ситуация, когда применяя различные масштабы или перегруппировывая зоны, получают различные и даже совершенно противоположные результаты в оценках и значимости параметров модели, что затрудняет выбор модели и трактовку результатов.

Для избежания этих трудностей, применяют метод географически взвешенной регрессии, который можно рассматривать как некоторое обобщение фиктивных переменных, позволяющий сгладить перечисленные проблемы и получать модель с непрерывно меняющейся структурой.

Модель географически взвешенной регрессии имеет вид:

. (1)

где пара переменных (u_i,v_i) представляет координаты точки (местоположение) i, ; y_i - значение наблюдаемой зависимой переменной; - независимые детерминированные регрессоры, , p - число регрессоров;

- неизвестные коэффициенты, подлежащие оценке, ; - случайные ошибки.

Для вычисления оценок коэффициентов в местоположении i может использоваться метод наименьших квадратов. В целях выявления местных особенностей используются не все имеющиеся наблюдения, а только соседние с i.

Предполагается, что регрессионные модели для соседних точек схожи, но могут варьироваться по территории. Степень близости учитывается с помощью весов w_ij. Вектор оценок коэффициентов для каждого местоположения i вычисляется:

,

где W(u_i,v_i) - диагональная матрица весовых коэффициентов размерности (nn):

.

Элемент матрицы w_ij, определяет степень влияния соседей j на зависимости в местоположении i. Матрица весовых коэффициентов вычисляется для каждого местоположения.

Так как расчеты коэффициентов проводятся для всех измерений, то в результате получают матрицу оценок параметров:

,

где i-ая строка представляет собой вектор оценок коэффициентов в точке (u_i,v_i), :

.

Для определения весовых коэффициентов используют методы административно-территориального деления, движущегося окна, фиксированных и адаптивных ядер.

Если административное деление раскрывает специфические закономерности, присущим административным единицам, то для точек, принадлежащих одному району, элемент весовой матрицы полагают равным единице и нулю в противном случае:

, если ();

, если ().

Если административные районы сформированы исторически и не отражают естественное расслоение объектов, то дискретные веса определяются с учетом расстояния между объектами.

При этом задают предельно допустимую удаленность, то есть некоторое фиксированное расстояние b, относительно которого определяют категорию ближайшего соседа.

Вес принимают равным единице, если расстояние d_ij между объектами не превосходит заданного расстояния b, и нулю в противном случае:

, если ;

, если .

Расстояние d_ij вычисляется как расстояние между точками на плоскости. Это так называемый метод движущегося фиксированного окна. b фиксировано и называется шириной окна или полосы пропускания.

Использование дискретного подхода при определении весов учитывает территориальную неоднородность, но влияние соседей, попавших в полосу пропускания, считается одинаковым.

Во многих случаях влияние соседей уменьшается с увеличением расстояния. Поэтому более близким соседям придают больший вес, чем дальним. Подход, в котором веса строятся с учетом непрерывного изменения расстояния между исследуемыми объектами, называют ядерным. Наиболее часто применяют ядра Гаусса:

,

где d_ij - расстояние между местоположением i и соседом j, а b - ширина полосы пропускания.

Альтернативными вариантами являются ядра би-квадрат и три-куб:

,

Влияние соседей в непосредственной близости к местоположению практически равно единице и уменьшается при приближении к границе полосы пропускания.

Применим метод географически взвешенной регрессии для построения модели ценообразования на рынке недвижимости на примере модели стоимости однокомнатных квартир г. Саратова.

Информационной базой послужили данные о продажах однокомнатных квартир на вторичном рынке жилья (http://www.ks.sarbc.ru) за январь 2006 года. Численность выборки составила 1813 объектов.

Зависимой переменной является y - цена квартиры (тыс. руб.), регрессорами:

x₁ - жилая площадь, м²;

x₂ - площадь кухни, м²;

x₃ - дополнительная площадь, м²;

x₄ - логарифм расстояния, ln(м);

x₅ - расположение на первом этаже;

x₆ - расположение на последнем этаже;

x₇ - дом малой этажности;

x₈ - пятиэтажка;

x₉ - кирпичный дом;

x₁₀ - в хорошем или отличном состоянии;

x₁₁ - имеются балкон или лоджия.

В качестве центра г. Саратова выбран район Главпочтамта.

Глобальная линейная регрессионная модель, построенная по исходным, данным имеет вид:

Все коэффициенты при переменных оказались значимыми, как и вся модель в целом.

Коэффициент детерминации R²=0,7 показывает, что модель объясняет только 70% имеющейся зависимости.

Для применения географически взвешенной регрессии в исходные данные были добавлены условные координаты объектов, полученные с помощью электронной базы данных «Все города России».

При построении весовой матрицы использовалась функция «три-куб», в качестве критерия оптимизации ширины «окна» - критерий Акайка:

,

где - оценка стандартного отклонения, .

Географически взвешенный метод дал следующие результаты.

Оптимальное число ближайших соседей, дающее минимум критерия Акайка, равно 295.

Коэффициент детерминации R²=0,8.

Проанализируем значения полученных оценок коэффициентов при каждом регрессоре.

Для удобства анализа представим результаты в виде таблиц, в которых значения оценок коэффициентов усреднены по целым значениям координат, а также представлены в виде диаграмм.

Центр города располагается в квадрате Х=61, Y=32.

Оценки коэффициента при регрессоре «жилая площадь» показано в таблице 1 и на рисунке 1.

Таблица 1

Зависимость оценок коэффициентов регрессии от координат

Соответствующие уровни значимости представлены в таблице 2.

Таблица 2

Уровни значимости оценок при регрессоре «жилая площадь»

Рисунок 1 - Значения оценок коэффициента при регрессии «жилая площадь»

Как видно из рис.1 оценки коэффициента значимы на всей территории. В центральной части города выделяется квадрат с координатами X=60, Y=32 с самыми дорогими квартирами, практически по 30 тыс. рублей за квадратный метр. регрессия административный граница

Около этого квадрата можно выделить некоторый район, стоимость метра жилой площади в котором превышает 20 тыс. рублей или находится в районе этого значения.

Четко выделяются окраины города, где цена квадратного метра жилой площади порядка 10 тыс. рублей.

Можно проследить дрейф убывающей цены от центра в направлении Ленинского района («левого верхнего» и «левого нижнего» углов представленной таблицы).

Аналогично рассчитаны показатели по остальным регрессорам.

Размещено на Allbest.ru