Размещено на http://www.allbest.ru/

о численном решении одной дифференциальной игры с запаздыванием Работа поддержана грантом РФФИ № 12-01-31300-мол_а, а также программой АВЦП 1.994.2011 "Устойчивые вычислительные методы анализа динамики сложных систем".

Гомоюнов М.И., м.н.с., ИММ УрО РАН, gomojunov@mail.ru

Аннотация

Для динамической системы, управляемой в условиях помех и содержащей последействие по состоянию, рассматривается задача о вычислении оптимального гарантированного результата и построении закона управления, обеспечивающего этот результат. Оптимизируемый показатель состоит из двух слагаемых. Первое оценивает историю движения системы, сформировавшуюся к терминальному моменту времени, второе представляет собой интегральную оценку реализаций управления и помехи. Сравниваются два подхода для решения рассматриваемой задачи. Первый основан на дискретизации показателя качества и сведении задачи к нахождению цены и седловой точки в дифференциальной игре без последействия и с терминальной оценкой движения. Второй подход базируется на использовании в качестве модели-поводыря конечномерной аппроксимации исходной системы с запаздыванием.

Постановка задачи

В рамках теоретико-игрового подхода [1] рассматривается задача об управлении по принципу обратной связи для системы

(1)

с начальным условием

(2)

и показателем качества

(3)

Здесь - время, - фазовый вектор, - вектор управления, - вектор помехи; и - начальный и терминальный моменты времени; , , и - непрерывные матрицы-функции; - непрерывная вектор-функция; и - симметричные непрерывные матрицы-функции, такие, что соответствующие им квадратичные формы положительно определены.

Цель управления - доставить показателю как можно меньшее значение.

Первый подход

Первый подход к приближенному решению поставленной задачи заключается в ее сведении к задаче управления для системы (1), (2), но уже с дискретизированным показателем качества

где , и , . Решение такой задачи подробно описано в [2] и основано на решении вспомогательной дифференциальной игры для системы уже без запаздывания

и терминальным показателем качества

где , , ; , , ; - матрица Коши уравнения (1).

Второй подход

Второй подход, опирающийся на результаты работы [3], заключается в дискретизации не только показателя качества (3), но и исходной системы (1). Рассмотрим дифференциальную игру для системы

(4)

с согласованным с (2) начальным условием

(5)

и соответствующим (3) показателем качества

(6)

Методы для эффективного решения этой игры даны, например, в [1]. Для решения исходной задачи управления систему (4) будем использовать в качестве поводыря для исходной системы (1): управление и помеху будем формировать в дискретной по времени схеме на базе некоторого разбиения промежутка времени управления из условий экстремального сдвига:

Согласно [1] и [3], при достаточно больших значениях и , такое взаимное прицеливание обеспечит нужную близость движений системы (1) и (4), а также близость интегральных оценок из показателей (3) и (6). Управление будем выбирать оптимальным в смысле дифференциальной игры (4) - (6) образом.

Заключение

Оба подхода оказываются работоспособными и позволяют решать задачу (1) - (3) для достаточно больших значений размерности фазового вектора и параметра аппроксимации . Однако первый подход, судя по численным экспериментам, оказывается более ресурсоемким. Таким образом, в работе приведен пример задачи управления, для которой использование аппроксимаций дифференциальных систем с запаздыванием при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка в качестве поводырей приводит к эффективному решению.

оптимальный гарантированный результат управление

1. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 516 c.

2. Лукоянов Н.Ю., Решетова Т.Н. Задачи конфликтного управления функциональными системами высокой размерности // ПММ. 1998. Т.62, Вып.4. С.586 - 597.

3. Плаксин А.Р. Конечномерные поводыри в задачах управления системами с запаздыванием // «Современные проблемы математики»: тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. С.163 - 165. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2012.

Размещено на Allbest.ru