Поверхности: понятие и виды

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

Иркутский национальный исследовательский технический университет

Кафедра «начертательной геометрии и технического черчения»

Поверхности

РЕФЕРАТ

по дисциплине Инженерная графика

Разработал студент группы МЦб-16-1

Савелов Алексей

Иркутск 2016 г

Введение

Поверхности это основа всех материальных объектов в пространстве, без чего не может существовать мир. Поверхности задают форму, размер, направление ,ориентацию и т.п.Человек стремился всю свою историю изучить один из важнейших разделов начертательной геометрии, начиная созданием различных первобытных сооружений и проектированием первых изобретений заканчивая высотными небоскребами и разнообразием технических объектов.

В целом, начертательная геометрия, как наука, дает нам возможность создавать различные фигуры любой сложности для усовершенствования жизни общества и поверхности являются неотъемлемой частью этих преобразований.

Понятия о поверхностях

Повемрхность в геометрии и топологии -- двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности (например, бутылка Клейна), которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

Понятие о простой поверхности

Интуитивно простую поверхность можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям).

пример простой поверхности

Более строго, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата.

Примером простой поверхности является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.

Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся простой поверхностью, называется правильной поверхностью.

Поверхность в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это -- условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах -- неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности.

Пример поверхности в дифференцированной поверхности

Касательная плоскость

Касательная плоскость в точке гладкой поверхности -- это плоскость, имеющая максимальный порядок соприкосновения с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая касательные ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.

Кривизна

Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется нормальной кривизной; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.

Вообще говоря, в каждой точке поверхности существуют два перпендикулярных направления, в которых нормальная кривизна принимает минимальное и максимальное значения; эти направления называются главными. Исключение составляет случай, когда нормальная кривизна по всем направлениям одинакова (например, у сферы или на торце эллипсоида вращения), тогда все направления в точке -- главные.

Ориентация

Также важной характеристикой поверхности является её ориентация. Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором нормали. В противном случае поверхность называют односторонней. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали. Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или Лист Мёбиуса.

Классификация поверхностей

1. По способу задания:

*аналитические;

*кинематические;

*скульптурные (поверхности произвольных форм).

2. По закону движения образующей:

*с поступательным движением образующей;

*с вращательным движением образующей;

*с винтовым движением образующей.

3. По виду образующей:

*поверхности с прямолинейной образующей или линейчатые поверхности;

*поверхности с криволинейной образующей.

4. По закону изменения формы образующей:

*поверхности с образующей постоянного вида;

*поверхности с образующей переменного вида.

5. По признаку развертывания:

*развертывающиеся поверхности - можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Сюда относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические, торсовые.

*неразвертывающиеся - нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок. Сюда относятся все остальные поверхности.

Наибольшее распространение в технике получили поверхности вращения, сдвига и винтовые.

Способ образования поверхности

Поверхности вращения

Поверхности вращения - поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рис. 1, а). Направляющей поверхности вращения является окружность постоянного (цилиндр) или переменного радиуса (конус, сфера). Нормальное - перпендикулярное оси вращения сечение любой поверхности вращения, представляет собой окружность с центром на ее оси.

Рис. 1. Поверхность вращения: а - основные линии на поверхности вращения; б - представление поверхности вращения в виде сети

Направляющие называют также параллелями поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны к оси поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором поверхности, наименьшую - горлом. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность - меридианами. Поверхность вращения можно представить параллелями или меридианами поверхности, а также сетью, состоящей из параллелей и меридианов (рис. 1, б).

Поверхность вращения называют закрытой, если меридиональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пересекающей ось поверхности в двух точках.

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения, в общем случае, 2n-го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.

В зависимости от вида образующей различают:

Торовые поверхности - поверхности, образованные вращением окружности или дуги окружности:

Рис. 2. Торовые поверхности: а - сфера; b - открытый тор (кольцо); c - закрытый тор; d - глобоид

* Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через ее центр (рис. 2, а).

* Тор образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр (тор является поверхностью четвертого порядка). Различают открытый тор, образованный вращением окружности вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 2, б) и закрытый тор, образованный вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность или касается ее (рис. 2, в).

* Глобоид образуется вращением окружности достаточно большого радиуса вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 2, г).

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. Если за ось вращения принята большая ось эллипса, эллипсоид вращения называют вытянутым (рис. 53. а), если малая - сжатым или сфероидом (рис. 3, б). Земной шар, например, по форме близок к сфероиду

Рис. 3. Поверхности вращения: а - вытянутый эллипсоид; б - сфероид

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 4). Параболоиды вращения используются в качестве отражающей поверхности в прожекторах и фарах автомобилей для получения параллельного светового пучка.

Рис. 4. Параболоид вращения

Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы. Различают однополостный гиперболоид (рис. 5, а), образованный вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси, и двуполостный гиперболоид (рис. 5, б), образованный вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

Рис. 55. Поверхности вращения: а - двухполостной гиперболоид; б - однополостной гиперболоид

поверхность кривизна вращение конус

Конус вращения (прямой круговой конус) образуется вращением вокруг оси кривой 2-го порядка, распадающейся на две пересекающиеся прямые (рис. 6, а).

Рис. 6. Поверхности вращения: а - конус; б - цилиндр

Цилиндр вращения (прямой круговой цилиндр) образуется вращением вокруг оси кривой 2-го порядка, распадающейся на две параллельные прямые (рис. 6, б).

Размещено на Allbest.ru