Методика вивчення квадратних рівнянь у шкільному курсі математики

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова

Курсова робота

на тему:

Методика вивчення квадратних рівнянь у шкільному курсі математики

Виконала: Лесик О.В.

Студентка 41 МФІ групи

Керівник: Сазонова О.П.

Київ 2013

План

Вступ

Розділ 1. Теоретичні основи

1.1 Означення та види квадратних рівнянь та способи їх розв'язування

1.2 Теорема Вієта та її застосування під час розв'язування задач

1.3 Розклад квадратного тричлена на лінійні множники

Розділ 2. Методика вивчення квадратних рівнянь у шкільному курсі математики

2.1 Програмні вимоги

2.2 Аналіз підручників

2.3 Тематичне планування

2.4 Розв'язування задач, що зводяться до квадратних рівнянь

2.5 Квадратні рівняння з параметрами і методика навчання їх розв'язування

а) Розв'язування рівнянь, в яких потрібне дослідження

б) Розв'язування рівнянь, в яких не вимагається дослідження

2.6 План-конспект уроку

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Необхідність розв'язування рівнянь другого степеня, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавилоняни. Правило розв'язку квадратних рівнянь, викладене у вавилонських текстах, співпадає із сучасними, але невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Незважаючи на високий рівень алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття від'ємного числа і загальні методи розв'язування квадратних рівнянь.

В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. н.е. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax²+bx+c = 0 уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487-1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595-1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

В наш час високого розвитку науки і техніки, вміння розв'язувати квадратні рівняння широко використовуються в фізиці, хімії , економіці та інших науках, тому що дуже багато задач зводиться до розв'язування квадратних рівнянь (задачі пов'язані з рухом, на обчислення площ, на спільну роботу та ін.).

Мета курсової роботи - показати, як у середній школі вивчається тема «Квадратні рівняння» та застосування в житті цієї теми.

Розділ 1. Теоретичні основи

1.1 Означення та види квадратних рівнянь та способи їх розв'язування

Означення

Квадратним називають рівняння виду ах² + bх + с = 0, де х - змінна; а, b, с - дійсні числа , причому а ?0.

Числа а, b, с - коефіцієнти квадратного рівняння: а - перший (старший) коефіцієнт, b - другий, с - вільний член.

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю.

Означення

Квадратне рівняння виду ах² + bх + с = 0, тобто квадратне рівняння, у якого перший коефіцієнт дорівнює одиниці, називається зведеним.

Якщо хоч один коефіцієнт b або с дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

1) ах² = 0, де b = 0 і с = 0

2) ах² + bх = 0, де с = 0 і b ?0

3) ах² + с = 0, де b = 0 і с ?0

1. Рівняння виду ах² = 0, рівносильне рівнянню х² = 0 і тому завжди має тільки один корінь х = 0.

2. Рівняння виду ах² + bх = 0, рівносильне рівнянню х(ах + b) = 0 і завжди має два корені: х₁ = 0, х₂ = -

3. Квадратне рівняння виду ах² + с = 0 рівносильне рівнянню х² = - . Якщо - > 0, воно має два розв'язки, якщо - < 0 - жодного розв'язку.

Якщо знаки коефіцієнтів а і с різні, то число - додатне і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів а і с однакові, то число - від'ємне і рівняння ах²+с = 0 не має коренів.

Приклади

Розв'язати рівняння:

а) 5х² = 0

Розв'язання:

х² = 0

х = 0

Відповідь: 0

б) 5х² + 4х = 0

Розв'язання:

Винесемо змінну х за дужки: х·(5х + 4) = 0

х = 0 або 5х + 4 = 0

х = - 0,8.

Відповідь: 0 або -0,8.

в) 4х² - 3 = 0

Розв'язання:

Перетворимо дане рівняння: 4х² = 3, х² = , х - число, квадрат якого дорівнює , тобто квадратний корінь з числа .Квадратних коренів з числа є два: і -

Відповідь: , -

Повне квадратне рівняння ах²+bх+с = 0 можна розв'язати графічно, побудувавши в одній системі координат графіки функцій у = ах² та у = - bх -с. Абсциси точок перетину цих графіків і будуть коренями даного рівняння. Недоліком являється те, що побудувавши графіки цих рівнянь за графіком інколи ми не можемо визначити точні значення коренів квадратного рівняння.

Повне квадратне рівняння можна розв'язати також способом виділення повного квадрата двочлена. Під повним квадратом двочлена розуміють вираз (а ± b)², який тотожно дорівнює тричлену а² ± 2аb +b²

Приклади

Розв'язати рівняння 2х² +5х -3 = 0

Розв'язання:

Виділимо повний квадрат двочлена

2(х² + 2,5х -1,5) = 0

х² + 2,5х -1,5 = 0

х² + 2·х·1,25+1,25² - 1,25² -1,5 = 0

(х+1,25)² - 3,0625 = 0

Можливі два способи

І спосіб

(х+1,25-1,75)·(х+1,25+1,75) = 0

(х-0,5)(х+3) = 0

х -0,5 = 0 або х+3 = 0

х₁ = -3 х₂ = 0,5

ІІ спосіб

(х+1,25)² = 3,0625

| х+1,25| = 1,75

х+1,25 = 1,75 або х+1,25 = - 1,75

х₁ = -3 х₂ = 0,5

Відповідь: -3 або 0,5.

Розв'язування повних квадратних рівнянь розглянутими способами інколи приводить до громіздких перетворень та необхідності побудови графіків. Тому роблять інакше. Розв'язують рівняння ах²+bх+с = 0 у загальному вигляді, дістають формулу коренів. Потім цю формулу використовують для розв'язування будь - якого квадратного рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на 4а

4а²х² +4ахb +4ас = 0

Виділимо повний квадрат двочлена

(2ах)² +2·2ахb + b² -b² +4ас = 0

(2ах + b)² = b²-4ас

Очевидно, кількість розв'язків залежить від значення виразу у правій частині рівняння.

Вираз b²-4ас називають дискримінантом даного квадратного рівняння і позначають буквою D: D = b² - 4ас

Якщо D <0, то дане рівняння не має коренів: не існує такого значення х, при якому значення виразу (2ах + b)² було б від'ємним.

Якщо D = 0, то 2ах + b = 0, звідки х = - - єдиний корінь.

Якщо D >0, то дане квадратне рівняння рівносильне рівнянню

(2ах + b)² = ()², звідки

2ах + b = ,х₁ =

2аx·b = -.x₂ =

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються тільки знаками перед . Коротко їх записують так х_1,2 = , D = b²- 4ас.

Це формула коренів квадратного рівняння ах² + bх + с = 0. Користуючись нею, можна розв'язати будь - яке квадратне рівняння.

Приклади

Розв'язати рівняння

а) 3х² - 5х +2 = 0

Розв'язання:

Маємо: D = 25 - 24 = 1, D >0,

х₁ = = = , х₂ = = = 1

Відповідь: 1, .

б) х² +4х + 4 = 0

Розв'язання:

Маємо: D = 4² - 4·4 = 16 - 16 = 0, D = 0

х₁ = - = = - 2

Відповідь: - 2.

в) 3х² + 2х + 1 = 0

Розв'язання:

Знайдемо дискримінант: D = 2² - 4·3·1 = 4 - 12 = -8,

D <0, то рівняння коренів немає

Відповідь: рівняння коренів немає

1.2 Теорема Вієта та її застосування під час розв'язування задач

Корені квадратного рівняння ах²+bх+ с = 0 х₁ і х₂ зв'язані такими залежностями х₁ + х₂ = - і х₁ · х₂ = . Ці властивості коренів квадратного рівняння ах²+bх+с = 0 відомі під назвою теореми Вієта, за ім'ям відомого французького математика Франсуа Вієта (1540 - 1603)

Теорема

Сума коренів повного квадратного рівняння дорівнює відношенню другого коефіцієнта до першого, взятого з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює відношенню вільного члена до першого коефіцієнта.

Доведення:

Розглянемо рівняння ах²+bх + с = 0. Знайдемо суму і добуток його коренів:

х₁ + х₂ = + = = - = -

х₁ · х₂ = · = = =

= = =

отже, х₁ + х₂ = - , х₁ · х₂ = , що й вимагалося довести.

Підставимо значення а = 1 у формулу суми і добутку коренів, дістанемо для зведеного квадратного рівняння х² + bх + с = 0: х₁ + х₂ = -b, х₁ · х₂ = с.

Тобто, сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Справджується також твердження, обернене до теореми Вієта.

Теорема (обернена)

Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -b і с , то m і n - корені рівняння х²+bх + с = 0

Доведення:

Нехай m + n = -b і m · n = с. За цих умов рівняння х²+ bх + с = 0 рівносильне рівнянню х² - (m + n)х +mn = 0.

Підставимо у це рівняння замість змінної х числа m і n:

m² - (m + n)m + mn = m² - m² - nm + nm = 0

n² - (m + n)n + nm = n² - mn - n² + mn = 0.

Отже, m і n - корені даного квадратного рівняння. А це й треба було довести.

З теореми Вієта випливає, що цілі розв'язки рівняння х²+bх+ с = 0 є дільниками вільного члена с. Користуючись оберненою теоремою, можна перевірити, чи є та чи інша пара чисел коренями зведеного квадратного рівняння, чи ні. Це дає можливість усно роз'язувати багато таких рівнянь.

Приклади

Розв'яжіть рівняння

а) х² + 12х + 11 = 0.

Розв'язання:

Якщо рівняння має цілі корені, то їх добуток дорівнює 11. Це можуть бути числа 1 і 11 або -1 і -11. Другий коефіцієнт рівняння додатний, тому корені від'ємні. Отже, коренями рівняння будуть -1і -11.

Відповідь: -1; -11.

Б) х² - 5х + 6 = 0.

Розв'язання:

За теоремою Вієта маємо:

х₁ · х₂ = 6,

х₁ + х₂ = 5.

Отже, коренями даного квадратного рівняння будуть числа 2 і 3, оскільки, 2·3 = 6 і 2+3 = 5.

Відповідь: 2, 3.

в) х² + 8х + 15 = 0.

Розв'язання:

За теоремою Вієта маємо:

х₁·х₂ = 15,

х₁ + х₂ = -8.

Отже, коренями даного квадратного рівняння будуть числа -5 і -3, оскільки,-5·(-3) = 15 і -5+(-3) = -8

Відповідь: -5, -3.

1.3 Розклад квадратного тричлена на лінійні множники

Означення

Квадратним тричленом називають многочлен виду ах² + bх + с, де х - змінна, а, b і с - дійсні числа , причому а ?0.

Тричлен другого степеня відрізняється від лівої частини рівняння ах² + bх+ с = 0 тим, що в рівняння під х ми розуміємо тільки ті числа, які задовольняють рівняння, тобто перетворюють його ліву частину в нуль, а в тричлені х може бути будь - яким числом.

Значення квадратного тричлена залежить від значення змінної. Так,

якщо х = 5, то тричлен 3х² - 2х - 5 набуває значення 60;

якщо х = 1, то тричлен 3х² - 2х - 5 набуває значення -4;

якщо х = -1, то тричлен 3х² - 2х - 5 набуває значення 0;

якщо х = 0, то тричлен 3х² - 2х - 5 набуває значення -5.

Значення змінної х = -1 перетворило квадратний тричлен в нуль, а тому називається коренем квадратного тричлена 3х² - 2х - 5.

Означення

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю.

Число -1 - корінь квадратного тричлена 3х² - 2х - 5. Чи має цей тричлен інші корені? Щоб відповісти на це запитання, досить розв'язати квадратне рівняння 3х²-2х-5 = 0

Знайдемо дискримінант:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4·3·(-5) = 64

Оскільки, D>0, то рівняння має два різні корені. Застосувавши формулу коренів, дістанемо:

х = = ,

х₁ = 1, х₂ = -1,

Отже, квадратний тричлен 3х²-2х-5 = 0 має два корені: 1 і -1.

Квадратний тричлен ах² + bх + с має ті самі корені, що й квадратне рівняння ах²+ bх + с = 0.

Теорема

Якщо х₁ і х₂ - корені квадратного тричлена ах²+ bх + с,

то ах²+bх+с = а(х - х₁)(х - х₂).

Доведення:

Винесемо за дужки в многочлені ах²+ bх + с множник а. Дістанемо:

ах²+ bх + с = а( х² + х + )

Оскільки числа х₁ і х₂ - корені квадратного тричлена ах²+bх + с, то за теоремою Вієта маємо:

х₁ + х₂ = - , х₁ х₂ =

Звідси

= - (х₁ + х₂), = х₁ х₂

Тому

х² + х + = х² - (х₁ + х₂)х + х₁ х₂ = х² - х₁х - х₂х + х₁ х₂ = х(х -х₁) -

- х₂(х -х₁) = = (х - х₁)(х - х₂).

Отже, ах²+bх+с = а(х - х₁)(х - х₂)

Теорема

Якщо квадратний тричлен не має коренів, то його неможливо розкласти на лінійні множники.

Доведення:

Припустимо, що квадратний тричлен ах²+ bх + с, який не має коренів, можна подати у вигляді добутку многочлені першого степеня:

ах²+ bх + с = (kx + m)(px + q),

де - k, m, p, q - деякі числа, причому к?0, р?0.

Прирівнявши розклад многочлена до нуля (kx + m)(px + q) = 0, дістанемо х₁ = - , х₂ = -, тобто числа - і - будуть коренями тричлена ах²+ bх + с, що суперечить умові теореми.

Приклади. Розкласти на множники квадратний тричлен

а) 2х² - 5х - 3

Розв'язання:

Знайдемо його корені. Для цього розв'яжемо рівняння 2х² - 5х - 3 = 0. Його дискримінант D = 5² - 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49.

Звідси, х₁ = = - , х₂ = = 3

Скориставшись теоремою про розклад квадратного тричлена на множники, матимемо:

2х² - 5х - 3 = 2(х+ )(х - 3).

Останній добуток можна записати інакше, якщо перемножити перший і другий множники:

2х² - 5х - 3 = (2х+1)(х - 3).

б) -25х² + 10х - 1

Розв'язання:

Знайдемо його корені. Для цього розв'яжемо рівняння -25х² + 10х - 1 = 0. Його дискримінант D = 10² - 4·(-25)·(-1) = 100 - 100 = 0.

Тому тричлен має два рівні корені: х₁ = х₂ = =

Отже, -25х² + 10х - 1 = -25(х - )(х - )

Знайдений результат можна записати так:

-25(х - )(х - ) = -(5х -1) (5х -1) = -(5х -1)².

Звідси, -25х² + 10х - 1 = -(5х -1)².

в) 3х² - 21х + 30

Розв'язання:

Винесемо спочатку за дужки число 3, дістанемо: 3х² - 21х + 30 = 3(х² - 7х + 10).

Розкладемо тепер на множники многочлен х² - 7х + 10. Для цього розв'яжемо рівняння: х² - 7х + 10 = 0.

За теоремою Вієта х₁ х₂ = 10,

х₁ + х₂ = 7.

Тоді, х₁ = 2, х₂ = 5.

Отже, 3х² - 21х + 30 = 3(х² - 7х + 10) = 3(х - 2)(х - 5).

Розділ 2. Методика вивчення квадратних рівнянь у шкільному курсі математики

2.1 Програмні вимоги

Тема «Квадратні рівняння» вивчаються в 8 класі після вивчення теми «Квадратні корені. Дійсні числа». На дану тему в основній школі відводиться приблизно 18 год.

Зміст навчального матеріалу

Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв'язування. Формула коренів квадратного рівняння. Теорема Вієта.

Квадратний тричлен, його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних.

Розв'язування задач за допомогою квадратних рівнянь та рівнянь, які зводяться до квадратних.

Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Вивчивши тему учні повинні:

- наводити приклади квадратних рівнянь різних видів (повних, неповних, зведених), квадратних тричленів.

- записувати і пояснювати: формулу коренів квадратного рівняння; способи розв'язування неповних квадратних рівнянь; формулу розкладання квадратного тричлена на множники.

- формулювати: означення: квадратного рівняння; кореня квадратного члена;

теорему Вієта і обернену до неї теорему;

- обґрунтовувати теорему Вієта.

- розв'язувати вправи, що передбачають: знаходження коренів квадратних рівнянь різних видів; застосування теореми Вієта і оберненої до неї теореми; розкладання квадратного тричлена на множники; знаходження коренів рівнянь, що зводяться до квадратних; складання та розв'язування квадратних рівнянь, що зводяться до них, як математичних моделей текстових задач.

Щодо відповідної теми в школах з поглибленим вивченням математики, то на неї відводять від 30 до 35 год.

Зміст навчального матеріалу

Квадратне рівняння та його корені. Неповні квадратні рівняння. Теорема Вієта та її застосування. Розв'язування задач за допомогою квадратних рівнянь.

Рівняння, розв'язання яких зводиться до квадратних рівнянь. [Системи рівнянь із двома змінними, розв'язування яких зводиться до квадратних рівнянь].

Рівняння та системи рівнянь з модулями та параметрами.

Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

Вивчивши тему учні повинні:

· знати

- загальний вигляд квадратного рівняння;

- формулу коренів квадратного рівняння;

- формулу Вієта залежності між коренями і коефіцієнтами квадратного рівняння;

· уміти

- розв'язувати квадратне рівняння за формулою його коренів;

- знаходити корені квадратного рівняння, використовуючи формули Вієта;

- розкладати квадратний тричлен на множники, розв'язувати раціональні, ірраціональні рівняння, їх системи і задачі, які зводяться до розв'язування квадратних рівнянь.

2.2 Аналіз підручників

Для вивчення алгебри 8 класу Міністерство освіти і науки України рекомендувало використовувати декілька підручників. Один з них: алгебра 8 клас (О.Я. Біляніна, Н.Л. Кінащук, І.М. Черевко) - підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. В ньому формуються основні аспекти побудови предмета як науки та важливість і потрібність його на сьогодні, вміщено навчальний та практичний комплекс, в якому особливе місце відводиться розв'язуванню прикладних завдань, які потрібні для повсякденного життя. У цьому підручнику тема «Квадратні рівняння» викладена відповідно чинній програмі загальноосвітньої школи.

Параграфи страктуються за такою схемою: перелік основних запитань, які несуть основний зміст теми; виклад теоретичного матеріалу; приклади його застосування (у формі «Як записати» і «Як пояснити»); різнорівневі вправи для закріплення та самооцінювання (тести); вправи для повторення; рубрика «Перерва». Вивчаючи теоретичний матеріал звернено увагу на текст, який виділено жирним та курсивним шрифтами та позначено піктограмами. Це ті математичні твердження і терміни, які потрібно запам'ятати.

Для більшого запам'ятовування та відновлення раніше вивченого вміщено рубрику «Вправи для повторення». Якщо під час розв'язування задач виникають труднощі, то тут розставлена підказка «Рятівні круги». Рубрика «Готуймося до тематичного оцінювання» допомагає підготуватися до контролю з теми. Також введено рубрика «Джерело» (історія алгебраїчних понять), завдання «Перерва» і «Задачі підвищеної складності».

2.3 Тематичне планування

Квадратні рівняння (18 год.)
№	Тема уроку	Тип уроку	Примітки
1	Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння	Засвоєння нових знань
2	Розв'язування вправ	Формування вмінь і навичок
3	Формула коренів квадратного рівняння	Засвоєння нових знань
4	Розв'язування вправ. Самостійна робота	Контролюючий
5	Зведене квадратне рівняння. Формула його коренів	Комбінований
6	Теорема Вієта	Засвоєння нових знань
7-8	Розв'язування вправ. Самостійна робота	Комбінований
9	Контрольна робота	Урок перевірки навичок і вмінь
10	Квадратний тричлен, його корені. Розкладання квадратного тричлена на множники	Засвоєння нових знань
11	Розв'язування вправ	Комбінований
12	Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних	Формування вмінь і навичок
13	Розв'язування вправ. Самостійна робота	Контролюючий
14	Розв'язування задач за допомогою квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться до квадратних	Формування вмінь і навичок
15-16	Розв'язування вправ. Самостійна робота	Комбінований
17	Розв'язування вправ	Формування вмінь і навичок;
18	Контрольна робота	Контролюючий

2.4 Розв'язування задач, що зводяться до квадратних рівнянь

квадратний рівняння тричлен множник вієт

Навчити учнів розв'язувати задачі за допомогою складання рівнянь - одне з найважливіших завдань учителя математики.

З текстових задач у шкільному курсі математики найчастіше зустрічаються такі, в яких йдеться про трійки пов'язаних між собою величин: час, відстань і швидкість, маса, ціна і вартість і т. ін. Щоб навчити учнів розв'язувати такі задачі, треба спочатку навчити їх встановлювати залежності між подібними трійками величин.

Отже, розглянемо такі задачі.

Задача 1

Колективне сільськогосподарське підприємство (КСП) мало засіяти 280 га до певного строку, але воно засівало щодня на 7 га більше, ніж було передбачено планом, і тому закінчило сівбу на 2 дні раніше строку. За скільки днів КСП закінчило сівбу?

Розв'язання:

І спосіб

Нехай КСП засівало щодня по х га;

а мало засіяти х - 7 га

сівба тривала всього днів

а мала тривати днів

У задачі відомо, що КСП закінчило сівбу на 2 дні раніше строку, тому менше від на 2. Отже,

- = 2,

Звідки, х² - 7х - 980 = 0

х - 7?0

х?0

тоді, за теоремою Вієта, х₁х₂ = - 980

х₁ + х₂ = 7

х₁ = 35, х₂ = -28.

Від'ємне значення х задачу не може задовольняти, бо кількість гектарів не може бути від'ємною. Тому його відкидаємо. Залишається х = 35. по стільки гектарів засівали в КСП щодня. Всього засіяли 280 га, отже, сівба тривала 280:35 = 8 (днів)

Відповідь: 8 днів.

ІІ спосіб

Нехай сівба тривала х днів. КСП щодня засівало на 7 га більше, то за х днів воно засіяло на 7х га більше, ніж мало засіяти за х днів. Виходить, 7х га воно мало засіяти за 2 дні. Тоді за день воно мало засівати по х га. Крім того, воно за день мало засівати по га. Отже, х =

х² +2х -80 = 0

х +2 ?0

за теоремою Вієта х₁ · х₂ = 80

х₁ + х₂ = -2

х₁ = 8, х₂ = -10.

Задачу задовольняє додатний корінь: 8 днів.

Відповідь: 8 днів.

Задача 2

Городню ділянку, що має форму прямокутника, одна сторона якого на 10 м більша за другу, потрібно огородити. Визначити довжину огорожі, якщо відомо, що площа ділянки дорівнює 1200 м².

Розв'язання:

Нехай одна сторона прямокутника дорівнює х (м), тоді друга буде (х+10) (м). Знаючи, що площа прямокутника обчислюється як добуток сторони на сторону, то маємо: х(х+10) = 1200. Отримали квадратне рівняння.

Розв'яжемо його. Маємо:

х² + 10х = 1200

х² + 10х - 1200 = 0

D = 10² - 4·(-1200) = 100 + 4800 = 4900

= 70

х₁ = = 30; х₂ = = -40

або за теоремою Вієта маємо:

х₁ · х₂ = -1200

х₁ + х₂ = -10, тому, х₁ = 30; х₂ = -40

Другий розв'язок рівняння не беремо до уваги, оскільки довжина сторони прямокутника не може виражатися від'ємним числом.

Тому довжина огорожі

2х + 2(х+10) = 2·30 + 2(30+10) = 60+80 = 140 (м)

Відповідь:140 м

Задача 3

Теплохід пройшов за течією річки 48 км і стільки ж проти течії і затратив на весь шлях 5 год. Визначити швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії річки 4 км/год.

Розв'язання:

Швидкість теплохода в стоячій воді приймаємо за х (км/год). Тоді його швидкість за течією річки буде (х+4) (км/год), а швидкість проти течії (х-4) (км/год). Значить, він пройде за течією 48 км за год і проти течії за год. За умовою задачі маємо

+ = 5

х+4 ?0

х-4 ?0

48(х-4)+48(х+4) = 5(х-4)(х+4)

х+4 ?0

х-4 ?0

48х-192 + 48х+192 - 5х² +80 = 0

х?4

х ?-4

5х² -96х - 80 = 0

D = 96² - 4·5·(-80) = 9216 + 1600 = 10816

= 104

х₁ = = 20; х₂ = = -

Відкидаючи другий корінь, оскільки швидкість не може бути від'ємною, одержуємо, що швидкість теплохода в стоячій воді була 20 км/год.

Відповідь: 20 км/год

Задача 4

За 4 дні спільної роботи двох тракторів різними потужностями виорано

колгоспного поля. За скільки днів можна було б виорати все поле кожним трактором окремо, якщо перший трактор може виорати все поле на 5 днів раніше, ніж другий.

Розв'язання:

Всю роботу приймаємо за одиницю. Припускаємо, що другим трактором можна виорати все поле за х днів, тоді першим трактором його можна виорати за (х-5) днів.

Значить, за 4 дні другий трактор виоре ·4 = частин поля, а перший частину. Оскільки, це складає всього поля, тобто виконано роботи, то отримуємо рівняння

+ =

12(х-5) +12х-2х(х-5) = 0

х ?0

х-5 ?0

2х²+34х-60 = 0

х ?0, х ?5

х²+17х-30 = 0

За теоремою Вієта маємо:

х₁ = 15, х₂ = 2.

Другий корінь не відповідає умові задачі, оскільки 2-5 = -3.

Отже, другий трактор може виорати все поле за 15 днів, а перший за 10 днів.

Відповідь: 10 днів, 15 днів.

Задача 5

Два автомобілі виходять з одного міста в друге. Швидкість першого на 10 км/год більша за швидкість другого, і тому перший автомобіль приходить на місце на 1 год раніше за другий. Визначити швидкість обох автомобілів, якщо відомо, що відстань між містами 560 км.

Розв'язання:

Приймаємо швидкість другого автомобіля за х (км/год). Тоді швидкість першого буде (х+10) (км/год). Значить, час руху першого автомобіля буде (км/год), а час руху другого (км/год).

За умовою задачі, перший автомобіль приходить раніше за другого на 1 год. Отже,

- 1 =

560(х+10)- х(х+10)-560х = 0

х?0

х+10?0

560х+5600-х² -10х-560х = 0

х?0

х ? -10

х² + 10х - 5600 = 0

за теоремою Вієта маємо:

х₁ = 70, х₂ = -80.

Відкидаючи другий корінь, оскільки швидкість не може бути від'ємною, одержуємо швидкість першого автомобіля 70 км/год, тоді швидкість другого буде 80км/год.

Відповідь: 70 км/год, 80 км/год

2.5 Квадратні рівняння з параметрами і методика навчання їх розв'язування

а) Розв'язування рівнянь, в яких потрібне дослідження

Нехай дано рівняння 2m(m-2)x = m-2(1)

Як уже зазначалося, рівняння (1) - це, по суті, стислий запис множини рівнянь, які можна дістати з рівняння (1) при різних конкретних числових значеннях параметра m.

Нехай областю зміни параметра m буде деяка множина чисел: -1, 0, 1, 2, 3. тоді з рівняння (1) дістанемо множину рівнянь:

6х = -3, якщо m = -1,

0х = -2, якщо m = 0

-2х = -1, якщо m = 1,

0х = 0, якщо m = 2,

6х = 1, якщо m = 3,

Отже, розв'язати рівняння (1) з параметром - це означає знайти множину рівнянь, які дістають з рівняння (1) при різних дійсних значеннях параметра.

Звичайно, записати кожне рівняння нескінченної множини неможливо, тому прагнути виділити «особливі» значення параметра, їх називають контрольними, при яких і при переході через які відбувається якісна зміна рівняння.

Розв'яжемо рівняння (1).

Тут контрольними будуть ті значення параметра, при яких коефіцієнт при х перетворюється в нуль, тобто m = 0 і m = 2. Отже, якщо m = 0 і m = 2, то не можна ділити обидві частини рівняння на коефіцієнт при х , в той час при значеннях параметра m ? 0 і m ? 2 таке ділення можливе.

Звідси випливає, що доцільно розглянути рівняння (1) для таких значень параметра:

1) m = 02)m = 23) m ? 0 і m ? 2

1) якщо m = 0, то рівняння (1) набуде вигляду 0·х = -2. це рівняння не має коренів.

2) якщо m = 2, т о рівняння (1) набуде вигляду 0·х = 0. коренем цього рівняння будь - яке дійсне число.

3) якщо m ? 0 і m ? 2, то з рівняння (1) дістанемо х = або х =

Відповідь: якщо m = 0, не має коренів;

якщо m = 2, то коренем є будь - яке дійсне число;

якщо m ? 0 і m ? 2, то х =

Приклад. Розв'язати рівняння, досліджуючи значення параметра а:

(а²+а-2)х² + (2а²+а+3)х + а² - 1 = 0

Розв'язання:

Розглянемо випадок, коли рівняння є квадратним, тобто а²+а - 2?0; або а?1 і а?-2. знайдемо дискримінант D = (2а²+а+3)² -4(а²+а-2)( а² - 1) = (5а² + 1)².

Дискримінант D?0, то знаходимо корені

х₁ = = = -

х₂ = = = -

Якщо а = 1, то дане рівняння набере вигляду 6х = 0 або х = 0

Якщо а = -2, то дане рівняння набере вигляду 9х+3 = 0, або х =

Відповідь: Якщо а?1 і а?-2, то х₁ = - , х₂ = - ;

якщо а = 1, то х = 0; якщо а = -2, то х =

б) Розв'язування рівнянь, в яких не вимагається дослідження

Розв'язати рівняння: х² - 3ах+2а² = 0

Розв'язання:

У цьому рівнянні х - змінна, а - стала. Але оскільки а може набувати будь-яких фіксованих значень, як кожна буква в алгебрі, по суті, маємо не одне рівняння, а нескінченну множину квадратних рівнянь. Буква а називається параметром, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметр.

Розв'яжемо дане рівняння, користуючись формулою коренів квадратного рівняння.

х² - 3ах+2а² = 0

х_1,2 = = ; х₁ = 2а, х₁ = а

Відповідь: 2а, а

План-конспект уроку

Тема: Квадратні рівняння.

Мета: Систематизувати знання учнів по темі „Квадратні рівняння”. Усувати помилки, які допускають учні під час розв'язування вправ і задач, які зводиться до квадратних рівнянь:

розвивальна: розвивати знання учнів про рівняння, формувати навики розв'язку лінійних, квадратних, дробово-раціональних рівнянь.

виховна: сприяти розвитку всесторонньо розвинутої особистості, вихованню етичних норм, гуманізму, активної життєвої позиції.

Тип уроку. Урок узагальнення і систематизації знань.

Хід уроку

I. Організація класу

ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів

Квадратні рівняння широко використовуються в різних сферах науки, тому вивчення їх є досить важливим кроком для розв'язку різних задач як з математики, так і інших наук.

ІІІ. Тема уроку

Урок систематизації та узагальнення знань по темі „Квадратні рівняння”

ІV. Актуалізація опорних знань учнів

1. Що називається рівнянням?

2. Що називається коренем рівняння?

3. Які види рівнянь ми вміємо розв'язувати.

Лінійні рівняння

1. Згадаємо, що ми знаємо про лінійні рівняння: Рівняння виду , де а і b дані числа, називаються лінійними. Лінійні рівняння мають один корінь, який дорівнює .

Розв'язуючи рівняння, його спочатку спростимо, зведемо до лінійного.

1. Позбутися знаменників (якщо вони є).

2. Розкрити дужки.

3. Перенести члени із змінними в ліву частину рівняння, а інші в праву.

4. Звести подібні доданки і знайти корінь.

Учні розв'язують біля дошки рівняння.

1) 6х + 5(2х-7) = 5х + 9.

6х +10х - 35 = 5х + 9;

6х + 10х - 5х = 9 + 35;

11х = 44;

х = 44 : 11;

х = 4;

Відповідь: х = 4;

3) 8 + 2(2х - 9) = 4х - 10;

8 + 4х - 18 = 4х - 10;

4х - 4х = -10 + 18 - 8;

0х = 0 - рівняння розв'язків немає.

Відповідь:рівняння розв'язків немає.

2) 3(х-5) = 3х + 8;

3х - 15 = 3х + 8;

3х - 3х = 8 +15;

0х = 23; - рівняння розв'язку немає.

Відповідь:рівняння розв'язку немає.

Квадратні рівняння

2. Рівняння виду ах² + bх + с = 0, де а, b, с - числа, х - змінна, називаються квадратними.

Якщо хоч один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то рівняння називається неповним:

1) ах² = 0. 2) ах² + bх = 0. 3) ах² + с = 0.

Учні розв'язують рівняння на дошці.

1) 5х² = 0 ; 2) 5 х² +4х = 0;

х² = ; х (5х + 4) = 0;

х² = 0 ; х = 0; 5х + 4 = 0;

х = ; 5х = -4;

х = 0. х = -;

Відповідь: х = 0 х = -0,8;

Відповідь: х = -0,8 або х = 0.

3) у² - 9 = 0;

у² = 9;

у = ;

у₁ = 3;

у₂ = -3.

Відповідь: у₁ = 3, у₂ = -3.

Для розв'язку квадратного рівняння ми знаємо формули:

D = b² - 4ас:

Корені рівняння знаходимо за формулою:

х_1,2 = - b / 2а.

1. Якщо D 0, рівняння має два корені.

2. D = 0, рівняння має один корінь.

3. D 0, рівняння не має коренів.

Учні виконують рівняння біля дошки і в зошитах:

1. 3х² - 2х - 8 = 0.

D = b² - 4 ас - (-2)² - 4 • 3 • (-8) = 4 + 96 = 100;

х_1,2 = ;

х₁ = ;

х₂ = .

Відповідь: х₁ = 2; х₂ = -1

2) х² - 6х -2 = 0;

3) х² + 5х + 9 = 0.

Квадратні рівняння можна розв'язувати за теоремою Вієта: За теоремою Вієта розв'язуються зведені квадратні рівняння (а = 1).

х² + рх + q = 0;

х₁ + х₂ = -р;

х₁ • х_{2 =} q;

1) х² + 12х +11 = 0;

х₁ = -1: х₂ = -11;

х₁ + х₂ = -1 + (-11) = -12;

х₁ • х₂ = -1 • (-11) = 11;

Усно:

2) х² -3х +2 = 0;

3) х² + 5х + 6 = 0;

4) у² = 5у - 14 = 0;

5) х² - 7х +12 = 0;

6) 2 х² - 7х = 0.

Першим, хто описав розв'язок лінійних рівнянь, був Мухамед-аль-Хорезми, який написав трактат „Аль-Джебра і Аль-Мухабала”. В перекладі на нашу мову, аль-джабр означає перенесення доданків з однієї частини в іншу, а аль-мухабала - зведення подібних доданків.

Щоб швидше запам'ятати формулу коренів квадратного рівняння, можна запам'ятати вірш:

Щоб кількість коренів знайти

Дискримінант зумій обчислити

Треба тільки постаратись

Від b в квадраті відняти 4ас.

Швидко відповідь знаходим

Мінус b плюс - мінус D під корнем

Ділим на 2а

І в рівнянні відповідь готова.

Дробово-раціональні рівняння, які зводяться до квадратних

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Дайте відповідь, для чого потрібно вміти розв'язувати різні рівняння?

Правильно, щоб за їх допомогою розв'язувати задачі. За допомогою рівнянь можна розв'язувати задачі з хімії, фізики, біології.

Задачі з хімії ви розв'язуєте задачі на пропорцію. Це є лінійні рівняння. З фізики, коли швидкість, час, густину і т.д. розв'язуєте лінійні рівняння.

У дев'ятому класі ви будете вчити механіку. Розв'яжемо задачу з фізики на тему: „Тіло кинуте вертикально вгору”.

Задача:

Тіло кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 40 м/с. Через секунду тіло буде на висоті 60 м.

Розв'язання:

60 = 40t - 5 t²

-5t² +40 t - 60 = 0

t² - 8 t + 12 = 0.

За теоремою Вієта t₁ = 2; t₂ = 6.

Що ми побачили з точки.

Тіло опинилося на висоті 60 м два рази: через 2 с і через 5 сек після кидання вертикального вгору.

В цій задачі нам довелось розв'язувати квадратне рівняння.

Тепер ми розв'яжемо задачу, яка зводиться до дробово-раціональних рівнянь.

Задача

Моторний човен пройшов 48 км за течією річки і 70 км проти течії за 4 год. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна дорівнює 30 км/год.

Розв'язання:

Нехай швидкість течії річки х км/год, тоді швидкість човна за течією річки (30 = х) км/год, а проти течії річки (30-х) км/год. Час який витратив човен на шлях за течією річки дорівнює год, а проти течії - год. Тоді

не задовольняє умови задачі.

Відповідь: швидкість течії 2 км/год.

ІV. Підсумок уроку

На цьому уроці ми систематизували знання про рівняння. Знайшли зв'язок математики з хімією, фізикою, і переконались, що математика розвивається не сама по собі, а всі відкриття творять люди. Так, наприклад, свій внесок в розвиток вчення про рівняння внесли Евклід і Діофант, Аль-Хорезмі, Вієт та інші вчені.

V. Повідомлення домашнього завдання

І рівень. а) 3 х² - 27 = 0

б) 4z² + z = 0

в) у² - 9у + 14 = 0.

ІІ рівень. а) Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна сторона з них на 3,5 см довша від другої, а площа прямокутника дорівнює 92 см².

в) .

Висновки

В даній курсовій роботі розкрито роль, місце та значення квадратних рівнянь у шкільному курсі математики і їх застосування на практиці при розв'язуванні задач.

На рівняння завжди був попит для розв'язування задач, складання систем, побудови графіків тощо. Були такі рівняння, які дуже важко розв'язати. А от квадратні рівняння завжди можна дослідити, а потім розв'язати. За це квадратні рівняння виділяли серед інших рівнянь, що не дуже подобалося іншим.

Квадратні рівняння легко розв'язати за формулою х_1,2 =

В даній роботі розкрито такі теми:

1. види квадратних рівнянь та способи їх розв'язування;

2. теорема Вієта та її застосування під час розв'язування задач;

3. розклад квадратного тричлена на лінійні множники;

4. розв'язування задач за допомогою квадратних та дробово-раціональних рівнянь;

5. розв'язування рівнянь з параметрами, в яких не вимагається дослідження та рівнянь, в яких потрібне дослідження;

Велика заслуга при вивченні даної теми належить французькому математику Франсуа Вієту, завдяки якому алгебра стає наукою про рівняння. Він перший позначив буквами не тільки невідомі, а й дані, тобто коефіцієнти рівняння. Завдяки цьому стало можливим записувати загальні формули для розв'язування квадратних рівнянь. Його називають батьком алгебри.

Список використаної літератури

1. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Київ, Ірпінь, 2005.

2. Математика. Програма для шкіл з поглибленим вивченням математики. Київ, Ірпінь, 2005.

3. Довідник з елементарної математики. Вид. друге. «Наукова думка», Київ, 1976.

4. С.Т. Завало. Рівняння і нерівності. Вид. «Радянська школа», Київ, 1973.

5. С.О. Теляковський. Алгебра 9. Київ, «Радянська школа», 1990.

6. А.Г. Мерзляк та ін. Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання. 8 клас. Алгебра. Харків «Гімназія», 2004.

7. В.Г. Коваленко, В.Я. Кривошеєв та ін. Алгебра 8. Експериментальний навч. Посібник для 8 класу шкіл з поглибленим вивченням математики і спеціалізованих шкіл фізико-математичного профілю. Київ «Освіта», 1995.

8. Н.М. Шунда. Збірник задач з алгебри для 6-8 класів. Методичний посібник. Київ, «Радянська школа», 1987.

9. Г.П. Бевз. Методика викладання математики. Київ «Вища школа», 1977.

10. Газета «Математика». №47(395) 2006.

Размещено на allbest.ru