Модульні операції над гіперкомплексними числами в системі комп’ютерної математики MAPLE

, (2)

де k -- довжина ряду.

Визначимо поняття залишку за модулем для гіперкомплексного числа. Гіпер-комплексне число буде кратне гіперкомплексному числу (або буде діль-ником числа ), якщо частка являється гіперкомплексним числом. Якщо є таким, що ділиться на , тоді можна записати:

. (3)

Гіперкомплексне число являється залишком за модулем М.

Під системою залишкових класів (СЗК) будемо розуміти таку систему, в якій гіперкомплексне число зображується у вигляді набору залишків за обраними модулями (2) [3].

У СЗК існує діапазон 0 - М, який пов'язаний з модулями співвідношен-ням:

. (4)

У відповідності до теореми про ділення з залишком довільне гіперкомплексне число з вибраного діапазону може бути єдиним чином зображене у вигляді:

. (5)

Довільне гіперкомплексне число можна зобразити як сукупність залишків за сукупністю взаємно простих модулів у вигляді системи рівнянь:

(6)

Однозначність зображення довільного числа сукупністю залишків зумов-люється взаємною простотою модулів системи залишкових класів.

Побудова системи залишкових класів в області гіперкомплексних систем доз-воляє підтримувати високошвидкісну арифметику при обробці даних, зображених у гіперкомплексній формі та є одним з основних шляхів підвищення про-дуктивності обчислювальних процесів.

Алгоритм процедури побудови системи залишкових класів за гіперкомп-лексним модулем, розроблений у системі комп'ютерної математики MAPLE розглянемо на прикладі гіперкомплексної системи 2-го порядку.

Нехай ми маємо два гіперкомплексних числа і та число , де . Якщо виконуються рівняння

 (7)

та

(8)

тоді

. (9)

З іншого боку можна визначити залишки за таблицею множення Т заданої гіперкомплексної системи. Виберемо таблицю Т, що відповідає закону множення комплексних чисел:

. (10)

Позначимо через результат множення гіперкомплексного числа на число , що є спряженим вихідному гіперкомплекс-ному числу . При цьому маємо:

. (11)

Модифікована таблиця множення запишеться у вигляді:

. (12)

Звідси одержуємо:

(13)

Такий самий алгоритм існує і для знаходження залишків для гіперкомплекс-них систем більш високих порядків.

2. Процедура визначення зображуваності гіперкомплексного числа.

Поняття зображуваності гіперкомплексного числа (1) полягає у можливості зображення даного числа в деякій n-мірній області.

Гіперкомплексне число зображуване в деякій системі модулів (5), якщо воно являється найменшим лишком за модулем . У протилежному випадку не зображуване в даній системі. Якщо гіперкомплексне число зображуване в системі із взаємно простими модулями , то таке зображення єдине і може бути зображене сукупністю своїх найменших залишків за модулями системи

Якщо для дійсних чисел областю зображуваності являється відрізок на прямій, то для гіперкомплексних систем 2-го порядку -- це ромб, сторони якого задаються нерівностями:

(14)

де ; -- норма гіперкомплексного числа ; в чисельнику -- вираз для лишку.

Для гіперкомплексних числових систем розмірністю область зображува-ності представляє собою п-мірну область, межі якої задаються системою з нерівностей вигляду:

, (15)

де -- є лишок і-ї компоненти гіперкомплексного числа за модулем числа .

За допомогою розробленої процедури можна визначити, чи знаходиться залишок усередині заданої п-мірної області.

3. Процедура, що реалізує алгоритм Евкліда для гіперкомплексних числових систем [6].

Алгоритм Евкліда полягає в наступному [7]. Знаходимо ряд рівнянь:

(16)

де початкові значення , та -- гіперкомплексні числа (1). Ряд закінчується тоді, коли одержуємо деяке значення . Отже, найбільший загальний дільник дорівнює .

На величини накладаються такі умови:

, (17)

де .

Відміна розробленої процедури полягає в тому, що алгоритм Евкліда реа-лізований для гіперкомплексних числових систем. Алгебраїчні операції над гіпер-комплексними числами (1) відрізняються від операцій над дійсними числами. Необхідною умовою функціонування алгоритму є перевірка того, чи являється число B дільником нуля.

Розглянемо застосування розробленого пакета процедур виконання модуль-них операцій над гіперкомплексними числами в середовищі Maple на прикладі задачі розподілу секрету, що відноситься до питань криптографії з відкритим ключем [6].

Суть цієї задачі полягає в тому, як зберегти секрет, розділивши його на скла-дові частини між декількома законними користувачами, а потім знов відновити його.