Биплексные числовые системы и функции в них

Размещено на http://www.allbest.ru/

Биплексные числовые системы и функции в них

Рассмотрены алгоритмы проведения арифметических и алгебраических операций, построение таких нелинейностей как экспонента, тригонометрические и гиперболические функции, а также обратные к ним функции в биплексных числовых системах. Биплексные числовые системы - это гиперкомплексные числовые системы второго порядка с единичным элементом в базисе. К биплексным числовым системам приводит обобщение закона умножения базисных элементов «классических» систем второй размерности с единичным элементом в базисе. Если для них таблица умножения имеет вид

то для биплексных чисел соответственно

Здесь и - вещественные числа.

арифметический гиперболический алгебраический

В работе [6] показано, что все множество биплексных систем состоит из трех классов систем, изоморфных внутри класса друг другу. При этом представителями классов являются «классические» системы:

- система комплексных чисел ;

- система двойных чисел ;

- система дуальных чисел .

Критерием принадлежности к тому или иному классу изоморфизма является значение выражения

Если (1) отрицательно, то данная биплексная система принадлежит классу изоморфизма, представитель которой - система комплексных чисел . Будем называть такую биплексную систему кратко квазикомплексной. Введем обозначение:

арифметический гиперболический алгебраический

Если (1) положительно, то данная биплексная система принадлежит классу изоморфизма, представитель которой - система двойных чисел . Будем называть такую биплексную систему кратко квазидвойной. Введем обозначение:

И, наконец, если (1) равно нулю, то , и такая система называется квазидуальной. Она изоморфна системе дуальных чисел .

Изоморфизм между квазисистемами с базисом и «классическими» системами с базисом устанавливается следующими соотношениями:

- для квазикомплексных и квазидвойных систем:

- для квазидуальных систем:

Разбиение всех биплексных систем на классы изоморфизмов наглядно представляется на евклидовой плоскости [1] в системе координат, оси которых соответствуют параметрам закона композиции и , как это показано на рисунке.

Рис. Области классов изоморфизмов биплексных систем.

Рассмотрим матричное представление биплексных чисел. Так как элемент базиса - единичный элемент системы биплексных чисел, то его представлением будет единичная матрица:

,

а матричное представление второго элемента базиса найдется из решения матричного уравнения

,

откуда:

.

Таким образом, в матричном представлении биплексное число выглядит так:

.

Рассмотрим алгоритмы проведения арифметических и алгебраических операций в бикомплексных числовых системах [2]. Если сложение и вычитание в них ничем не отличается от тех же операций в комплексных, двойных и дуальных системах, то умножение выглядит иначе. В частности:

.

Вопрос о сопряженном числе рассматривается в работе [3]. Сопряженное число определяется по формуле:

.

Используя это выражение, можно определить и норму биплексного числа:

.

Рассмотрим вопрос о существовании делителей нуля, которое обусловлено возможностью обращения в нуль нормы биплексного числа:

,

откуда следует соотношение между компонентами биплексного числа:

.

Для квазикомплексных систем:

,

то есть будет комплексным числом. Но оно должно быть действительным числом, а это означает, что в квазикомплексных системах (и в том числе в системе комплексных чисел) делителей нуля не существует.

Для квазидуальных систем:

что дает:

.

Поэтому делители нуля в системе квазидуальных чисел имеют такой вид:

R \.

Для квазидвойных систем соответственно:

,

R \.

Алгоритм деления биплексных чисел состоит из проверки того, является ли делитель операции делителем нуля, и определения частного по обычному правилу деления:

.

Рассмотренные алгоритмы выполнения операций позволяют строить представления таких нелинейных функций, как степенные и дробно-рациональные. Что касается построения иррациональных функций, то оно также возможно, но, в общем случае не в исходной биплексной системе, а в гиперкомплексной системе, полученной удвоением исходной биплексной системы с помощью системы комплексных чисел.

В биплексных числовых системах возможны построения и таких трансцендентных нелинейностей как экспонента, тригонометрические и гиперболические функции. Наиболее универсальным методом построения таких представлений является разработанный авторами метод ассоциированной системы дифференциальных уравнений [4]. В табл. 1 приводятся результаты, полученные авторами при использовании этого метода.

Аргументом приведенных в табл. 1 функций является биплексное число , а его обозначения следующие:

; ; .

В системах биплексных чисел возможны также построения представлений обратных функций [5].

Зная значения для прямых функций от гиперкомплексной переменной , строится изображение обратных функций, используя соотношение .

Таблица 1

Так как экспонента, гиперболические и тригонометрические функции представляют собой гиперкомплексные функции, то обратные функции также являются гиперкомплексными, то есть имеют вид:

.

Если это уравнение представить в виде системы уравнений

,

то ее можно решить относительно переменных :

.

Если эти решения подставить в выражение

,

то получим изображение обратной функции:

.

Таким образом, были определены обратные функции для квазидуальной числовой системы, которые сведены в табл. 2.

Таблица 2

Здесь , .

Полученные в работе результаты позволяют производить обработку данных в биплексных числовых системах, которые находят достаточно важные применения как в технических, так и научных областях, например, анализ и синтез плоских механизмов, специальная теория относительности и др. [7, 8].

Работа выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины.

Литература

арифметический гиперболический алгебраический

1.Синьков М.В., Калиновский Я.А О связи систем дифференциальных уравнений с гиперкомплексными числовыми системами: Сб. Проблемы регистрации информации. - К.: Наук. думка, 1991. - С. 100-103.

2.Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Некоторые линейные и нелинейные операции обобщенных комплексных чисел // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. - 2002. - Т. 4, № 3. - С. 55-61.

3.Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Построение сопряженностей в гиперкомплексных числовых системах. Ч. 1. Online: http://www.hypercomplex.ru/sinkov.zip. - 2002.

4.Калиновский Я.А., Роенко Н.В., Синьков М.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. - 1996. - № 4. - C. 178-181.

5.Синьков М.В., Каліновський Я.О., Боярінова Ю.Є. Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. - 2005. - Т. 7, № 1. - С. 32-42.

Размещено на Allbest.ru