Асимптотика собственных значений дифференциального оператора

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Асимптотика собственных значений дифференциального оператора

А.Н. Шелковой

В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора второго порядка методом подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра и сходимости спектральных разложений дифференциального оператора.

Ключевые слова: спектр оператора; дифференциальный оператор второго порядка; асимптотика спектра; метод подобных операторов.

We use the method of similar operators to study the spectral properties of a second order differential operators. We obtain results on the asymptotic behavior of the spectrum of such operators and convergence of the corresponding spectral decompositions.

Keywords: operator spectrum; differential of second order operator; spectrum asymptotic; method of similar operators.

Пусть - гильбертово пространство комплексных измеримых (классов) функций, суммируемых с квадратом модуля со скалярным произведением вида . Через обозначим пространство Соболева абсолютно непрерывна, . Рассматривается оператор порождаемый интегро-дифференциальным выражением вида с областью определения и краевыми условиями

Методом исследования оператора является метод подобных операторов, рассматриваемый в работах [1-8]. Представим его в виде

(1)

Оператор порождается дифференциальным выражением . Он является самосопряжённым оператором с дискретным спектром, собственные значения которого являются простыми, а соответствующие собственные функции образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве (см., например, [1]). Будем считать оператор невозмущённым оператором, - возмущением, которое представляет собой интегральный оператор с ядром .

Применяя метод подобных операторов для исследования спектральных свойств оператора (1), мы получим следующие результаты.

Теорема. Для любых функций для последовательностей величин и , определённых формулами

где - коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам, выполнены условия: Тогда спектр оператора представим в виде где - одноточечные множества, а - конечное множество с числом точек, не превосходящим Для собственных значений из имеют место оценки:

дифференциальный оператор асимптотика спектр

Для собственных функций оператора (1) справедлива оценка:

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 16-01-00197.

Список литературы

Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. 165 с.

Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов / А.Г. Баскаков // Сиб. мат. журн. - 1983. - Т. 24. - № 1. - С. 21-39.

Баскаков А.Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений / А.Г. Баскаков // Изв. АН СССР. - 1986. - Т. 50. - № 3. - С. 435-457.

Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущённых неквазианалитических и спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. - 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 3-32.

Баскаков А.Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А.Г. Баскаков, Т.К. Кацаран // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24. - № 8. - С. 1424-1433.

Баскаков А.Г. Метод подобных операторов в спектральныом анализе несамосопряжённого оператора Дирака с негладким потенциалом / А.Г. Баскаков, А.В. Дербушев, А.О. Щербаков // Изв. РАН. Сер. матем. - 2011. - Т. 75, № 3. - С. 3-28.

Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами / А.Г. Баскаков, В.Б. Диденко // Дифференц. уравнения. - 2015. - Т. 51. - № 3. - С. 323-338.

Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в банаховом пространстве и расщепление операторов / А.Г. Баскаков, Т.К. Кацаран, Т.И. Смагина // Изв. вузов. Матем. - 2017. - № 10. - С. 38-49.

Шелковой А.Н. Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями: дисс. … канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 2004. 144 с.

Шелковой А.Н. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями / А.Н. Шелковой // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2016. - Т. 43, № 13 (234). - С. 72-80.

Шелковой А.Н. Метод подобных операторов в исследовании интегро-дифференциальных операторов с квадратично суммируемым ядром / А.Н. Шелковой // Вопросы науки. - 2016. - Т. 2. - С. 68-80.

Шелковой А.Н. Спектральные свойства дифференциальных операторов, определяемых нелокальными краевыми условиями / А.Н. Шелковой // Вопросы науки. - 2016. - Т. 3. - С. 83-90.

Шелковой А.Н. О некоторых спектральных свойствах одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А.Н. Шелковой // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2002. - № 2 . - С. 106-110.

Данфорд Н. Линейные операторы. Т. 3. Спектральные операторы / Н. Данфорд, Д.Т. Шварц. - М.: Мир, 1974. - 661 с.

Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1969. - 528 с.

Размещено на Allbest.ru