Метод сеток как способ решения дифференциальных уравнений модели процесса получения жидкого железа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод сеток как способ решения дифференциальных уравнений модели процесса получения жидкого железа

А.А. Арсеньева

Аннотация

При помощи метода конечных разностей на равномерной сетке решали систему дифференциальных уравнений, описывающую процесс получения жидкого железа прямого восстановления в электродуговой сталеплавильной печи. При решении учитывались граничные и начальные условия.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод конечных разностей, разностная схема.

В статье представлено решение системы дифференциальных уравнений разработанной математической модели [1] процесса получения железа прямого восстановления в дуговой сталеплавильной печи.

Для приближенного численного решения дифференциальных уравнений использовался метод конечных разностей на равномерной сетке численного решения [2]. При данном методе решение дифференциальных уравнений основано на замене производных разностными схемами, т.е. дифференциальные уравнения и дополнительные условия (краевые условия и начальное распределение) заменяются конечной системой алгебраических уравнений.

При описании физических явлений использована ортогональная декартова система координат. Пространство моделирование условно разделено на области, рис. 1: E - область угольных электродов; D - область электрических дуг; M - область расплава металла; R - область фурм для подачи материала; F - область футеровки печи; G - область газовой среды. Каждая из областей в зависимости от свойств веществ и процессов, происходящих в ней, описывается специальной системой уравнений.

Рис. 1 Области пространства модели

Сетка численного решения

Область моделирования (рис. 2) включает корпус печи, электроды и всё внутреннее пространство. Внутри этого пространства находятся расплав, шлак и газовая среда. В расплав подаётся двуокись железа и угольный порошок. Энергетические и химические процессы протекают в расплаве и шлаке.

Рис. 2 - Строение пространства моделирования

Пространство рассматривается как множество U точек, равномерно расположенных в пространстве с одинаковым шагом по координатам и пронумерованных в направлении 3-х ортогональных координат i=0…im, j=0…jm, k=0…km. уравнение дифференциальный электродуговой

Конструкция печи определена как принадлежность точек множества Ui,j,k пространства моделирования к одной из выделенных зон. Пространственное расположение зон определяется заданной геометрией печи, по которой на начальном этапе моделирования для момента начала процесса определяются значения точек множества

.В дальнейшем в ходе моделирования размеры и расположение зон будет изменяться в соответствии с результатами вычислений, в частности положение зоны электродов E и дуги, расплава M и газа G.

Множества численной модели

Для всех точек i,j,k пространства определяются температура Ti,j,k. Используются множества значений теплопроводности между узлами в направлении каждой координаты xi,j,k, yi,j,k, zi,j,k. Для расплава М определяются скорости в направлении каждой из координат vxi,j,k, vyi,j,k, vzi,j,k, значений равновесного давления pi,j,k и концентрации углерода CCi,j,k, двуокиси железа CFi,j,k и монооксида углерода CCOi,j,k. Для описания распределения мощности электрических дуг на поверхности расплава M используется множество значений интенсивности теплового потока qi,j. Изменение концентрации углерода, двуокиси железа и монооксида углерода в расплаве М описывается интенсивностью химического взаимодействия Ri,j,k.

Решение уравнений

Оценка погрешности численного решения, выполненная путём тестирования решений на сетках с разными шагами времени показала, что наименьшее время решения достигается при использовании метода конечных разностей на равномерных сопряжённых сетках с шагом 0,02 диаметра ДСП.

Уравнение Навье-Стокса описывается системой уравнений вида:

,

, (1)

где vx, vy, vz - составляющие скорости течения в направлении соответствующих координат, - плотность расплава, p - давление в данной точке пространства, - динамическая вязкость.

Расплав рассматривали как слабо сжимаемую жидкость, что позволяет определить распределение давления в расплаве из решения уравнения неразрывности

, (2)

где E - модуль упругости.

Начальные условия для решения уравнения Навье-Стокса: t=0, vx=0, vy=0, vz=0.

Граничные условия. На поверхностях FM соприкосновения расплава с футеровкой и с металлошихтой ХM принято условие прилипания

vx=0, vy=0, vz=0.

На поверхности соприкосновения расплава с газовой средой GM и областью дуги DM принята свободная граница для движения расплава

Значения компонент скорости течения расплава в узлах сетки Ui,j,kМ в зоне М вычисляется по следующим соотношениям, полученным преобразованием уравнений (1):

.

Значение давления pi,j,k в узлах разностной сетки, расположенных в расплаве Ui,j,kМ, вычисляется по соотношению, полученному из уравнения (2):

.

Уравнение концентрации C всех элементов расплава описывается уравнением переноса. Это изменение определяется минимальной концентрацией компонента в соответствии с химической реакцией С(t)=min(C1(t), C2(t). Для основной реакции восстановления железа Fe2O3+3C=2Fe+3CO.

; (3)

где D - коэффициент диффузии данного элемента в жидком железе, vx, vy, vz - скорости движения расплава, определяемые из решения уравнения Навье-Стокса, С* - изменение концентрации вещества (двуокиси железа, углерода и монооксида углерода) вследствие течения химических реакций, R* - скорость изменения концентрации (двуокиси железа, углерода и монооксида углерода).

Скорость изменение концентрации по оксиду железа

.

Скорость изменение концентрации по углероду

.

Скорость изменение концентрации по угарному газу

.

Граничные условия уравнения переноса:

- на поверхностях соприкосновения расплава со стенками печи и газовой средой M(GF) используется условие непроницаемости этих поверхностей для жидких компонент расплава

;

-для газообразных компонент расплава на поверхности соприкосновения расплава с газовой средой MG используется условие полного удаления газа из расплава ;

- на выходе донных фурм заданы потоки двуокиси железа и углерода

.

Начальные условия:

Изменение концентрации вещества (двуокиси железа, углерода и монооксида углерода) вследствие диффузии и движения расплава рассчитывается по двум подобным соотношениям, полученным из уравнения (3):

.

Уравнение теплопроводности. Во всех указанных областях печи протекает нестационарный термодинамический процесс, который описывается изменением температуры T(t) множества точек пространства во времени t. Нестационарное линейное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат x, y, z имеет вид:

, (4)

где T - температура точек пространства, - коэффициент теплопроводности среды, зависящий от координат расположения точки в пространстве, типа вещества и температуры в этой точке, Cс - удельная теплоемкость, vx, vy, vz - скорости движения вещества в направлении соответствующих координат, qi - удельные значения мощности выделения и поглощения теплоты в данной точке пространства.

Коэффициент теплопроводности зависит от температуры и нужно учитывать его различие в разных зонах печи.

.

Начальными условиями принято, что все точки пространства в начальный момент времени имеют одинаковую температуру TL: .

Граничные условия учитывают теплообмен печи с внешней средой. На внешней поверхности футеровки F0 имеется теплоотдача создающая в футеровке градиент температуры:

где b - коэффициент теплоотдачи, F - коэффициент теплопроводности футеровки.

Для численного решения уравнения теплопроводности используется конечноразностный оператор, полученный преобразованием уравнения (4).

Воздействие дуг и реакции окисления железа в зоне подачи струй кислорода описано оператором

,

где Kq - порядковый номер узлов, расположенных на поверхности расплава М, - шаг времени моделирования, - шаг сетки.

Теплоперенос теплопроводностью и конвекцией описан оператором

.

Заключение

Данные преобразования дифференциальных уравнений модели применялись для компьютерного моделирования процесса получения стали в ДСП и для последующего анализа результатов моделирования. При выполнении численного эксперимента исследовали влияние расположения фурм для подачи руды, угля, кислорода и электродов на распределения по объёму расплава скоростей его движения, концентраций окиси железа, углерода и моноокиси углерода, интенсивности выделения и поглощения теплоты и температуры расплава. Таким образом, разработанная физико-математическая модель непрерывно-циклического процесса непосредственной выплавки стали из железной руды в дуговой электропечи, основанная на решении системы дифференциальных уравнений, позволяет решить задачу оптимизации конструкции элементов печи и технологии ведения процесса плавки.

Список литературы

1. Арсеньева А.А. Оптимизация конструкции электродуговой печи энергометаллургического комплекса методом компьютерного инженерного анализа // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 11: в 2 ч. Ч. 1. - Изд-во ТулГУ. - 2014. - С. 142-150.

2. Белащенко, Д.К. Компьютерное моделирование жидких и аморфных веществ /Д.К. Белащенко. - М.: МИСИС, 2005. - 408 с.

3. Тихонов, А.Н. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении /А.Н. Тихонов, В.Д. Калько, В.Б. Гласко. - М.: Машиностроение, 1990. - 264 с.

Размещено на Allbest.ru