Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи степенных рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Волгоградский государственный социально-педагогический университет» (ФГБОУ ВО «ВГСПУ»)

Факультет математики, информатики и физики

Кафедра алгебры, геометрии и математического анализа

Курсовая работа по дисциплине: «Математический анализ»

Тема: «Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи степенных рядов»

направления 44.03.05 «Педагогическое образование»

профиля «Математика»

Исполнитель Калугина М.А. (гр.МИФ-МБ-31)

Научный руководитель Харламов О.С., доцент

Волгоград -2018



Содержание

Введение

1. Общее представление об однородных дифференциальных уравнениях

1.1 Определение однородного дифференциального уравнения

1.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1.3 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

2. Использование степенных рядов при интегрировании однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка

2.1 Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в виде степенного ряда

2.2 Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в виде обобщенного степенного ряда

Заключение

Использованная литература



Введение

Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды [1].

Сейчас широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближенного нахождения решений [2].

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Этим обусловлена актуальность выбранной темы исследования.[7]

Цель данной работы: показать применение метода степенных рядов при интегрировании дифференциальных уравнений.

Объектом исследования выступает процесс интегрирования дифференциальных уравнений методом степенных рядов.

Предметом исследования являются формы, методы и средства интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядами.

В соответствии с поставленной целью можно сформулировать основные задачи данной работы:

- Рассмотреть основные понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями.

- Проанализировать метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.



1. Общее представление об однородных дифференциальных уравнениях

1.1 Определение однородного дифференциального уравнения

Функция называется однородной функцией n-й степени, если имеет место тождество: .

Например, функция , является однородной функцией второй степени, так как

.

При n=0 имеем однородную функцию нулевой степени, например, функция есть однородная функция нулевой степени, поскольку

Однородным дифференциальным уравнение называется дифференциальное уравнение вида

, (1)

где f - непрерывная однородная функция нулевой степени. Заметим, что при этом , так что однородное дифференциальное уравнение (1) может быть записано в виде

,

Оказывается, с помощью замены переменной это дифференциальное уравнение можно свести к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, рассмотренному выше.

Действительно, будем искать решение дифференциального уравнения (2) в виде .

Тогда

Подставим y и в уравнение (2): т.е. в предположении, что , имеем и мы пришли к дифференциальному уравнению с разделяющими переменными.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. Если функция непрерывна при и на интервале (a,b), то через любую точку угла проходит единственная интегральная кривая дифференциального уравнения .

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

,

где - постоянные числа. Такое дифференциальное уравнение может быть преобразовано к однородному дифференциальному уравнению с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых и , т.е. осуществив следующую замену переменных

Заметим, что этот метод может быть применен лишь в случае, если эти прямые не параллельны, то есть если

В противном случае, то есть если дифференциальное уравнение (3) принимает вид

Уравнения такого вида были рассмотрены нами выше.[1]

1.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

,

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.[2]

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида:

.

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

.,

,

.

Общее решение: .[4]

1.3 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Дифференциальное уравнение вида:

(4)

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.[8]

Здесь коэффициенты уравнения и сводный член - заданные функции аргумента х. Если , то линейное уравнение принимает вид:

(5)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением или уравнением без правой части. Если же , то уравнение (4) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением или уравнением с правой частью.[6]

Например, уравнения: и будут линейными уравнениями, причем первое из них не однородное, а второе - однородное.

Разрешим уравнение (4) относительно y:

(6)

Так как это уравнение является частным видом дифференциального уравнения то для него справедлива теорема существования и единственности решения Коши, сформулированная в предыдущем параграфе. Однако, для линейного уравнения эта теорема может быть сформулирована проще.[1]

Действительно, допустим, что коэффициенты уравнения а₀(х), а₁(х), а₂(х) и свободный член b(x) непрерывны на некотором интервале , причем коэффициент а₀(х) не обращается в ноль ни в одной точке этого интервала. Тогда правая часть уравнения (6):

,

и ее частные производные:

и ,

будут непрерывными функциями при любых значениях переменных y и y' и при значениях х, принадлежащих интервалу . Поэтому уравнение (6) удовлетворяет условиям теоремы Коши. На основании сказанного сформулируем теперь теорему существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения (4).

Теорема. Если коэффициенты а₀(х), а₁(х), а₂(х) и правая часть b(x) линейного уравнения (4) непрерывны на интервале , причем коэффициент а₀(х) не обращается в ноль ни в одной точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия , где точка x₀ принадлежит интервалу существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.[10]

Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Если функция и являются решениями линейного (5), то и функция также является решением этого уравнения при любых значениях постоянных С₁ и С₂. Выражение называется линейной комбинацией функций .

Доказательство.

Подставив функцию и ее производные в левую часть уравнения (5), получим:

= 0,

так как функции y₁(x) и y₂(x) являются решениями уравнения (5) и, следовательно, последние два выражения в квадратных скобках равны нулю.[4]

Так как общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные , то возникает вопрос, не будет ли решение общим решением уравнения (5).

Покажем, что это не всегда имеет место. Так, например, уравнение y”+4y=0 удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения при любых начальных условиях. Это уравнение имеет, как легко проверить, частные решения y₁=sin2x и y₂=10sin2x. Однако их линейная комбинация y=С₁sin2x+С₂10sin2x, являлись решением данного уравнения, не будет его общим решением. Действительно, нетрудно убедиться в том, что функция y=cos2x, удовлетворяющая начальным условиям , является решением (единственным) уравнения y”+4y=0. Однако это решение нельзя получить из линейной комбинации y=С₁sin2x+С₂10sin2x, так как уже первое начальное условие для функции y=С₁sin2x+С₂10sin2x не выполняется ни при каких значениях С₁ и С₂: С₁sin0+С₂10sin0 ? 1.[9]

Определение 1. Два частных решения y₁(x) и y₂(x) однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка образуют фундаментальную систему решений на некотором интервале , если ни в одной точке этого интервала определитель

,

не обращается в ноль.[5]

Определитель называется определителем Воронского.

Пример 1. Выше мы указали, уравнение y”+4y=0 имеет своими частными решениями функции y₁=sin2x , y₂=10sin2x, y₃=cos2x. Легко убедиться, что первое и второе решение не образует фундаментальной системы, а первое и третье образуют фундаментальную систему на всей числовой оси. Действительно,

и

.

Теорема 2 (о структуре общего решения). Если два частных решения y₁= y₁(х) и y₂= y₂(х) уравнения (5) образуют на интервале фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид:

,

При этом предполагается, что коэффициенты а₀(х), а₁(х) и а₂(х) непрерывны и а₀(х)?0 на интервале

Доказательство.

Прежде всего заметим, что при любых функция на основании теоремы 1 является решением уравнения (5). Поэтому, чтобы убедиться, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

,

где точка принадлежит интервалу произвольны.

Пусть Y=Y(x) - какое-либо частное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям (9). Покажем, что оно может быть выделено из решения (8) надлежащим выбором постоянных . Действительно, так как и , то, подставляя начальные условия, получим:

,

,

Эти равенства представляют собой систему уравнений с неизвестными .[7]

Определитель этой системы

,

равен значению определителя Воронского при . Так как по условию частные решения образуют фундаментальную систему частных решений на интервале которому принадлежит точка , то Поэтому для неизвестных получим следующие единственные значения:

, .

Полученное частное решение в силу теоремы единственности будет совпадать с решением Y(x). Итак, показано, что если образуют фундаментальную систему частных решений, то общее решение имеет вид:

,

Из доказанной теоремы следует, что для нахождения общего решения достаточно знать два его частных решения, образующие фундаментальную систему.[2]

Пример 2. Рассмотрим уравнение Функции образуют фундаментальную систему решений на любом интервале, не содержащем точку x=0. Поэтому на основании теоремы 2 общее решение этого уравнения имеет вид Найдем частное решение данного уравнения при следующих начальных условиях: Так как то, подставляя начальные условия, получим систему уравнений для определения постоянных С₁ и С₂ :

,

Решая эту систему, находим С₁= -1, С₂=1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид [1]



2. Использование степенных рядов при интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка

2.1 Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в виде степенного ряда

Часто оказывается трудно или даже невозможно проинтегрировать дифференциальное уравнение в элементарных функциях. В этом случае можно попытаться отыскать решение дифференциального уравнения в другом виде, а именно - в виде степенного ряда. Этот способ особенно удобен в применении у линейным дифференциальным уравнениям. Мы проиллюстрируем его на примере линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

Итак, рассмотрим уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

,

с начальными условиями

,

Имеет место следующая теорема.[8]

Теорема. Если функция p(x) и q(x) представимы в виде степенных рядов

.

сходящихся при , то уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям (2), представимое в виде степенного ряда

,

сходящегося, по крайней мере, в том же интервале .[10]

Коэффициенты c_k ряда (3) определяются единственным образом, если заданы начальные условия (2). Их можно определить, например, подстановкой ряда (3) в дифференциальное уравнение (1) и приравниванием коэффициенты при одинаковых степенях x. А именно, предположим, что его коэффициенты p(x) и q(x) представимы в виде степенных рядов по целым неотрицательным степеням х, так что дифференциальное уравнение (1) можно переписать в виде :

,

Согласно (3),

,

,

Подставив соотношение (3) и полученные выражения (5) и (6) в дифференциальное уравнение (4), получим

,

Перемножая степенные ряды и приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях х в левой части соотношения (7), получим следующую совокупность алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

,

Заметим, что то есть первые два коэффициента ряда (3) представляют собой начальные условия задачи Коши для дифференциального уравнения (1).

Если начальные условия заданы, то первое из совокупности уравнений (8) позволяет определить коэффициент , второе уравнение - коэффициент , третье - и т.д.[6]

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения (1) поступим следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения удовлетворяющим начальным условиям

,

.

Практически это означает, что для решения нужно положить а для решения положить

Тогда, как нетрудно видеть, общее решение дифференциального уравнения (1) представляет собой линейную комбинацию решений

,

а частное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям задается соотношением

[4]

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

,

в виде степенного ряда.

Решение. Будем искать решение в виде степенного ряда

,

Тогда

,

,

Подставляя соотношения (10), (11) и (12) в уравнение (9), получим

,

Приводя подобные члены и приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях х, получим соотношения, из которых найдем коэффициенты

Положим

Тогда

Приравнивая коэффициенты в (22), имеем:

при откуда

при откуда

при откуда

при откуда

при откуда

и следовательно,

,

Аналогично, полагая имеем и приравнивая коэффициенты в (13), имеем

при

при откуда

при откуда

при откуда

при откуда

при откуда

откуда

Итак,

,

Общее решение дифференциального уравнения (9) имеет вид

где задаются формулами (14) и (15) соответственно, а - произвольные постоянные.[6]

2.2 Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в виде обобщенного степенного ряда

Определение. Ряд вида:

,

где r - заданное число, а степенной ряд сходится при , называется обобщенным степенным рядом. Если r - целое неотрицательное число, то обобщенный степенной ряд (16) обращается в обычный степенной ряд.

Пусть точка х=0 есть особая точка дифференциального уравнения (1), то есть хотя бы один из его коэффициентов p(x) и q(x) не представим в виде степенного ряда. Тогда во многих случаях удается найти решение уравнения (1) в виде обобщенного степенного ряда.[1]

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если точка х=0 есть особая точка дифференциального уравнения (1), причем его коэффициентов p(x) и q(x) не представимы в виде

,

и ,

где ряды в числителях сходятся при , а коэффициенты одновременно не обращаются в ноль, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение в виде обобщенного степенного ряда

,

причем входящий в это решение степенной ряд сходится, по крайней мере, в том же интервале

Для определения показателя r и коэффициентов нужно подставить ряд (17) в уравнение (1), сократить на и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . При этом число r находится из т.н. определяющего уравнения

,

,

,

Пусть корни определяющего уравнения (18). Возможны два случая. дифференциальный уравнение интегрирование

1. Если разность не равна целому положительному числу, то можно построить два решения вида (17):

,

,

2. Если разность есть целое положительное число или ноль, то, вообще говоря, можно построить лишь один ряд:

,

но на ряду с ним, другим решением будет служить функция вида

,

Разложение изложенных специальных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами основываются на принципе интегрирования уравнений с помощью рядов.[2]



Заключение

В результате проведенной работы была раскрыта тема «интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи степенных рядов», поставленная цель достигнута.

В данной курсовой работе изучен и систематизирован материал для применения его студентами во время самостоятельного изучения метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Рассмотрены понятия ряда и дифференциальных уравнений. Проведены приближенные вычисления с помощью рядов.

Результаты работы могут служить основой для дальнейших исследований.



Использованная литература

1. Бибиков Ю.Н. «Курс обыкновенных дифференциальных уравнений», Москва «Высшая школа», 1991, стр. 208?210.

2. Власова Б. А., Зарубин B. C., Кувыркин Г. Н. Приближенные методы математической физики: Учебник для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 700 с.

3. Демидович Б. П." Краткий курс высшей математики" учебное пособие 2011г.

4. Матвеев Н.М. «Дифференциальные уравнения», Москва «Просвещение» 1988, Глава 8, стр. 194?215.

5. Матвеев Н.М. «Дифференциальные уравнения» (издание четвёртое, дополненное), Минск, 1976, стр. 5.

6. Матросов В.Л., Асланов P.M., Топунов М.В. Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными. Учебник. -- М. : Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2011. -- 376 с. -- (Учебник для вузов).

7. Степанов В.В. «Курс Дифференциальных Уравнений» (издание шестое), Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва 1953, стр. 245?250.

8. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Перевод с английского. - М.: Букинист, 2003. - 352 с.

9. Школьник А. Г." Дифференциальные уравнения." учебное пособие - 1963г.

10. Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с.

Размещено на Allbest.ru