Исследование свойств изоморфизма квадриплексных и бикомплексных числовых систем

Я. А. Калиновский

Размещено на http://www.allbest.ru/

72

ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2003, Т. 5, № 1 69

УДК 519.68; 620.179.15; 681.3

Институт проблем регистрации информации НАН Украины

Исследование свойств изоморфизма квадриплексных и бикомплексных числовых систем

Я.А. Калиновский

Постановка проблемы

Система квадриплексных чисел нашла важное применение для повышения эффективности моделирования в различных областях науки и техники: физике, радиотехнике, цифровой фильтрации сигналов, навигации, криптографии и др. Поэтому целесообразно продолжить исследования квадриплексных чисел в направлении расширения геометрической интерпретации квадриплексного пространства с целью повышения эффективности моделирования различных объектов с использованием этой числовой системы.

Анализ последних достижений и публикаций

В настоящее время изучены многие арифметические и алгебраические свойства квадриплексных чисел -- правила сложения, умножения, деления, определения сопряженных элементов, нормы, делителей нуля [1].

Для квадриплексных чисел построены представления таких нелинейных функций как экспонента, логарифм, тригонометрическая и гиперболическая функции, обратные функции [2, 3].

В работах [4, 5] рассмотрены геометрические интерпретации в квадриплексных гиперкомплексных пространствах, предназначенные для конкретных физических задач.

Цель статьи

Целью статьи является разработка метода построения некоторых геометрических образов в гиперкомплексном квадриплексном пространстве на основе его изоморфизма бикомплексному пространству.

Результаты исследований

Как известно, система квадриплексных чисел изоморфна системе бикомплексных чисел. Этот изоморфизм описывается следующими линейными невырожденными взаимообратными преобразованиями базисов: если -- базис квадриплексной системы, а -- базис бикомплексной системы, то

В дальнейшем систему бикомплексных чисел будем обозначать через В, а квадриплексных -- через К.

Так как система бикомплексных чисел есть прямая сумма двух систем комплексных чисел, то все алгебраические операции и вычисления в ней сводятся к вычислениям в двух комплексных системах [6, 7]. Это позволяет строить более эффективные по объему вычислений модели по сравнению с моделями на основе квадриплексных чисел.

Переход от системы квадриплексных чисел к бикомплексным и обратно осуществляется по сравнительно простым алгоритмам (1), (2), требующим только сложения чисел. Деление на 2 осуществляется сдвигом регистра на один разряд и занимает очень мало машинного времени.

С целью повышения эффективности моделирования целесообразно исследовать некоторые свойства изоморфного перехода (1), (2). Рассмотрим, прежде всего, преобразование нормы числа.

Пусть задано число в квадриплексной системе

Его норма

Образ числа в бикомплексной числовой системе в соответствии с

Норма этого бикомплексного числа

Как видно из (4) и (6), в обоих случаях нормы положительны, но они могут быть равны нулю при отличном от нуля числе. Это означает, что и в системе квадриплексных чисел, и в системе бикомплексных чисел существуют делители нуля.

Выполнив преобразования в (4) и (6), можно показать, что

т.е. преобразования (1) и (2) сохраняют норму.

Рассмотрим экспоненциальные представления бикомплексных и квадриплексных чисел.

Пусть . Тогда

Если ввести обозначения

то экспоненциальная форма бикомплексного числа примет вид

Норма этого числа в соответствии с (6) будет равна

а модуль

Разделив (13) на (15), можно получить единичный орт числа

Из (6) и (16) следует, что

Выражения (13) и (16) имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Бикомплексное пространство можно представить как две независимые комплексные плоскости и . На каждой из плоскостей выбрана ортогональная система координат: на первой плоскости система , на второй -- система . Взаимное положение этих систем никак не оговаривается. геометрический квадриплексной пространство изоморфизм

Число (13) представляется парой векторов на плоскостях и , исходящих из начала систем координат и , длина которых и , а углы между векторами и осями и -- и соответственно.

Единичный вектор-орт вектора (13) -- пара векторов на плоскостях и длиной и с углами к осям и -- и соответственно.

Рассмотрим теперь квадриплексное число (3) .

Так как , то

,

где определяются по (9)-(12).

Выражение (17) -- это экспоненциальная форма квадриплексного числа. Она имеет более сложную структуру чем (13) и не допускает такой простой геометрической интерпретации. В работе [4] описана одна из геометрических интерпретаций квадриплексного пространства, которая значительно сложнее описанной выше геометрической интерпретации бикомплексного пространства. В связи с этим целесообразно при рассмотрении различных задач, связанных с геометрическими преобразованиями в пространстве квадриплексных чисел, переходить в пространство бикомплексных чисел.

Выводы

Изоморфный переход из системы квадриплексных чисел в систему бикомплексных чисел позволяет повысить эффективность решения ряда задач, представляющих интерес для моделирования различных процессов в науке и технике. Этот подход позволяет строить такие геометрические объекты как гиперкомплексные углы между векторами в квадриплексном пространстве, что необходимо для построения операторов поворота в квадриплексном пространстве.

Литература

Синьков М.В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых системах. -- К.: Наук. думка, 1979. -- 136 с.

Синьков М.В., Калиновский Я.А, Роенко Н.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и систем. анализ. --1996. -- № 4. -- С. 178-181.

Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Логарифмическая функция от кватерниона // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2002. -- Т. 4, № 1. -- С. 35-37.

Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор А.А., Синькова Т.В. О повышении производительности вычислений в некоторых классах гиперкомплексных числовых систем // Электрон. моделирование. -- 2000. -- № 6. -- С. 13-18.

Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Повышение эффективности цифровых фильтров с помощью гиперкомплексного представления информации: Сб. науч. тр. 8-й Междунар. науч. конф. «Теория и техника передачи, приема и обработки информации» ИИИСТ-2002. -- Харьков, 2002. -- С. 503-504.

Аннотация

Рассмотрены квадриплексные и бикомплексные числовые системы, их изоморфизм, свойства изоморфизма. Сформулирована геометрическая интерпретация квадриплексного пространства с помощью изоморфизма квадриплексных и бикомплексных пространств.

Ключевые слова: квадриплексные числа, бикомплексные числа, изоморфизм.

Размещено на Allbest.ru