Решение задачи Коши
Основное содержание и подходы к решению задачи Коши. Принципы формирования численных методов, их типы: явные и неявные, одно- и многошаговые. Основные глобальные и локальные ошибки, возникающие при их применении. Выбор шага метода и его обоснование.
| Рубрика | Математика |
| Вид | отчет по практике |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.02.2019 |
| Размер файла | 172,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
коши численный шаг
Понятие дифференциального уравнения - одно из основных. Чтобы разъяснить это понятие, рассмотрим, из чего складывается изучение какого-либо физического процесса. Это - создание физической гипотезы, основанной на эксперименте, математическая форма записи физической гипотезы, математическое решение этой задачи и физическое толкование выводов из ее решения. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученым Г. Галилеем (1564-1642). Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа - И. Ньютон. Математически сформулировать физические законы оказалось возможным лишь с появлением математического анализа и на его языке.
В очень большом числе случаев физические законы описывают некоторые соотношения между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Другими словами, эти законы выражаются равенствами, в которых участвуют неизвестные функции и их производные. Такие равенства называются дифференциальными уравнениями. Они появляются как математическая форма записи ряда физических законов. Изучение процессов, описываемых этими законами, сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений.
Для решения задач математической физики, не поддающихся аналитическим решениям, используют численные методы, позволяющие аппроксимировать исходные дифференциальные уравнения. Развитие ЭВМ привело к появлению различных численных методов решения уравнений математической физики. Кроме того, за время развития вычислительных методов наметилась их специализация по отраслям приложения. Так, например, при моделировании глобальных атмосферных процессов и при решении акустических задач отдается предпочтение спектральным методам; методы конечных элементов применяются сейчас, в основном, для решения задач механики сплошной среды.
1. Задача Коши
Рассматривается решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих независимую переменную , неизвестные функции , а так же их производные .
В случае, если уравнения разрешимы относительно производных, систему может быть записана в нормальной форме Коши:
где , , - известные функции.
Решением системы является совокупность функций , непрерывных на интервале , такая, что подстановка этих функций в систему обращает все уравнения в тождества.
Задача Коши для системы состоит в определении решения, удовлетворяющего начальным условиям:
где - известные числа.
В векторной форме задача Коши имеет вид:
где .
Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).
Пусть выполнены следующие условия:
a) функции , , непрерывны и определены в некоторой замкнутой области D и имеют в этой области ограниченные частные производные по переменным
b) точка .
При выполнении этих условий решение задачи Коши единственно и оно существует.
Замечания:
- В некоторых практических приложениях независимая переменная обозначается через t и при этом имеет смысл времени, вследствие чего задача Коши так же называется начальной задачей.
- Для того чтобы решить задачу Коши для ОДУ n-го порядка:
где - заданные числа, ее следует привести к системе n уравнений первого порядка, обозначая получаем:
2. Принципы формирования численных методов
2.1 Явные и неявные методы решения
Численные дискретные методы решения ОДУ позволяющие найти решение исключительно в узлах сетки делят на две группы: явные и неявные.
Значение можно определить явно на шаге (i+1):
где Ф - функция, которая зависит от конкретного метода (кроме последней точки могут использоваться (k-1) предыдущих точек), или неявно:
где величина входит в правую и левую часть одновременно.
Явные и неявные методы делятся в свою очередь на одношаговые и многошаговые.
2.2 Одношаговые методы
Одношаговые методы - это методы, которые последователь- но дают приближения к значениям точного решения в каждом узле сетки на основе известного приближения к решению в точке .
Одношаговые методы не требуют вычисления производных в явном виде . У данных методов шаг определяется автоматически. К одношаговым методам можно отнести:
- метод Эйлера;
- модифицированный метод Эйлера (ММЭ);
- метод Эйлера-Коши (метод Хойна);
- методы Рунге-Кутты.
Рассмотрим каждый из них.
Метод Эйлера имеет большое значение в теории численных методов решения ОДУ, при том, что его редко используют в практических расчетах из-за низкой точности. Вывод расчетных соотношений для этого метода может быть рассчитан несколькими способами: с помощью геометрической интерпретации, используя разложения в ряд Тейлора; с помощью разностного метода (разностная аппроксимация производной), квадратурным способом (использование эквивалентного интегрального уравнения).
Пусть нам дано ОДУ с начальными условиями:
Нужной найти решение задачи Коши на отрезке . Решение представим в виде таблицы . Для этого нужно разбить отрезок на n частей, которые будут равны между собой, и построим последовательность
,
где - шаг интегрирования.
Основная формула для расчета методом Эйлера:
.
Вычисление значений осуществляется с использованием формулы следующим образом. По заданным начальным условиям и y0, полагая вычисляется значение
.
Далее, определяем значение x по формуле , используя значение y1 и полагая что , вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой как
Поступая аналогичным образом при , определяем все остальные значения yk.
При соединении на координатной плоскости точек отрезками прямых мы получим приближенное представление искомой кривой.
Метод Эйлера также используют для решения систем дифференциальных уравнений.
Зададим систему из двух уравнений первого порядка:
С некоторыми начальными условиями:
.
нужно найти решение этой задачи Коши. Проводя рассуждения, как представлены выше, получаем расчетные формулы вида:
где h - шаг интегрирования.
При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы получается приближенное представление интегральных кривых в форме двух ломанных Эйлера, построенных по полученным таблицам . Точность метода Эйлера .
Модификации метода Эйлера(неявный метод Эйлера).
При условии, что на правой границе интервала использовать точное значение производной от решения (т.е. тангенса угла наклона касательной), то получается неявный метод Эйлера первого порядка точности.
В общем случае нелинейное относительно уравнение численно решается с помощью метода Ньютона или его модификаций.
Метод Эйлера - Коши. В этом методе каждый интервал производится в два этапа. На первом (этап прогноза) вычисляется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера, на втором (этап коррекции) выполняется уточнение значения решения на правом конце с использованием полу суммы тангенсов углов наклона на концах интервала.
Этот метод имеет второй порядок точности.
Методы Рунге-Кутты. Методы, которые были рассмотрены выше, являлись вариантами методов Рунге-Кутты. Семейство явных методов Рунге-Кутты р-го порядка записывается в виде совокупности формул:
Переменные подбираются так, что бы значение совпадало со значением разложения в точке точного решения в ряд Тейлора с погрешностью
2.3 Многошаговые методы
Для данных методов недостаточно иметь начальных условий, чтобы начать работу. Поэтому несколько первых точек вычисляются одношаговым методом.
Чтобы вычислить следующую точку используется информация о ранее полученных точках.
Рассмотрим схемы многошаговых методов Адамса:
- второго порядка
- третьего порядка
- четвертого порядка
Для расчета второго порядка требуются две «разгонные» точки: , для третьего порядка три: ,, а для четвертого порядка четыре: ,. Данные точки необходимо вычислить с порядком точности не меньше порядка точности схемы.
Методы Адамса не позволяют изменять шаг в процессе расчетов. В отличие от метода Рунге-Кутты четвертого порядка в этих методах требуется вычислять только одно новое значение правой части решаемого уравнения (системы) вместо четырех. Высокая точность методов достигается при этом за счет учета информации о предыдущих точках. Напротив, в методе Рунге-Кутты, как и в других одношаговых методах, недостающую информацию о поведении правых частей системы получают в результате вычислений специальным образом выбранных дополнительных точках.
2.4 Глобальные и локальные ошибки численных методов
Глобальной ошибкой является величина , где - значение, получаемое по формулам при .
Глобальная ошибка определяется:
а) ошибками округления и арифметических действий, обусловленными числом разрядов компьютера и характером выполняемых операций для расчета значения искомой функции в очередной точке
б) методическими ошибками, определяемыми выбранным алгоритмом;
в) переходными ошибками
Локальные ошибки «переносятся» в точку и формируют глобальную ошибку.
Число называется порядком (точностью) численного метода, если его глобальная ошибка есть большое от , т.е. .
3. Выбор шага метода
Погрешность метода зависит от выбора шага. Чем меньше шаг, тем меньше погрешность дискретизации, но при этом идет увеличение количества итераций и влияние на полученном решении ошибок округления. Поэтому, оптимальная величина шага зависит от абсолютной погрешности метода.
Например, точность метода Эйлера составляет .. Но реальная погрешность при вычислении первой производной будет:
поскольку погрешность за счет машинного округления составит .
В этом случае можно найти оптимальный шаг h. Будем считать полную погрешность в вычислении производной Д функцией шага h. Отыщем минимум этой функции. Приравняв производную к нулю, получим оптимальный шаг численного дифференцирования:
Заключение
коши численный шаг
В данной работе мы рассмотрели основные численные методы для решения дифференциальных уравнений, а так же их систем. Рассмотрели явные и неявные методы решения ДУ. Ознакомились с ошибками численных методов и определили формулу для нахождения оптимального шага.
Библиографический список
1 СТП ОмГУПС-1.2-2005. Работы студенческие учебные и выпускные квалификационные: общие требования и правила оформления текстовых документов. - Омский Государственный Университет Путей Сообщения, Омск, 2005. 28 с.
2 Дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] Режим доступа: http://sernam.ru/book_e_math.php?id=40
3 Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB. 2009 год. 304 стр.
4 Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 3-е изд. 1967 год. 565 стр.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы. Доказательство существования решения задачи Коши. Постановка задачи численного расчёта. Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями. Программа и её описание.
дипломная работа [5,7 M], добавлен 25.05.2014Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Слабые асимптотики произведения функций Хевисайда. Решение задачи Коши методом прямого интегрирования. Оценка задачи со ступенчатой функцией в качестве начального условия. Предел на бесконечности, получаемый при неограниченном уменьшении малого параметра.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 23.09.2016Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010
