Обобщение одной классической пары полиномов
Рассмотрение последовательности преобразований, связывающей корни полиномов деления круга с корнями полиномов. Разложение классической пары полиномов в бином Ньютона и группировка членов. Аналогия пар с полиномами Чебышева первого и второго рода.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.01.2019 |
| Размер файла | 204,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Обобщение одной классической пары полиномов
Е.В. Бурлаченко
Рассмотрим последовательность преобразований, связывающую корни полиномов деления круга с корнями полиномов
, .
Обозначим:
,
, .
Тогда
.
Заменим на :
,
.
Переставим коэффициенты в обратном порядке:
,
,
где
, .
Заменим на :
.
Следовательно,
.
Аналогично
.
Отметим аналогию с полиномами Чебышева первого и второго рода
,
.
Обозначим
, ,
, , .
Так как
,
,
то
,
.
Обозначим
.
Так как
,
то
,
.
Раскладывая в бином Ньютона и группируя члены, можно представить его в виде
,
где
- полином степени , четные члены которого равны нулю, если нечетно, нечетные члены равны нулю, если четно,
- полином степени , четные члены которого равны нулю, если четно, нечетные члены равны нулю, если нечетно. Например:
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
Докажем, что
,
,
,
,
классическая пара полином
где условие означает, что степень равна , условие означает, что степень равна .
Убедимся, что
при ,
при , .
Если , - формальные степенные ряды, раскладывается в ряд Лагранжа по правилу [1, с.147]:
,
где выражение означает -й коэффициент ряда . Обозначим . Пусть , . Тогда
,
откуда, пользуясь уравнением , находим
.
Так как [2, с.172]
,
где
, ,
то
,
где
,
.
-й коэффициент ряда равен -му коэффициенту полинома , обозначенному нами . Следовательно, .
Пусть в формуле , . Тогда
,
.
Так как
,
где
, ,
то
,
где
.
-й коэффициент ряда
равен -му коэффициенту полинома , обозначенному нами .Следовательно, .
Подставляя в формулы , , , получаем равенства
, ,
где - целая часть от .
Отметим также равенство
,
вытекающее из уравнения .
Рассмотрим аналогичный случай.
Обозначим
.
Так как
,
то
,
.
Раскладывая в бином Ньютона и группируя члены, можно представить его в виде
,
Где
- полином степени,
- полином степени . Например
, ,
, ,
, .
Докажем, что
,
,
,
,
где условие означает, что степень равна , условие означает, что степень равна .
Убедимся, что
при ,
при , .
Пусть в формуле ,
. Тогда
,
откуда, пользуясь уравнением , находим
.
Так как
,
то , , равен -му коэффициенту полинома .
Пусть в формуле
,
. Тогда
,
.
Так как
,
то равен -му коэффициенту полинома .
Отметим также равенство
,
вытекающее из уравнения .
Литература
1. Риордан Д. Комбинаторные тождества. - М.: Наука, 1982.
2. Справочная математическая библиотека. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. - М.: Физматгиз, 1963.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение корней уравнений (Equation Section 1) методом: Ньютона, Риддера, Брента, Лобачевского и Лагерра. Вычисление корней многочленов по схеме Горнера. Функции произвольного вида (при использовании пакета Mathcad). Нахождение корней полиномов.
контрольная работа [62,7 K], добавлен 14.08.2010Рекурсивное, тригонометрическое определение и свойства многочленов Чебышёва. Сущность теоремы Е.И. Золотарёва-А.Н. Коркина. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Обобщение метода Грамма-Шарлье.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 11.01.2011Задача исследования устойчивости нелинейной динамической системы. Аппроксимации функций с использованием обобщений полиномов Бернштейна. Анализ скорости сходимости и эффективности итерационной формулы, сравнение с классическими численными методами.
дипломная работа [1002,2 K], добавлен 23.06.2011Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
реферат [21,5 K], добавлен 27.01.2011Утверждение великого французского математика Пьера Ферма, получившее название "Великая теорема Ферма". Элементарные алгебраические преобразования многочленов. Коэффициенты полиномов Чебышева и формулы Абеля. Система наименьших вычетов по модулю K.
книга [150,6 K], добавлен 07.01.2011Система кривых Пирсона. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.
дипломная работа [230,5 K], добавлен 13.03.2003Свойства алгебры Жегалкина. Действия с логическими константами (нулём и единицей). Свойства элементарных булевых функций, задаваемых логическими операциями. Способы построения полиномов с помощью таблиц истинности (метод неопределенных коэффициентов).
курсовая работа [467,2 K], добавлен 28.11.2014Разработка простого метода для решения сложных задач вычислительной и прикладной математики. Построение гибкого сеточного аппарата для решения практических задач. Квазирешетки в прикладных задачах течения жидкости, а также применение полиномов Бернштейна.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 25.06.2011Определение и общие свойства ортогональных функций (многочленов). Рекуррентная формула и формула Кристоффеля-Дарбу. Элементарные свойства нулей, их плотность. Сущность первого и второго рода многочленов Чебышева. Нули многочленов и отклонение от них.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 30.06.2011Основы теории многочленов от одной переменной. Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева. Основные теоремы о многочленах Чебышева. Формальная производная многочлена. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 04.07.2015
