Прогнозирование длительности жизни населения как по регионам, так и по отдельным специфическим категориям, представляется достаточно важной задачей, связанной с анализом рисков социально-экономических процессов. Выделение уникальных региональных особенностей должно способствовать качественному решению социальных, экономических, медицинских, демографических задач. Анализ процессов смертности в Саратовской области является темой этой статьи.

Информационной базой исследования послужили данные, полученные из общедоступных статистических ежегодников Саратовской области, а также данные, предоставленные Федеральным статистическим управлением по Саратовской области и Саратовским медицинским информационно-аналитическим центром по официальным запросам.

Полученные данные были сгруппированы по классам в зависимости от причин смерти, от места проживания (района города) и пола. Для каждой из выделенных категорий были построены оценки параметров аналитических законов смертности.

После анализа имеющихся эмпирических данных было выдвинуто предположение о том, что смертность для специфических категорий граждан описываются теми же аналитическими законами, но со своими значениями параметров.

Для каждой категории были построены оценки параметров распределений Гомперца и Мейкема [1].

Построение оценок осуществлялось путем совместного использования двух методов.

1. Аппроксимация Мейкема.

Для оценки параметров функции Мейкема была использована аппроксимация по четырем точкам, предложенная в [2].

,

Опишем вкратце эту методику.

Пусть мы имеем значения чисел доживших для четырех равноотстоящих друг от друга моментов времени: .

Определим вспомогательные величины:

,

,

Тогда параметры распределения Мейкема могут быть найдены по формулам:

, , .

Наибольшая точность оценки параметров распределения Мейкема с помощью данного четырехточечного алгоритма достигается в диапазоне от 20 до 80 лет для равноотстоящих точек, поскольку в этом возрастном интервале зависимость Мейкема описывает смертность значительно лучше, чем вне этого диапазона.

Данный алгоритм был применен для моделирования продолжительности жизни специфических категорий граждан в диапазоне от 60 до 100 лет (пенсионеров). Для этих целей по исходным данным были составлены аналоги таблиц жизни, из которых выбирались значения . Расчеты проводились средствами Excel, результаты оценивания параметров по категориям приведены в таблице 1.

Применение данного алгоритма показало его высокую чувствительность к выбору четырех точек. Поиск исходных равноотстоящих точек представлял творческую задачу, не поддающуюся алгоритмизации. Тем не менее, при удачном выборе начальных приближений удавалось добиться высокой точности совпадения теоретической кривой и эмпирических данных.

Анализ оценок параметра A функции Мейкема, весьма близких к нулю, подтвердил теоретические предположения, что в возрастных группах влияние данного параметра ничтожно мало, и для расчетов можно использовать функцию Гомперца.

2. Аппроксимация Гомперца.

Для оценки параметров функции Гомперца

,

был использован метод максимального правдоподобия.

Рассмотрим функцию правдоподобия для распределения Гомперца.

=.

При максимизации этой функции приходим к уравнениям:

=0.

Первое уравнение нелинейно относительно уравнение. Решив его численно, найдем из второго уравнения параметр B.

В качестве метода решения для нелинейного уравнения используется метод Ньютона.

Критерием остановки является выполнение неравенства

В нашем случае

Возникает вопрос о начальном приближении для (метод Ньютона весьма чувствителен к выбору точки отсчета). В качестве такого приближения можно взять значение параметра распределения Мейкема, полученное с помощью 4-х точечной аппроксимации, описанной выше.

Для реализации этого метода на языке C++ написана программа.

Метод используется корректно, что следует, например, из результатов подстановки полученных значений в уравнение правдоподобия: получаем, что обе производные функции правдоподобия практически равны нулю. Сравнение результатов расчетов для одних и тех же категорий граждан выборочных характеристик, в предположении, что параметры рассчитаны двумя способами (четырехточечным по Мейкему-Гомперцу и методом Ньютона по Гомперцу) приводит к выводу: разница в пределах статистической погрешности.

Анализ результатов расчетов показывает, что предложенные методики исследования смертности для специфических категорий граждан могут дать положительный эффект только при массовом оценивании, в противном случае отдельные наблюдения могут не укладываться в схему средних характеристик.