При проектировании разработки нефтяных месторождений целесообразно предварительное построение модели разработки. Это позволяет опробовать несколько вариантов разработки и выбрать из них наиболее рациональный. Наиболее значимой, а иногда и единственной частью модели является гидродинамическая модель процессов фильтрации жидкостей в пластах нефтяных залежей. В процессе моделирования исходные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие физические процессы, заменяются соответствующими системами конечно-разностных уравнений большой размерности, решение которых требует большого объема вычислений.

Задача моделирования является подзадачей задачи оптимального управления процессом разработки нефтяного месторождения. При этом следует отметить, что в задачах оптимизации процесс моделирование стоит повторять многократно. Это ведет к необходимости использования таких алгоритмов и средств моделирования, которые позволят решать задачу моделирования в приемлемые сроки. Одним из таких средств является использование для решения поставленной задачи универсальной многосеточной технологии, которая обладает высокой степенью внутреннего параллелизма и в ряде случаев позволяет эффективно использовать в качестве аппаратного ресурса для моделирования многопроцессорные вычислительные комплексы.

В качестве объекта для исследования эффективности применения универсальной многосеточной технологии в работе рассматривается математическая модель двухфазной фильтрации воды и нефти, полученную на основе уравнений неразрывности и линейного обобщенного закона фильтрации Дарси.

универсальная многосеточная технология параллелизм внутренний

Решение системы уравнений (1) - (2) возможно хорошо известным IMPES-методом, описанным, например, в [1]. По методу IMPES последовательно проводится расчет поля давлений и распределения насыщенностей в каждый дискретный момент времени. При этом на каждом временном этапе уравнение (1) решается относительно неизвестных давлений по неявной схеме, а уравнение (2) относительно неизвестных насыщенностей по явной схеме. Последовательное решение уравнений (1) и (2) можно организовать в итерационный процесс, что является более строгим с математической точки зрения. Организация такого итерационного процесса позволяет учитывать в уравнении (1) значения насыщенностей с того же временного слоя, на котором находятся искомые значения давлений.

Численное решение уравнения (1) по неявной схеме является достаточно трудоемким процессом с точки зрения объема вычислений. Поэтому для его решения целесообразно использовать так называемые экономичные методы решения ДУ. УМТ является модификацией одного из таких методов - классического многосеточного метода (КММ).

Рис. 1.

Одно из основных отличий КММ от УМТ заключается в процедуре построения грубых сеток. Исходную сетку представим как объединение трех более грубых и не пересекающихся сеток первого уровня (как показано на рис.1), т.е. , . Далее рекуррентным способом каждая из сеток , рассматривается как исходная для сеток , а полученные девять еще более грубых сеток образуют второй уровень т.д.

Посещение уровней многосеточной структуры представляет собой пилообразный цикл. Решение ДУ начинается на самых грубых сетках, на этом этапе необходимо получить решение на множестве грубых сеток, которые смещены друг относительно друга на длину шага самой мелкой сетки. Подробнее об алгоритме реализации УМТ можно узнать в работах С.И. Мартыненко, например в [2].

В результате эксперимента по применению УМТ к модельной задаче были выявлены несколько случаев:

1. Начальное приближение к решению уравнения (1) является достаточно “плохим”. Здесь применение УМТ позволяет получить существенный эффект.

2. Начальное приближение к решению является таким, что для решения уравнения только на мелкой сетке потребовалось бы провести несколько десятков или сотен итераций. Здесь УМТ позволяет получить небольшое увеличение производительности.

3. Начальное приближение к решению является на столько “хорошим”, что для решения уравнения на самой мелкой сетки потребовалось бы всего несколько итераций. В данном случае применение УМТ может дать отрицательный эффект.

“Плохое" начальное приближение характерно для первого временного шага моделирования. Кроме того, такое возможно на тех временных шагах, на которых изменяются режимы эксплуатации скважин. В остальных случаях перед началом расчета поля давлений на временном шаге имеется достаточно хорошее начальное приближение к решению. Таким образом, применение УМТ на различных этапах расчета модели может быть оправданно или не оправданно.

Если в последовательных алгоритмах при оценке временных затрат на расчеты речь идет в основном непосредственно о затратах времени на вычисления, то в случае параллельных алгоритмов возникают также временные затраты на организацию параллельных вычислений. При реализации распараллеливания модельной задачи при помощи разбиения области пересылка данных происходит очень часто, но представляет собой пересылку небольших сообщений типа “точка-точка”. При распараллеливании УМТ при помощи динамических мелких сеток пересылка данных происходит редко, но объем пересылаемых данных очень велик, и подготовка их занимает много времени.

Для параллельного варианта УМТ хотелось бы отметить, как влияет время, затрачиваемое на пересылку данных между процессорами, на эффективность применения данного метода. Для ответа на этот вопрос необходимо провести сравнение времени, которое затрачивается на пересылку данных в УМТ, со временем проведения одной итерации вместе с пересылкой данных при использовании разбиения области. В таблице 1 представлены результаты численного эксперимента, который проводился для оценки отношения времени пересылки данных в УМТ ко времени проведения одной итерации методом разбиения области на части.

Таблица 1.

Из таблицы 1 видно, что с ростом числа вычислителей предпочтительность УМТ в сравнении с методом разбиения на подобласти падает. Очевидно, что нет необходимости использовать УМТ, если задачу можно решить методом разбиения на подобласти за время меньшее, чем займет пересылка данных в параллельном варианте УМТ. При этом следует учитывать, что сама по себе УМТ предпочтительная для случаев, кода решение требует большого количества итераций.

Список литературы