Проблемы регуляризации сингулярной вариационной задачи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проблемы регуляризации сингулярной вариационной задачи

Г.А. Виноградова

В данной статье автор показывает, как можно сингулярную задачу, решаемую вариационным методом в весовом пространстве, заменить аппроксимирующей задачей, не имеющей сингулярности.

Ключевые слова: Сингулярная краевая задача, весовое пространство, вариационный метод, регуляризация.

G.A.Vinogradova. The regularization task of singular variational problem

In given article authors shows how a singular problem solved by the variational method in weight space can be replaced by an approximating problem that has no singularity.

Keywords: singular boundary value problem, weight space, variational method, regularization.

Рассмотрим краевую задачу для сингулярного дифференциального уравнения

,

, (1)

где .

регуляризация сингулярный вариационный задача

Введем весовое гильбертово пространство , которое является пополнением множества четных бесконечно дифференцируемых на отрезке функций по норме . Скалярное произведение в нем определяется по формуле .

Область определения оператора состоит из множества функций дважды непрерывно дифференцируемых на интервале , непрерывных на отрезке , имеющих непрерывную производную на полуинтервале , удовлетворяющие граничным условиям и .

Оператор задачи является симметричным и положительно определенным в пространстве . Как следует из вариационного метода (см., например [1]), решение задачи сводится к проблеме минимума функционала

(2)

на энергетическом пространстве . Энергетическое пространство является пополнением по норме . Как известно из теории ([1]), решение задачи (1) доставляет минимум функционалу (2), и функция, доставляющая минимум функционалу (2), принадлежащая области определения оператора , является решением задачи (1). Если функция, доставляющая минимум функционалу, не принадлежит , то такую функцию называют обобщенным решением задачи (1).

Приближенное решение задачи о минимуме функционала (2) ищется в виде , где - базисные функции в энергетическом пространстве , причем, в силу классического метода Рица, при по норме .

Как это отмечалось в работах [2] и [3], в случае приближенное решение равномерно стремится к точному решению на отрезке .

В случае приближенное решение стремится к точному решению в энергетическом пространстве и равномерно на любом отрезке , где . Граничное условие не обязательно выполняется, даже если при решении этой задачи методом Ритца потребовать выполнение граничного условия для базисных функций, более того, в окрестности нуля приближенное решение может быть неограниченным.

Заметим, что для функции , удовлетворяющей условию справедливо равенство

где . Кроме того, и является бесконечно малой величиной при .

Если функция трижды непрерывно дифференцируема на отрезке, то , где . Тогда справедлива оценка , где на отрезке .

Если функция четыре раза непрерывно дифференцируема на отрезке, и удовлетворяет дополнительному условию , то . В этом случае будет справедливо неравенство , на отрезке .

Таким образом, оператор аппроксимирует оператор при определенных условиях на отрезке.

Рассмотрим новую задачу

,

, (3)

,

.

На области определения оператора определим новые скалярное произведение и норму по формулам

, . (4)

Пополним множество по норме , полученное пространство обозначим .

Оператор является симметричным и положительно определенным. В самом деле, используя формулу интегрирования по частям для функций из имеем

.

То есть оператор является симметричным.

Если , и , имеем

Тогда в силу неравенства Гельдера получаем

, если , и

,

где , если . То есть для любого справедливо неравенство

.

Интегрируя последние неравенства по отрезкам и , получаем

.

Последнее означает, что оператор является положительно определенным.

Задача сводится к проблеме о минимуме функционала

(5)

и имеет единственное решение в энергетическом пространстве .

Список литературы

1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М: Наука , 1970. - 512 c.

2. Виноградова Г.А. О решении сингулярной задачи вариационным методом // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Международной конференции: Воронежская зимняя математическая школа. - Воронеж : Издательский дом ВГУ.

3. Виноградова Г.А. О решении сингулярной задачи вариационным методом// Вестник факультета ПММ. - 2015. - Вып. 10. - С. 39-42.

Размещено на Allbest.ru