Завершение анализа кинематики материальной точки

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Завершение анализа кинематики материальной точки

Тимофей Гуртовой

Вступление

На дворе уже давно время «Коперника» и «Кеплера», а мы все живем по «Птолемею»

Физические силы, их сущность и законы их действия начинают изучать ещё в средней школе, в разделе динамики. Основой фундамента динамики, как известно, являются три закона Ньютона. Однако с их разрешением у нас неприлично скромно. Можно сказать, даже огорчительно скромно.

Здесь могут сказать, что я, мягко выражаясь, не в себе. Мыслимо ли упрекать в подобном…(не будем уточнять кого)? Что ж, давайте разберёмся.

Первый закон динамики, Ньютона, в былые времена звучал предельно ясно. Тело находится в покое или равномерном прямолинейном движении, если на него не действует никакая сила. То есть закон утверждает (и это лежало на поверхности, никаких интеллектуальных усилий не требуя), что в Природе существует явление, называемое инерцией. Способность тела, по каким-то причинам, не будем их доискиваться, сопротивляться его ускорению. И это сопротивление не прекращается пока тело, под действием силы, находится в состоянии ускоренного движения, положительного или отрицательного.

Сопротивление силе - это реакция на её проявление и тоже - сила. Значит, первый закон Ньютона на самом деле утверждает, что в Природе, под видом инерции, наряду со статической реакцией существует и реакция динамическая. Существует реально и проявляется. А поскольку при вращении тела эта динамическая реакция пытается его от центра вращения отдалить, то, по сути, является силой центробежной. Грузики механического регулятора скорости, при её увеличении, ведь действительно расходятся! Однако наличие центробежной силы, при вращательном движении, существующей теорией не признается. То есть, такой силы в Природе якобы нет, вообще.

Почему же, уважаемыми представителями академической науки, реальное существование центробежной силы отрицается, если это существование обусловлено первым законом динамики и подтверждается практикой?

Почему, в связи с этим, процесс отрицания иных сил, кроме силы центральной, действующих на движущееся небесное тело, начинается уже изначально, ещё в школе, а потом и в ВУЗе.

Кому и зачем это нужно? Оказывается, есть, кому и есть зачем! Это нужно тем, кто занимается вопросами движения небесных тел, чтобы скрыть нерешённость силовых проблем небесной механики, которые являются следствием незавершённости кинематики материальной точки.

Объяснение физики небесного движения, чтобы скрыть действие там сил, пока не имеющих объяснения, начинается с вращения груза на верёвке. Где неизменяемость связи вращающегося тела с центром вращения центробежную силу, практически, никак выявить не позволяет. И, за счёт неизменяемости связи, демонстрируется только действие натяжения самой верёвки по удержанию груза, имитирующей центральную силу. Потом, заостряя внимание, что в этом случае действует только сила центральная, производится переход к движению спутника Земли, где действие верёвки заменяет уже сила гравитации. Которая затем и представляется как единственная сила, действующая в небесной механике. На самом деле она там не единственная. Есть там и вторая сила - центробежная и третья сила - касательная - движущая, и четвёртая сила - касательная - тормозящая, в условиях реальности. Но пока кинематика остаётся незавершённой, разрешить силовые проблемы небесной механики просто невозможно. Завершить же кинематику нынешняя физика не способна. Поэтому и применяются всевозможные способы, демонстрирующие, что проблем в небесной механике вроде бы нет.

Сегодня маскировка сил, действующих в небесной механике, усилена, еще более. Истинное содержание первого закона динамики, мало сказать, теперь оказалось второстепенным, оно совершенно уничтожено физически, введённым в физику принципом релятивистской относительности. И теперь формулировка закона выглядит так:

«Существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно».

Сказано, что существуют, а где они находятся в действительности и, что собой представляют, не сказано. И видно потому, что в Природе их не существует! И существуют они только умозрительно, в связи с искусственно введённым в физику принципом релятивистской относительности, порождённым СТО, и ею (существующей физикой) «удочерённой».

Теперь явление Природы, получившее название инерция, вроде бы уже и не обусловлено законом Природы, а существует просто так, само по себе. И из такой формулировки уже никак нельзя понять, что в Природе существует и реакция динамическая. А, тем более что она же является и силой центробежной. К тому же, в том же школьном учебнике, но уже при описании второго закона, делая ставку на то, чтобы силу центробежную из физики убрать окончательно, сказано буквально следующее:

«В первом законе утверждается существование инерциальных систем отсчёта».

Совсем не смешно! Какой сногсшибательный поворот!!! Умозрительное, теперь переведено в ранг полноправного утвердителя, утверждая самое себя?!

Однако это, по сути дела, всё же наносное «производное». Реальной «функцией» первого закона, непременным образом, остаётся существование в Природе явления инерции. Это стало основой для дальнейших выводов и новых изысканий в области кинематики и гравитационной динамики, что успешно выполнено и обнародовано, несмотря на, казалось непреодолимое, противодействие «уважаемых» астрономов [1].

Итак, при помощи не сложных рассуждений, используя первый закон Ньютона и верно его, понимая, мы пришли к выводу, что при вращательном движении центробежная сила всё-таки существует и действует, в рамках его третьего закона. И только поэтому Природа демонстрирует нам, сегодня удивительное зрелище невесомости, при нахождении космического корабля на орбите, движущегося вокруг Земли. Обеспечивает это состояние и космическому кораблю, и всему тому, что находится в нём, равенство сил, центральной - гравитационной и центробежной - инерционной. При отсутствии центральной силы - гравитационной, например, на карусели, отсутствует и невесомость. И тело, находящееся там, в незакреплённом положении, в этом случае, отклоняясь во внешнюю сторону, в очередной раз, ясно показывает, что центробежная сила реально существует и действует.

1. Кинематика рациональная

1.1 К вопросу движения и, в частности, небесного

Существующая кинематика материальной точки не имеет завершенного вида. Её математический анализ, ранее выполненный в условиях недостатка знаний, сегодня не является корректным. Математически некорректно и геометрическое построение для определения направленности центростремительного ускорения.

Начала механики, как считают, были завершены еще в 17-ом веке. Однако немало вопросов в области движения и сегодня остается без ответа. Например, совершенно не ясно, почему движение космических тел происходит именно по эллиптическим орбитам. Задача двух тел Ньютона только геометрическое отображение реалий в небесной механике, никакой физики не объясняющее. Не ясна причина и вечности небесного движения. Исчерпывающий ответ, на эти и другие вопросы, могла бы дать гравитационная динамика. Но таковой, в существующей физике, нет. Она не существует, потому, что нет фундамента для ее возникновения - рациональной (завершенной) кинематики.

То, что тело может двигаться по кругу, ныне приписывается действию только центральной силы. Говорят: тело двигалось бы прямо, но центральная сила, искривляя траекторию, заставляет его двигаться по кругу. А за счет чего, собственно, тело должно было бы двигаться прямо? Если, как нас заверяют, на него, кроме центральной силы - статической, никакая иная сила не действует? Например, на точки обода велосипедного колеса действуют центральные силы натяжения спиц. Однако колесо приводится во вращение не силами натяжения спиц. Поэтому утверждение, что равномерное движение по окружности происходит за счёт действия только центральной силы неверно во всех отношениях.

Во-первых, реальное движение по окружности не может быть равномерным, если не оговорить, что его равномерность следует понимать, как «постоянное по величине», поддерживаемое какой-то силой. Ведь это движение происходит с затуханием скорости, ввиду энергетических потерь и с угловым ускорением, так как изменяется направление его скорости.

Во-вторых, движение тела вкруговую, под действием силы гравитации, а она в небесной механике, как причина движения, единственная, не может быть равномерным по природе. Это движение непременно происходит по эллиптической траектории, которое равномерным назвать никак нельзя.

Чтобы, в реальных условиях, тело двигалось вкруговую, на него, и это очевидно, должны действовать четыре силы: центральная и касательная (движущие), центробежная и тормозящая (реактивные). И, если вращательное движение равномерное, то непременно, чтобы все они были равными, что будет обеспечивать условие выполнения законов динамики Ньютона, и движения тела по инерции, не требуя привлечения каких-то инерциальных систем. А если так, то теория движения, разумеется, наиболее общая, коей является теория криволинейного движения, должна показывать наличие у тел, движущихся по кривой, двух, реально существующих, при круговом движении равных по величине, ускорений: центрального и касательного, причины движения, обусловленной внешней силой. И, если речь о небесной механике, то - гравитацией. В математическом же выражении абсолютного ускорения, существующей кинематики материальной точки, последнее (касательное ускорение) не значится. Вообще-то оно есть. В виде второго слагаемого, в формуле, фиксируется. Но, как бы довеском к центральному ускорению. И только фиксируется, поскольку представлено выражением лишенным физического смысла (1). К тому же совершенно не ясно, какой именно вид движения, представленный символом V, в данном выражении следует полагать: прямолинейный (ds/dt) или криволинейный (Rdц/dt)?

V² dV

W = n -- + ф ----. (1)

R d t

Если учитывать, что анализ движения в общем виде - это анализ нелинейного (криволинейного) движения, которое в пределе суть движение по дуге (вращательное), то под движением, представленным символом V в формуле (1), следует понимать движение криволинейное. Но поскольку в анализ кинематики точки заложена функция отражающая закон прямолинейного движения s = s(t), то под этим символом следует понимать движение прямолинейное?!

Непременным условием вращательного движения тела является наличие и действие силы центральной. Действует в этом случае на тело и сила реакции, равная силе центральной, но направленная противоположно. Элемент связи тела с центром вращения, например, верёвка, при этом, испытывает силу её разрывающую. На практике сила реакции получила название центробежной, хотя теорией и не признаётся. Аргументом её противников является то, что при обрыве центральной связи тело продолжает движение не в радиальном направлении от центра вращения, а по касательной. Но это только подтверждает, что центробежная сила - это сила динамической реакции. Поскольку при исчезновении силы её породившей (натяжения верёвки) мгновенно прекращается и действие силы реакции, ею порождённой. И остаётся действующей только сила касательная.

Для инженеров центробежная сила является головной болью. При расчете на прочность конструкций с вращающимися массами, полную центробежную силу определяют через абсолютное ускорение, используя существующую формулу (1). Однако после расчета, запас прочности крепления, вращающейся массы, оказывается недостаточным, и коррекцию расчета приходиться производить практикой. Причиной невозможности выполнить точный расчет ныне считают неподдающиеся учету дефекты в материале. Но это не совсем так. Действительная причина - ущербность формулы абсолютного ускорения, ее незавершенность, о чем было сказано выше.

«Ускорение тела, равномерно движущегося по окружности, - говорится в одном из школьных учебников, - в любой его точке центростремительное, т. е. направлено по радиусу окружности к ее центру». Утверждение иллюстрируется известным геометрическим построением (рис. 1), которое приводится во всех учебниках физики, для школ и вузов, и сказанное якобы подтверждает.

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рис. 1

Направленность ускорения, в построении, определяется направленностью векторной разности _?V, получаемой путем переноса вектора скорости V параллельно самому себе, из последующей точки «Б» в предыдущую точку «А». Однако вектор скорости, в построении, особый - связанный. Его полюс жестко сцеплен с движущейся материальной точкой. Перенос связанного вектора параллельно самому себе, и вообще любой его перенос, путём отрыва от связанной с ним точки, исключен. Это действие математически не корректно. И векторную разность таким способом, не нарушая правил математики, получить невозможно.

Полюса векторов V₀ и V (рис. 1) жестко сцеплены с точками «А» и «Б» - точками пребывания движущегося тела. Значит, при переносе вектора V, вместе с ним должна будет двигаться по дуге, в обратном направлении, и точка его приложения, сцепленная с ним, поворачивая переносимый вектор. Когда полюса векторов совпадут, совпадут и сами векторы. Разность между ними исчезнет.

Перечисленные выше противоречия в существующей кинематике: неопределенность сущности скорости V, некорректность графического определения направления центростремительного ускорения и ущербная незавершенность формулы (1), делают её практически непригодной. Требуется серьезная теоретическая доработка

Для предварительного анализа кинематики материальной точки принимаем следующую терминологию.

Поскольку выражение dS/dt (S - путь по прямой; t - время) есть отражение закона прямолинейного движения, значит, движение - прямолинейное, скорость - прямолинейная.

Выражение Rdц/dt = щR (R - радиус; ц - угол вращения радиуса; t - время; щ - угловая скорость) - есть отражение нелинейного закона движения. Соответственно, движение нелинейное, иначе - криволинейное (в пределе движение по дуге - вращательное).

Нелинейная скорость вращающегося тела - V_{вр. =} щR, представленная произведением угловой скорости - щ на величину радиуса вращения - R, является скоростью составной. Её вектор состоит из суммы двух, относительно друг друга ортогональных, векторов - касательной скорости - фV и нормальной - nV . Эта скорость, обусловленная единичным вектором - щ^о, постоянно направлена под углом к направлениям скоростей её составляющим.

1.2 Причина ущербности существующей формулы абсолютного ускорения

Исследование движения в общем виде (в криволинейной его форме), в существующей кинематике материальной точки, построено на известном математическом анализе производной вектор-функции r(t) [4, гл.Х, §4], где изменение пути по времени принято в прямолинейной форме. И криволинейная форма движения исследуется методом движения прямолинейного. В общем, в исследовании, криволинейное движение подменяется движением прямолинейным, т. е. будто движение происходит не по кривой траектории, а по прямой линии. Корректно ли подобное?

В существующей физике подобная замена полагается допустимой. Основано это допущение на принципе количественного - арифметического приближения. Говорят, хотя путь вдоль дуги и длиннее, нежели вдоль прямой, ее ограничивающей, все же в пределе можно считать хорду и дугу соизмеримыми. И в анализе(?) движения, с допустимым приближением, вполне возможно принять их равными, заменив дугу хордой. Этот аргумент сегодня считается верным обоснованием существующего метода математического анализа кинематики. Однако в этом случае допускаются две некорректности.

Во-первых, в данной ситуации, требуется не задачу, решить, чтобы определить величину скорости, а выполнить математический анализ, чтобы получить уравнение, описывающее физическую сущность проблемы. И арифметическое, тем более, мысленное приближение, совершенно недопустимо.

Во-вторых, дуга, от прямой линии отличается не только своей величиной, но и физически, т. е. качественно. Прямая линия движения формируется только за счет одной силы, действующей на движущееся тело, в направлении его движения. Кривая же - за счет двух сил. Одна из них действует в прямом направлении (по касательной). Другая - в направлении перпендикулярном прямому направлению, по нормали к касательной. Именно этот факт, наличие двух сил, участвующих в формировании движения по криволинейной траектории, в существующей кинематике и не учитывается!

То есть признаётся только наличие центральной силы и игнорируется сила касательная, которая, при вращательном движении непременно присутствует.

Сила, творящая небесное движение, действительно, одна. Однако действует она на небесное тело, движущееся в гравитационном поле, в двух направлениях, по касательной и по нормали. Только касательная сила не выявлена (нет гравитационной динамики). И получается, что движется тело вроде бы только под действием одной - центральной силы. Причём, при анализе учитывается, только касательное движение тела. Его движение в сторону центра, при вращении, почему-то не учитывается, хотя и говорится, что оно (вращающееся тело) вроде бы «падает».

Таким образом, в существующем анализе кинематики учитывается только по одной составляющей общих факторов - силы (центральной) и скорости (касательной), действующих на небесное тело (заметим, составляющих от разных факторов, действие которых разнонаправлено). Вторые составляющие общих факторов - скорость центральная («падение» тела) и сила касательная (порождённая гравитационной динамикой) не признаются и не учитываются. Те же, признанные и учитываемые, разнонаправленные сила и скорость - это части разнородных цельных факторов. Поэтому считать, что в направленности движения тела и действии силы совпадения нет, ошибочно! Эта ошибка повсеместна и даже имеет место в школьном учебнике.

Вращательное (криволинейное) движение остается таковым, а, значит, переменным, даже в случае постоянства модуля скорости. Потому, что изменяется направление ее вектора. В этом случае, даже при бесконечно малом векторе перемещения и, следовательно, исчезающе малом повороте вектора скорости, угол изменения его направленности все же не равен нулю. Закон такого движения качественно иной, чем при условии равенства этого угла нулю, когда движение прямолинейно. Поэтому простая подмена в анализе, проявления одного закона движения, проявлением другого закона движения, уже грубая, не допустимая, ошибка. Тем более что эта замена производится путем арифметического приближения

1.3 Нелинейные движения

Рассматривая движение по кривой, мы пользуемся выражением щr - произведением двух физических величин, представляющих скорость этого движения. И в зависимости от условия, заданного для радиус-вектора, можно получить описание трёх вариантов движения, которые будут представлять, соответственно, три вида кривых.

1. Величина радиус-вектора неизменна. В этом случае радиус-вектор, лишившись потенции изменения своей величины, теряет векторность и становится скаляром - радиусом вращения. Кривая, изображающая движение, явит окружность. Движение будет вращательным - V_в.= щR, и вектор скорости этого движения расположится в плоскости вращения. Это исходное выражение для определения ускорения в заданной точке, при криволинейном движении.

2. Величина радиус-вектора изменяется: или уменьшается, или увеличивается. В этом случае выражение скорости будет состоять из произведения двух векторных величин - V_{с .}= щr. Кривая будет спираль - или нисходящая, или восходящая. Направление вектора скорости совпадёт с осью вращения, в направлении в одну или другую сторону, в зависимости от направления изменения величины радиус-вектора. Это исходное выражение для описания процессов при ускорении и торможении частиц в микромире.

3. Величина радиус-вектора совершает периодические колебания, увеличиваясь и уменьшаясь. В этом случае выражение скорости будет представлять колебательный процесс - V_{с .}= щ(±r). Кривая изображающая такое движение будет сложной, состоящей из спирального движения, которое изменяется по закону синус-косинуса. Это исходное выражение для описания колебательного процесса при распространении электромагнитных волн.

1.4 Рациональная кинематика материальной точки

кинематика материальный точка криволинейный движение

Зададим условие движения в параметрическом виде [2]. Обозначим путь при прямолинейном движении через S. Путь при криволинейном движении через L. В первом случае движение представится простой функцией, где путь будет функцией времени.

S = S (t). (2)

Скорость при этом, первая производная от (2), будет прямолинейная.

V_л. = dS / dt. (3)

Во втором случае движение выразится функцией сложной. Путь по кривой, в пределе по дуге, которая представляется произведением L = Rц, в первую очередь, будет функцией угла ц, поворота радиуса.

L = L (ц). (4)

Последний (угол), в свою очередь, будет функцией времени.

ц = ц (t) (5)

Таким образом, функция, представляющая описание криволинейного движения, в развернутом виде, будет:

L = L [ц(t)] (6)

Скорость при этом, первая производная от (6), будет угловой - скоростью вращения искомой точки.

V_вр.= Rdц /dt = щR (7)

Значит, упрощение, принятое в существующей кинематике, о котором говорилось выше, заключается в том, что вместо функции, представляющей криволинейное движение (6), в основу анализа положена функция, представляющая прямолинейное движение (2). Спору нет, подобная замена значительно упрощает математический аппарат анализа, но, будучи заменой, в физическом отношении, совершенно не адекватной, приводит, в конечном счёте, к серьезной ошибке.

Путь к устранению ошибки в теории движения очевиден. Отказавшись от некорректного математического упрощения, в основу анализа следует положить именно то выражение закономерности движения, которое соответствует исследуемому. Практически это будет выглядеть следующим образом. В качестве выражения, представляющего движение материальной точки, которое соответствует данному принципу исследования, принимаем функцию, отражающую криволинейность движения, в векторной форме, заданную в параметрическом виде [2, гл.1,(1.26)].

r = r(L), (8)

где, согласно (6), L = L[ц(t)].

Тогда (8) в развернутом виде, будет:

r = r{L [ц (t)]} . (9)

Векторы скорости и ускорения, точки движущейся по кривой, можно получить путем однократного и двукратного дифференцирования выражения (9), соответственно. Математический аппарат анализа при этом несколько усложняется, но зато истинность результата, вне сомнения. И вектор скорости, будет:

dr dL dц

V_вр.= rґ{L[ц(t)]} = -- . --- . --- = щ^оRщ, (10)

dL dц dt

где щ^о = n + ф - единичный вектор той же величины, поэтому:

V_вр. = щ^оRщ = V_n + V_ф (11)

Вектор ускорения (без вывода):

W_рац. = rґґ{L[ц(t)]} = Vґ_вр.(t) = nщ² R + фщ² R. (12)

Как видно из (12), выражение вектора касательной составляющей абсолютного ускорения в действительности имеет реальное значение и по модулю равно нормальной его составляющей (полный вывод формулы (12) в Приложении [1]).

2. Математический анализ кинематики материальной точки (Из приложения [1])

2.1 Особенности рационального анализа криволинейного движения

Кинематический вариант дуги и хорды

Криволинейная траектория в пределе - дуга. Радиус-вектор r, будучи переменным, по направлению, по величине, в пределах дуги остается постоянным. Значит, его скаляр r, адекватен и равен радиусу кривизны.

r = R. (1.Йп)

Учитывая (1.Йп), дугу ?, можно выразить через скаляр радиус-вектора. Это будет ее статическое выражение.

? = Rц = rц, (2.Йп)

где ц - угловое значение дуги, равное углу поворота радиуса.

В статике, арифметическое отношение бесконечно малой хорды к такой же малости дуги, с допустимым приближением, может быть принято равным единице _?S/_?? ? 1.

В кинематике хорда превращается в вектор перемещения - _?r, а дуга - в дуговую координату - _?? = _?(rц). Поэтому, физически, отношение вектора перемещения к дуговой координате, даже при бесконечной их малости, единице равно не будет.

_?r / _?? = _?r / _?rц = 1/_?ц. (3.Йп)

Это означает, что в кинематике, даже в пределе, арифметическое равенство, между вектором перемещения и дуговой координатой, не корректно. Между ними, кроме количественного, существует ещё и неуравненное физическое (качественное) соотношение. И, чтобы дугу и хорду уравнять физически, нужно выполнить операцию математического уравнивания. Или, математически, «выпрямить» дугу, или, математически, «согнуть» в дугу прямую. В первом случае нужно умножить, или, во втором - разделить, указанную величину на коэффициент уравнивания 1/_?ц.

Таким образом, коэффициент уравнивания - это единичное значение математически выраженного различия между прямой и кривой, т. е. орт качественного их различия. В дальнейшем, индекс малости угла - (?) опускаем, полагая, что 1/ц - это обратная величина бесконечно малого угла поворота радиус-вектора, в процессе движения материальной точки по криволинейной траектории.

Когда производятся математические операции над векторными величинами, мы вынуждены пользоваться таким понятием, как единичный вектор - орт. Это, по сути дела, «векторная окраска» операционных параметров, говорящая о том, что данная физическая величина обладает направленностью.

При дифференцировании физической величины, её скалярность подвергается качественному изменению. Например, скалярность скорости, после дифференцирования, приобретает качество ускорения. А так как векторность физической величины обусловлена ортом, то в этом случае, вместе с изменением качества скалярностью, изменяется по качеству и его векторность. Например, орт скорости, приобретая новое качество, становится ортом ускорения. Это происходит за счёт коэффициента уравнивания, о котором речь была выше.

Коэффициент уравнивания, в кинематике, отражая, единичным порядком, именно это свойство единичного вектора - изменять его качество, и приводит в соответствие качество орта с новым качеством скаляра. Более понятным это станет в процессе операций дифференцирования функций, ниже.

Свойства ортов в кинематике

В процессе анализа криволинейного движения, выполнение акта математического уравнивания дуги и хорды, есть операционная необходимость. Это вносит не только определенные изменения в анализ, но и коренным образом меняет некоторые представления. Так, в существующей кинематике, где вопросы решаются с позиций статики, полагается, что орты, физических векторных величин, отличаются друг от друга направленностью, и только. Однако скаляры физических векторных величин, при дифференцировании, изменяют свое качество. И орты, которые должны отражать их векторную «окраску», в процессе своего варьирования, не могут не следовать за качественным изменением своих скаляров. Это, при анализе кинематики материальной точки, с новых позиций, не может быть не учтено. Так что орты, как и сами скаляры векторных величин, должны изменяться еще и качественно. И ответственным за это является коэффициент уравнивания. Таким образом, каждому скаляру векторной физической величины должен принадлежать свой, сходный по качеству с ней, орт. Принадлежность орта той или иной физической векторной величине назовём «масштаб качества». И будем отмечать индексами их (ортов) принадлежность: радиус-вектору - «_r», скорости - «_v» и ускорению - «_w».

Если движение происходит по радиусу, что имеет место в анализе, орт радиального направления, практически, может принадлежать как скаляру радиус-вектора - r^о_r , так и скаляру скорости - r^о_v (скорость в этом случае прямолинейная, направленная к центру или от него). Таким образом, символ орта (r^о, ф, n) выражает его направленность, а его индекс («_r», «_v», «_w») - качество, т. е. принадлежность той или иной физической величине. Например: r^о_r -направленный радиально орт радиус-вектора; r^о_v -направленный радиально орт скорости.

Небесное движение - это частный случай вращательного движения, обусловленный действием центральной силы. Наиболее общим случаем исследования вращательного движения является анализ движения тела по криволинейной траектории, путём определения мгновенного значения его скорости. Особенностью подобного движения является то, что движущей, в этом случае, кроме центральной силы, является и сила касательная. Поэтому во время вращения, материальное тело реально движется и по касательной, и по радиусу, к центру вращения. Значит, орты этих его скоростей, будут - ф_v и r^о_v, соответственно.

Итак, в процессе анализа криволинейного движения орты векторных физических величин варьируют - изменяют свое направление и, как следствие этого варьирования - качество. Покажем это на примерах.

Будучи переменными, поскольку варьируют, орты являются функциями угла поворота радиус-вектора.

r^о_r = ѓ(ц); r^о_v = F(ц). (4.Йп)

Выразим функции (4.Йп) параметрически и продифференцируем их по углу ц.

dr^о_r d r^о_r 1

r^о_r ' = r^о_r(ц) = ---- Ч ---- = ф_r -- = щ^о_v = ф_v + n_v (5.Йп)

dr^о_r dц ц

После дифференцирования орт радиус-вектора r^о_r становится ортом вектора перемещения ф_r, в искомой точке. И при умножении на коэффициент преобразования превращается в орт угловой скорости щ^о_v , в этой точке, который может быть разложен на векторную сумму ортов касательной и нормальной составляющих этой скорости ф_v., n_v .

dr^о_v dr^о_v 1

r^о_v' = r^о_v(ц) = ---- Ч ---- = ф_v -- = щ^о_w = n_w + ф_w (6.Йп)

dr^о_v dц ц

После дифференцирования орт прямолинейной скорости r^о_v, направленный по радиусу, в сторону центра вращения, приобретает направление касательное ф_v. А умноженный на коэффициент преобразования, становится ортом углового ускорения щ^о_w, который, будучи векторной суммой ортов его касательной и нормальной составляющих ф_w, n_w, может быть разложен.

Полученные результаты дают основание сделать следующее заключение:

- при дифференцировании переменных ортов, происходит не только их поворот, но и смена ими качества;

- выявляется правило алгебраического преобразования качества переменных ортов, которое может быть сформулировано так:

Орт переменной физической величины, в последующем качестве, равен орту в предыдущем качестве, умноженному на коэффициент масштаба качества - k = 1/ц.

Математически это запишется следующим образом:

Z₂ = k·Z₁ , (7.Йп)

где Z₁ - орт в предыдущем масштабе качества;

Z₂ - орт в последующем масштабе качества.

Правило преобразования переменных ортов, при необходимости, позволяет изменить качество орта без дифференцирования. Такая необходимость, как будет показано, есть.

2.2 Некоторые частные производные

Угол поворота радиус-вектора ц, в (5.Йп) и (6.Йп), не является независимой переменной, так как изменяется по времени. Поэтому переменные орты r^о_r и r^о_v являются функциями сложными.

r^о_r = r^о_r [ц(t)]; r^о_v = r^о_v [ц(t)]. (8.Йп)

Продифференцируем функции (8.Йп), по независимой переменной t.

Первая функция:

dr^о_r dц

r^о'_r = r^о_r[ц(t)] = ---- Ч ---- = щ^о_v щ = щ_v , (9.Йп)

dц dt

где dr^о_r / dц = щ^о_v , согласно (5.Йп).

Согласно (9.Йп) дифференциал орта радиус-вектора равен вектору угловой скорости.

Вторая функция:

dr^о_v dц

r^о_v' = r^о_v[ц(t)] = ---- Ч ---- = щ^о_wщ = щ_w, (10.Йп)

dц dt

где dr^о_v / dц = щ^о_w, согласно (6.Йп).

Согласно (10.Йп) дифференциал орта радиальной скорости равен вектору углового ускорения.

Полученные выражения в (9.Йп) и (10.Йп) показывают, что при круговом движении векторы угловой скорости и углового ускорения находятся в плоскости вращения, а выражения, полученные в (5.Йп) и (6.Йп), - что они (векторы) направлены под углом в 45є к касательной.

3. Полный анализ кинематики материальной точки

3.1 Вектор скорости

Положение материальной точки, если известна ее траектория, согласно [2, гл. Й], однозначно характеризуется следующей векторной функцией, представленной в общем параметрическом виде:

r = r(x), (11.Йп)

где r - радиус-вектор; x -скаляр функции.

Рассматривается движение по кривой, в пределе по дуге - ?, значит, - вращательное. Функция, представляющая вращательное движение, будет сложной.

? = ?(ц), где ц = ц(t). (12.Йп)

Подставив выражение функции исследуемого движения, из (12.Йп) в (11.Йп), получим развернутую формулу мгновенного положения материальной точки, в процессе ее движения.

r = r{?[ц(t)]}. (13.Йп.)

Вектор мгновенной скорости точки, при движении по кривой V_вр., получим, продифференцировав функцию (13.Йп) по переменной t.

dr d? dц

Vвр_. = r'{?[ц(t)]} = ---- Ч ---- Ч ---- = щ^о_vRщ = щR, (14.Йп)

d? dц dt

где dr / d? = dr / dr Ч dr / d(цr) = ф_v Ч 1 / ц = щ^о_v - согласно (5.Iп);

d? / dц = d(цR) / dц = R;

dц / dt = щ.

При движении точки по окружности, радиус-вектор - это просто радиус. Тогда скорость вращения точки будет равна не произведению двух векторных величин - щr, а произведению векторной величины на скаляр - щR. Значит, вектор этой скорости - Vвр. = щ^о_v Rщ, находится в плоскости вращения. А так как орт угловой скорости, согласно (5.Йп), равен векторной сумме ортов щ^о_v = n_v + ф_v, то вектор скорости вращения является вектором суммы двух её составляющих, нормальной - n_vщR и касательной - ф_vщR.

Опустив индексы, так как орты и скаляры в одном качестве, получим окончательное выражение вектора скорости в заданной точке.

Vвр. = nщR + фщR (15.Йп)

3.2 Вектор ускорения

Ускорение есть производная от скорости. Из какой же скорости следует исходить при определении ускорения при вращении?

Жёсткость связи с центром, движущегося по кругу тела, приводит к тому, что радиальные скорости, нормальная и центробежная, существуют только в потенции. И реально действующей, при круговом движении, остаётся скорость касательная. Она и может быть исходной для нахождения ускорения. Поэтому дальнейший анализ может быть произведён таким же образом, как и ныне существующий.

Однако необходимо иметь в виду, что касательная скорость - это производная от сложной функции F[ц(t)], значит, её выражение обусловлено угловым параметром Vф = фщR. Поэтому, хотя она и является только частью общей скорости вращения, т. е. её составляющей, эта обусловленность позволяет, в процессе анализа, получить выражение почти полного значения ускорения, соответствующего полной скорости, что практически и имеет место в существующем анализе.

d dф_v dф_v dц dщ

W_вр. = V_ф'_вр. = (ф_vщR) = -- (ф_vщR) = ---- Ч ---- Ч ---- Ч щR + ф_vR Ч -- =

Dt dф_v dtdt dt1 dщ dщ

= n_v -- щ²R + ф_v R -- = n_w щ²R + ф_v R -- (16.Йп)

Итак:

dщ

W_вр. = n_w щ²R + ф_v R (17.Йп)

dt

Полученное, в результате дифференцирования выражения касательной скорости, выражение (17.Йп), при условии - щR = V, идентично выражению, получаемому в математическом анализе существующей кинематики [2, гл.Й], приведённому в (18.Йп).

V² dV

W = n -- + ф ---- (18.Йп)

R dt

Однако орт ф_v, во втором слагаемом (17.Й п), не пройдя операцию дифференцирования, находится еще в масштабе качества скорости. Из-за этого и всё второе слагаемое пребывает в математически некорректном состоянии. В то время как первое слагаемое, где орт - n_w, пройдя операцию дифференцирования, и находясь уже в масштабе качества ускорения, пребывает в математически корректном состоянии. Поэтому, выражение абсолютного ускорения, полученное в настоящем анализе, как и ранее в существующей кинематике [2, гл. Й], идентичное (18.Й п), находится в незавершённом виде.

Чтобы завершить анализ, второе слагаемое (17.Й п), необходимо привести к одному масштабу качества, с первым слагаемым. Для чего умножим его на коэффициент преобразования (уравнивания) 1/ц, а чтобы значение выражения не изменилось, одновременно разделим его на эту же величину, что равнозначно дифференцированию орта ф_v по углу ц.

1 dщ dщ

ф_v Ч--ЧцЧR ---- = ф_w ЧцЧR ---- (19.Йп)

ц dt dt

Далее, применив правило Лопиталя, xdy/dt = ydx/dt [3, c.256], к результату в (19.Йп), получим вполне понятное выражение, и с физической точки зрения, и с математической.

dщ dц

ф_w цR ---- = ф_w щR ---- = ф_wщ² R. (20.Йп)

dt dt

Подставив полученное значение второго слагаемого из (20.Йп) в (17.Йп), будем иметь законченное, реальное выражение абсолютного ускорения.

W_вр. = n_wщ²R + ф_wщ² R. (21.Й п)

Опустив индексы, так как все составляющие выражения (21.Йп) пребывают в едином масштабе качества, и введя новое обозначение для касательного орта ускорения, поскольку ф_w = ф_v Ч 1/ц = ф*, получим окончательное выражение формулы абсолютного ускорения.

W = nщ²R + ф*щ² R (22.Й.п)

Вывод

Вектор абсолютного ускорения материальной точки равен векторной сумме реальных и равных по величине нормального и касательного ускорений и потому в любой точке траектории направлен к радиусу кривизны под углом в 45°.

А коль есть касательное ускорение, значит, есть и касательная сила, в частности, в небесной механике. Таким образом, новое представление кинематики материальной точки - это фундамент нового раздела физики - гравитационной динамики.

Библиография

1. Сатаева О., Афанасьев Т. Кто мы и откуда? / О. Сатаева, Т. Афанасьев. // Размышления, подкреплённые материалом из монографии «Мы не одиноки во Вселенной», - 1-е изд. - Иркутск: ИВВАИУ (ВИ), 2007. - 208 с.

2. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. - М.: «Московский университет», 1974.

3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч 2. - М.: «Наука», 1981.

4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Т. 1. - М.: «Наука», 1978.

Размещено на Allbest.ru