Алгоритм построения инвариантных систем в задаче слежения

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ В ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ

В.А. Уткин, Н.С. Мысик

1. Введение

Несмотря на длительную историю развития теории управления, проблема синтеза систем, функционирующих в условиях неопределенности, остается актуальной и в настоящее время, а проблема подавления/компенсации параметрических и функциональных неопределенностей, а также внешних возмущений относится к ключевым проблемам современной теории автоматического управления.

Классическим способом обеспечения инвариантности к внешним и параметрическим возмущениям, принадлежащим пространству управления, являются системы с разрывными управлениями [1] и глубокими обратными связями [2]. Однако на практике в классе таких систем обеспечивается лишь инвариантность с заданной точностью (-инвариантность), поскольку частота переключений управлений в реальном скользящем режиме ограничена, а бесконечные коэффициенты в цепи обратной связи физически нереализуемы.

В данной работе рассматривается задача обеспечения инвариантности выходных переменных линейных динамических систем к внешним, неизмеряемым возмущениям в предположении, что условия согласования не выполнены. В основе предлагаемого подхода лежит блочный принцип управления [3], согласно которому исходная система приводится к блочной форме управляемости, представляющей собой цепочку последовательно связанных элементарных блоков. Основная идея работы состоит в формировании локальных обратных связей в виде разрывных функций, что обеспечивает возникновение локальных скользящих режимов и, как следствие, полную инвариантность к внешним возмущениям. Выбор локальных обратных связей непосредственно в виде разрывных функций переводит задачу синтеза в класс обобщенных функций. В ряде работ, в таком случае, используют непрерывную аппроксимацию функции знака с насыщением, что позволяет автоматически учитывать ограничения на фазовые координаты и управляющие воздействия. В данной работе непрерывная аппроксимация функции знака осуществляется за счет расширения пространства состояний.

2. Постановка задачи

Рассматриваются линейные динамические системы с одним входом и одним выходом при воздействии внешних возмущений, описываемые уравнениями вида:

(1) , , ,

где () - компоненты вектора состояния, - выходная (регулируемая) переменная, - управляющее воздействие, , - недоступные для измерения внешние возмущения, - вектор-строки.

Ставится задача слежения относительно выходной переменной за задающим воздействием в следующих предположениях:

1. Внешние возмущения являются ограниченными по модулю функциями времени

(2) ,

2. Задающее воздействие также является ограниченной по модулю функцией времени вместе со своей первой производной

(3) , .

Отметим, что ограничения (3) можно обеспечить выбором постоянных в динамическом формирователе заданий вида и в качестве задающей переменной и ее производной рассматривать вектор [4].

3. На управление и компоненты вектора состояния накладываются следующие ограничения:

(4) .

С учетом того, что на внешние возмущения не накладывается требование гладкости, имеется возможность обеспечить сходимость выходной переменной только в некоторую окрестность заданной траектории. Таким образом, ставится задача стабилизации невязки с точностью до заданного :

(5) , .

3. Процедура блочного подхода к решению задачи слежения

Для декомпозиции задачи синтеза будем использовать идеологию блочного принципа управления [3], последовательно (сверху вниз) формируя фиктивные управления в системе (1), в качестве которых в каждой - й () подсистеме фигурирует переменная , вплоть до выбора истинного управления.

Шаг 1. Запишем первую подсистему системы (1) относительно ошибки слежения:

,

в которой переменная трактуется как фиктивное управление и в предположении, что производная по заданию и возмущения неизвестны, выбирается в виде , где здесь и далее - стабилизирующая локальная обратная связь.

На втором шаге следует решить задачу стабилизации невязки между реальным и желаемым фиктивным управлением:

(6) .

С учетом (6) первая подсистема примет вид:

(7) .

Шаг 2. Запишем дифференциальное уравнение относительно невязки (6)

.

Представим последние два слагаемых в виде суммы известной и неизвестной компонент.

.

В полученном уравнении переменная трактуется как фиктивное управление и выбирается в виде

.

Шаг 3. На третьем шаге требуется обеспечить стабилизацию невязки

(8) .

Уравнение второй подсистемы примет вид:

(9) .

В дифференциальном уравнении относительно невязки (8), аналогично предыдущему шагу, выделим известные и неизвестные компоненты

(10) .

Вводя уравнения невязки

(11)

уравнение (10) примет вид:

(12) .

И запишем уравнение, описывающее невязку (11)

(13) .

Далее снова выделяем известные и неизвестные слагаемые, запишем уравнение (13) в виде

,

в котором переменная выбирается в виде:

.

Продолжая указанную процедуру, получим на последнем шаге подсистему вида

и, выбирая , получим замкнутую систему:

(14)

Выберем в последней подсистемы системы (14) стабилизирующую обратную связь в виде разрывной функции , . Тогда при выполнении достаточных условий [1] в последней подсистеме системы (14) возникнет скользящий режим на поверхности и за конечное время обеспечивается стабилизация переменной . Далее обеспечивается -инвариантность переменной , например, за счет использования глубоких обратных связей.

4. Синтез локальных обратных связей в классе разрывных функций

Для решения поставленной задачи можно выбрать локальные обратные связи в виде разрывных функций, что позволит автоматически учесть ограничения и решить задачу стабилизации относительно переменной в системе (10) за счет организации локальных скользящих режимов:

инвариантность линейный динамический система

(15) , ,, ,

где

,

,

и () - константы. С теоретической точки зрения, при выполнении достаточных условий первая подсистема системы (14) будет функционировать в скользящем режиме, при этом обеспечивается полная инвариантность выходной переменной к внешним возмущениям.

Учитывая, что в процедуре блочного подхода присутствуют производные от фиктивных управлений (которые являются разрывными функциями), возникает проблема описания решений дифференциальных уравнений замкнутой системы (14) в классе обобщенных функций. Дополнительные сложности возникают в связи бесконечной частотой чередования дельта-функций различных порядков. Учитывая техническую нереализуемость обратных связей в классе разрывных функций, далее предлагается процедура стабилизации ошибки слежения с заданной точностью за счет расширения пространства состояний.

На первом шаге введем высокочастотный фильтр первого порядка вида

.

Тогда первое уравнение системы (14) примет вид . Невязка между реальным и желаемым фиктивным управлением примет вид

(16) ,

и в предельном случае при совпадает с (6).

На втором шаге в дифференциальном уравнении относительно невязки (16)

выберем фиктивное управление в виде и расширим пространство состояний за счет динамического компенсатора

На третьем шаге решается задача стабилизации невязки , дифференциальное уравнение относительно которой имеет вид

Таким образом, на -м шаге решается задача стабилизации невязки

, ,

дифференциальное уравнение относительно которой имеет вид

(17) ,

с динамическим компенсатором

, .

В (17) переменная трактуется как фиктивное управление и выбирается в виде .

Продолжая данную процедуру, на -м требуется обеспечить стабилизацию невязки с помощью выбора истинного управления , где .

Выбор предложенных выше локальных обратных связей и закона управления

(18)

приведет к замкнутой системе

, , ,

(19) ,

,

.

На основе уравнений замкнутой системы (19) с помощью второго метода Ляпунова получены неравенства для выбора оценок значений постоянных фильтров , при которых обеспечивается заданная точность стабилизации ошибки слежения с учетом ограничений (2)-(4).

5. Заключение

В рамках блочного подхода разработан метод синтеза инвариантных систем в задаче слежения с учетом ограничений на фазовые переменные и управление. Преимущества систем с разрывными управлениями, которые позволяют обеспечить инвариантность к внешним ограниченным по модулю возмущениям, в данной работе реализованы в допредельной ситуации. Предложен динамический способ аппроксимации разрывных локальных связей за счет расширения пространства состояний. Предложенный подход может быть распространен на линейные управляемые системы общего вида с векторными выходными переменными и управлениями.

6. Список литературы

Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.

Мееров М.В. Системы многосвязанного регулирования. М.: Наука, 1965.

Уткин В.А. Инвариантность и автономность в системах с разделяемыми движениями // АиТ. 2001. №11. C. 73-94.

Нгуен Куанг Хынг, Уткин В.А. Задачи управления двигателем постоянного тока // АиТ. №5. 2006. С. 102-118.

Размещено на Allbest.ru