Размещено на http://www.allbest.ru/

Некоторая система функции сопряженная системе функционалов Симпсона

Н.С. Абдуллаев

Аннотация

В работе построена система функции сопряженная системе функционалов Симпсона и получены достаточные условия разложимости четной, непрерывной, 2 - периодической функции по биортогональной системе.

Биортогональные разложения различных классов функции нашли применение как в различных разделах математики, так и в многочисленных ее применениях.

В связи с громоздкостью вычислений коэффициентов через обычные интегральные формулы Фурье возникает естественная необходимость построения биортогональных систем, коэффициенты которых довольно легко выражаются.

В работе в качестве функционалов биортогональных систем выбраны функционалы

(1)

получающиеся при приближенном вычислении интеграла от непрерывной четной 2- периодической функции на [-,]. Положим

(2)

Линейные функционалы будем называть функционалами Симпсона функции f. В работах /1/, /2/ была решена задача восстановления непрерывной 2 - периодической функции f(x) по функционалам

(3)

В работе /6/ были найдены условия, обеспечивающие восстановление непрерывной функции f(x) по известным значениям её функционалов Симпсона , (n=1,2,…).

В настоящей работе построена система функций , сопряженная системе функционалов Симпсона и получены достаточные условия разложимости четной, непрерывной, 2- периодической функции f по биортогональной системе {,}. Далее строится система функций =, которая сопряжена к , т.е. = где - Символ Кронекера. математика функция биортогональный

ЛЕММА 1. Пусть

(4)

тогда система функций является сопряженной к на [0,2].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычислим

Таким образом, окончательно

(5)

ЗАМЕЧАНИЕ: покажем, что

Cos(mx) = (6)

Действительно

ТЕОРЕМА 1. Сумма коэффициентов многочлена gSn(x) может быть вычислена по следующей формуле

Полагая q=2q', лемме 4 в работе /6/ тогда получим

но в этом случае

.

Поэтому, полагая n =, получим

В работе /7/ были найдены достаточные условия разложения функции в равномерно сходящийся ряд по системе {,} и оценена скорость равномерной сходимости.

Далее показана возможность суммирования по биортогональной системе {,}, специальным методом, впервые рассмотренном в /3/. Кроме того, доказано, что класс функций полностью определяемых последовательностью функционалов Симпсона , нельзя расширить.

ТЕОРЕМА 2. Если ряд Фурье чётный 2 - периодической функции f(x) абсолютно сходится, то

, (7)

причем ряд (7) сходятся равномерно на всей числовой прямой и его остаток Rn(x) мажорируется рядом

Для доказательства обозначим через (m,[n])- наибольший общий делитель чисел m и [n]. Заметим, что (m,[n])=m при mn. Выражая по лемме 1 в работе /6/ функционалы через , получим

где

Используя замечание к лемме 1, получим, что первая сумма равна

поэтому откуда это следует утверждение теоремы.

ЗАМЕЧАНИЕ: Легко показать что абсолютная сходимость ряда Фурье равносильна абсолютной сходимости ряда, составленного из коэфицентов Фурье то есть

СЛЕДСТВИЕ: Сходимость ряда где - абсолютная константа, функции имеет место в каждом из следующих случаев

а)

б)

И имеет ограниченное изменение на доказательство вытекает из результатов /4/ с 384-386.

Далее, существенно расширен класс функции, которые полностью определяются своей последовательностью функционалов Симпсона.

ТЕОРЕМА 3. Если ряд Фурье четной, 2-периодической функции абсолютно сходятся, то она полностью восстанавливается своей последовательностью функционалов Симпсона Sn

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть f,F четные, 2-периодические функции, ряды Фурье которых абсолютно сходятся, тогда в силу. Теорема 2.

f(х)-F(х)=1/2(а 0[f]-a0[F])

Учитывая, что

dx.Получим а 0[f]=a0[F]. Отсюда следует что f(x)F(x) и т.д.

ЗАМЕЧАНИЕ: Возникает естественный вопрос нельзя ли расширить класс функции, которые полностью определяются функционалами Симпсона. Следующий пример показывает, что этого сделать нельзя.

ПРИМЕР: Положим

f0(х) = (8)

Как показано в /5/ ряд (8) сходится равномерно на [-,]. Поэтому f0(x) -непрерывная, четная, 2-периодическая функция.

Очевидно, что f0(x)

Кроме того, ряд (8) является рядом Фурье f0(х), т.е ак[f0]=(k)/k

Т.к то ряд расходится,

Покажем, что Sn[f0]=0

В самом деле,

An[f0]=An() =n(coskx) ==

Поскольку

то АК[f0] = 0 тогда по лемме 1 в работе/3/ Sn[f0]=0, хотя f0(x)

Литература

Киселев А.А. Научная сессия Университета, секция математических наук. Ленинград, 1950, с. 36

Киселев А.А. Онуфриева Л.А. Применение биортогональных систем Чебышева и Маркова для приближения функции. В книге "Исследования по современным проблемам конструктивной теории функции", М., Наука, 1961, с 183-189

Карацуба А.А. Основа аналитической теории чисел. М., Наука, 1983, 239с Зигмунд А. Тригонометрические ряды, М., Мир. 1965. т. 1,2; 537с

Давенпорт Г. Davenport N. On Some infinite Series involving artthmeical functions. // Qurt. I. Math. Ser. 8. N32. 1937

Абдуллаев Н.С. "Задача о восстанавлении непрерывный 2-ой периодической функции по известным функционалам Симпсона". Вестник КазГУ, серия N5(19) математика, механика, информатика; выпуск 1999, Алматы.

Абдуллаев Н.С. "Некоторое биортогональное разложение функций и оценка скорости равномерный сходимости". Научно - теоретический журнал "Механика и моделирование процессов технологий", 2000, N2, Тараз, 158-161с.

Размещено на Allbest.ru