Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования

Математическое моделирование и исследование динамики ансамбля частиц в условиях действия консервативных возмущений с использованием канонического метода численного интегрирования. Создание комплекса программ для исследования динамики ансамбля частиц.

Рубрика Математика
Вид автореферат
Язык русский
Дата добавления 13.08.2018
Размер файла 986,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Германюк Галина Юрьевна

Ижевск - 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Морозов Евгений Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Карпов Александр Иванович, г. Ижевск

доктор технических наук, профессор Первадчук Владимир Павлович, г. Пермь

Ведущая организация: Научный центр нелинейной волновой механики и технологии РАН, г. Москва

Общая характеристика работы

Актуальность. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет описывать динамические процессы в системах, обладающих свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Для исследования таких систем существуют аналитические и численные методы интегрирования.

В настоящие время возможности вычислительной техники позволяют численно интегрировать динамические уравнения для систем с числом структурных единиц порядка , что является достаточным для исследования многих эволюционных процессов.

Основным при использовании численных методов является учет погрешности, вносимой процессом численного интегрирования, и, как следствие, оценки полученных компьютерных моделей.

В известных численных методах, в частности Эйлера и Рунге-Кутта, влияние итерационных процессов ведет к накоплению погрешности, которую можно снизить уменьшением шага интегрирования, что ведет к увеличению времени счета.

В качестве альтернативного подхода рассматривается так называемый канонический метод численного интегрирования, где сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением.

Сравнительный анализ позволяет говорить о перспективности канонического метода численного интегрирования для описания и исследования динамических систем, что и определяет актуальность выполняемого исследования.

Предметом исследования являются динамические системы свободных и взаимодействующих частиц в условиях консервативных возмущений, которые представлены в форме ансамбля Гиббса, а также динамические процессы, происходящие в указанных системах.

Цель работы - математическое моделирование и исследование динамики ансамбля частиц в условиях действия консервативных возмущений с использованием канонического метода численного интегрирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка математических моделей движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Разработка алгоритмов численного интегрирования ансамбля частиц.

3. Создание комплекса программ для исследования динамики ансамбля частиц.

4. Компьютерное исследование поведения ансамбля частиц с использованием условия обратимости времени.

Методы исследования

в работе использованы теоретические и численные методы исследования на основе фундаментальных результатов гамильтоновой механики, теории канонического интегрирования и канонической теории возмущений. В практической части исследования использованы основные методы компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

Достоверность теоретических результатов обеспечивается корректной формулировкой математических моделей. В основу теоретических методов положены основные результаты гамильтоновой механики и теории возмущений. Достоверность результатов численного интегрирования и компьютерного эксперимента подтверждается их совпадением с основными теоретическими предсказаниями теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера для движения систем, близких к интегрируемым, и имеющимися результатами канонической теории возмущения.

На защиту выносятся:

1. Математические модели для исследования движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Комплекс программ для исследования динамики ансамбля частиц при различных начальных условиях и условиях взаимодействия.

4. Результаты компьютерного исследования поведения ансамбля Гиббса с использованием условия обратимости времени.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

1. Впервые получены математические модели движения ансамбля частиц в условиях консервативных возмущений.

2. Впервые проведено аналитическое исследование устойчивости канонического метода интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Впервые построены устойчивые к накоплению погрешности численные алгоритмы интегрирования уравнений движения на больших интервалах времени.

4. Впервые условие обратимости времени использовано для анализа поведения ансамбля Гиббса.

5. Разработан комплекс программ для качественного и количественного исследования ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

Научная апробация результатов исследования

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 2-ой Всероссийской конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и студентов «Теория динамических систем в приоритетных направлениях науки, технологии и техники» (г. Чайковский, 2007г.), на 2-ой Международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (г.Екатеринбург 2007г.), на 6 - ой Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула 2010г), на 13-ой Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики» (г. Сочи 2010г.).

Практическая значимость и реализация результатов исследования

Положительные результаты использования канонического метода численного интегрирования для исследования рассмотренных динамических моделей могут быть применены в различных областях эволюционной динамики.

Одношаговый тип канонических алгоритмов интегрирования и минимально возможное количество выполняемых операций делают перспективным создание программных комплексов, используя процедуру распараллеливания процесса счета. Практическая ценность разработанного программного комплекса заключается в том, что, как и в натурном эксперименте, предусмотрена возможность разделения процесса его проведения и анализа результатов.

Программный комплекс используется в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических процессов» для специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», а также преподавания разделов «Механика» и «Молекулярная физика» в курсе физики.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях, в том числе в 3 работах в издании рекомендованным ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 125 наименований, приложения. Работа изложена на 144-х листах машинописного текста, содержит 91 рисунок и 8 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель, основные задачи исследования и методы проведения диссертационного исследования. Определяется научная и практическая значимость, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся математические модели исследования динамики ансамбля частиц на основе использования теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гамильтоновой механики, канонической теории возмущений, численных методов интегрирования. Выполнен обзор существующих численных методов и приведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности для алгоритмов по каноническому методу и методу Эйлера на больших интервалах времени.

На основе проведенного анализа определяется общая структура работы и этапы решения поставленных задач.

Во второй главе обосновывается возможность использования канонического метода численного интегрирования для исследования динамики ансамблей частиц, определяется условие поведения системы в форме обращения времени и исследуется влияние консервативных возмущений, генерируемых алгоритмами этого метода в линейных и нелинейных системах.

Проанализирована возможность использования канонического метода численного интегрирования в исследовании движения ансамбля частиц. Как было отмечено в актуальности исследования, сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением. Таким образом, компьютерные модели, использующие канонический метод численного интегрирования, позволили исследовать влияние консервативных возмущений на движение ансамблей и, как следствие, исследовать эволюционные процессы.

Для исследования влияния консервативных возмущений было рассмотрено использование канонического метода численного интегрирования в динамических уравнениях гармонического осциллятора (линейная система) и математического маятника (нелинейная система), с одной степенью свободы n=1.

Функция Гамильтона и уравнения движения для гармонического осциллятора (1) и математического маятника (2) запишутся в виде:

(1)

(2)

Для ансамбля Гиббса , где - число частиц.

Использование канонического метода численного интегрирования позволило исследовать этот вопрос численными методами, в том числе визуально, с помощью графических приложений на экране компьютера.

Для численного интегрирования систем (1) и (2), был использован алгоритм вида импульс-координата:

(3)

(4)

где - шаг интегрирования и .

Было показано, что алгоритмы (3) и (4) осуществляют каноническое преобразование точек фазового пространства. Фундаментальным свойством таких преобразований, в соответствии с утверждением Лиувилля, является сохранение фазового объёма, действительно якобиан преобразований (3), (4) равен 1, следовательно, преобразования являются каноническими, а - параметром консервативного возмущения.

Известно, что реальные механические процессы необратимы во времени, а процессы, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений (Ньютона, Лагранжа, Гамильтона), инвариантны относительно преобразования . Канонический метод численного интегрирования позволяет исследовать влияние консервативных возмущений на движение ансамблей и, как следствие, исследовать обратимость динамических процессов во времени.

Было проанализировано движение невзаимодействующих между собой частиц вида (1) и частиц вида (2), с начальными условиями для гармонического осциллятора и для математического маятника.

На рисунке 1 показаны последовательные положения ансамбля на экране компьютера в течение времени, соответствующего шагам интегрирования в направлении протекания времени, и столько же шагов при обращении времени.

Как видно из рисунка 1б, каноническое возмущение, вызванное процессом численного интегрирования, не нарушает детерминированности процесса - ансамбль возвращается в первоначальное положение после обращения времени.

математическое моделирование ансамбль частица

а) б)

Рисунок 1 - Движение ансамбля частиц по каноническому методу: а) в прямом направлении течения времени; б) при обращении времени

Аналогичные исследования влияния малых консервативных возмущений при прочих равных условиях были проведены на нелинейных системах (математический маятник), в течение времени, соответствующему шагам интегрирования.

На рисунке 2 изображено положение ансамбля в случае прямого направления времени. Как видно из рисунков, вследствие замедления движения системы при приближении к сепаратрисе, ансамбль начинает приобретать характерную спиралевидную форму для точек, лежащих ниже сепаратрисы. На сепаратрисе происходит разрыв, и точки, лежащие выше сепаратрисы, переходят во вращательное движение. Вблизи сепаратрисы движение приобретает неупорядоченный характер, что видно из рисунка 2д,е.

а) б)

в) г)

д) е)

Рисунок 2 - Движение ансамбля частиц математического маятника:

а) за шагов; б) за шагов; в) за шагов; г) за шагов;

д) за шагов; е) за шагов

Воспользуемся условием обращения времени, рисунок 3. На рисунке 3(а) показано положение ансамбля в момент времени, соответствующему шагам интегрирования. Видно, что точки, находящиеся в окрестности сепаратрисы не возвращаются в первоначальное состояние. Очевидно, что в окрестности сепаратрисы система не только не возвращается в состояние порядка, но неупорядоченные процессы продолжают развиваться, рисунок 3б.

Таким образом, в консервативных нелинейных системах наличие консервативных возмущений приводит к возникновению и развитию неупорядоченных процессов.

а) б)

Рисунок 3 - Движение ансамбля частиц математического маятника при обращении времени:

а) за время соответствующее шагам интегрирования;

б) за время соответствующее шагам интегрирования

Для исследования влияния консервативных возмущений на движение двухмерного фазового ансамбля был рассмотрен ансамбль Гиббса из невзаимодействующих частиц в потенциальном поле Тода.

Вид потенциала Тода приведён на рисунке 4.

Рисунок 4 - Уровни потенциальной энергии

Функция Гамильтона и уравнения движения в безразмерном виде запишутся:

(5)

где .

Особенность системы (5) заключается в том, что, как и в случае математического маятника, движение вблизи начала координат будет иметь линейный характер (рис.4).

Как известно из теории, при система будет интегрируема, а при система неинтегрируемая.

Как и в случае гармонического осциллятора и математического маятника, запишем алгоритм импульс-координата, для системы (5) в виде:

где - шаг интегрирования.

В начальный момент времени ансамбль Гиббса располагался в начале координат и образовывал квадрат со стороной ед. и расстоянием между частицами ед..

Пусть система интегрируема: и , общее время работы, соответствует шагам интегрирования. На рисунке 5а представлено последовательное положение ансамбля. Как видно, квадрат сохраняет форму и периодически возвращается в начальное состояние, рисунок 5б. Данный случай соответствует линейным системам.

Рассмотрена эволюция системы при увеличении степени нелинейности с начальным значением импульсов и и прочих равных условиях. На рисунке 6 представлена фазовая траектория ансамбля Гиббса невзаимодействующих частиц, при течении времени в положительном направлении (рис.6а) и при обращении времени (рис.6б).

а) б)

Рисунок 5 - Движение ансамбля из частицы в условиях линейного потенциала:

а) движение ансамбля в положительном направлении течении времени;

б) возвращение в начальное положение при обращении времени

Как видно, система не возвращается в исходное положение при обращении времени и наблюдается возникновение и развитие неупорядоченных процессов. Более детальный анализ показывает, что они развиваются линейно.

а) б)

Рисунок 6 - Положение ансамбля невзаимодействующих частиц:

а) фазовая траектория в интервале от дошагов интегрирования; б) положение ансамбля при обращении времени через шагов

Рассмотрим неинтегрируемый случай, соответствующий: , и ; при прочих равных условиях. На рисунке 7 так же представлена фазовая траектория ансамбля Гиббса невзаимодействующих частиц, в положительном направлении течения времени и при обращении времени соответственно.

а) б)

Рисунок 7 - Положение ансамбля невзаимодействующих частиц:

а) фазовая траектория в интервале от дошагов интегрирования; б) положение ансамбля при обращении времени через шагов

Из рисунков видно, что в неинтегрируемых системах неупорядоченные процессы развиваются интенсивнее, в отличие от интегрируемых, где они возрастают линейно. Для сравнительного анализа, одним из предположений можно использовать качественную оценку фазовой траектории ансамбля, на рисунках 6а и 7а. Из рисунка 6а видно, что наблюдается сохранение некоторого порядка, обусловленного наличием интеграла движения. Для неинтегрируемых систем за тот же интервал времени (рис.7а) наблюдается отсутствие регулярности в повторении траектории, и интенсивность контрастности рисунков неоднородна.

Полученные результаты ещё раз показывают, что нелинейность системы и действие малых консервативных возмущений приводят к возникновению и развитию неупорядочных процессов.

Третья глава посвящена описанию программного комплекса для исследования движения одномерного ансамбля при различных начальных условиях и условиях попарного межчастичного взаимодействия, созданного на основе использования канонического метода численного интегрирования (рис.9).

Программный комплекс состоит из трёх подсистем:

· Подсистема моделирования

· Подсистема просмотра результатов

· Подсистема модификации

Рисунок 9 - Структура программного комплекса

Подсистема моделирования позволяет построить компьютерные модели и произвести компьютерный эксперимент на основе канонических алгоритмов интегрирования и состоит из следующих модулей:

· Модуль описания модели - задаёт характеристики динамических систем и её начальные параметры (схема интегрирования).

· Модуль формирования эксперимента - на основе описанной модели создаёт программу для проведения компьютерного эксперимента.

· Модуль проведения эксперимента - проводит интегрирование модели на основе алгоритма интегрирования и передаёт полученный численный результат в подсистему модификации и в подсистему просмотра результатов.

Подсистема модификации позволяет вычислять среднюю потенциальную и среднюю кинетическую энергию и гамильтониан, используя данные, полученные в результате эксперимента. Так как процесс функционирования модификатора описан заранее, это обеспечивает его удобный вызов посредством одной кнопки, что экономит время оператора и системы. Результатом модификатора является новый набор данных, которые незамедлительно выводятся на экран. Модификатор состоит из следующих модулей:

· Модуль расчёта потенциальной энергии - производит вычисление средней потенциальной энергии системы по формуле:

.

· Модуль расчёта кинетической энергии - производит вычисление средней кинетической энергии системы по формуле: .

· Модуль расчёта гамильтониана - производит вычисление суммы кинетической и потенциальной энергий системы по формуле: .

· Дамп. Выводит на экран значения всех параметров в текущий момент времени.

Подсистема просмотра результатов предоставляет инструменты для демонстрации числовых данных, полученных в результате проведения эксперимента и состоит из следующих модулей:

· Модуль загрузки данных - позволяет загрузить данные из файла на носителе в память программы.

· Модуль вывода на экран - выводит различные зависимости в виде графиков или отображает фактические значения параметров.

· Модуль сохранения изображения - позволяет сохранять графики в файл для дальнейшего использования.

Как и в натурном эксперименте предусмотрена возможность разделения процесса проведения эксперимента и анализ его результатов. Поэтому основной комплекс вычислительных операций осуществляется в автоматическом режиме без участия оператора в удобное (например, ночное) время. После этого экспериментатор может просмотреть полученные результаты в ускоренном режиме.

В программном комплексе решаются следующие задачи:

1. Ввод исходных данных для моделирования системы.

2. Проверка правильности введённых данных.

3. Проведение компьютерного эксперимента на основе математической модели.

4. Представление результатов эксперимента в виде графиков и таблиц.

В четвёртой главе приводятся результаты работы программного комплекса по исследованию движения одномерного ансамбля, включающего от до частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия, и общая методика проведения компьютерного исследования одномерных систем.

Как известно, существуют два подхода в исследовании атомно-молекулярных систем: статистический и динамический.

Одной из отличительных особенностей в использовании подходов является трактовка физического смысла величин, характеризующих состояние системы. Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных характеристик системы - температуру.

С точки зрения молекулярно-кинетической теории абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения частиц тела и для одноатомных газов имеет вид:

, (9)

где - абсолютная температура в Кельвинах, - постоянная Больцмана.

Термодинамический и статистический подходы позволяют исследовать системы исключительно в равновесном состоянии.

Однако, как было отмечено выше, эволюционные процессы могут протекать лишь в неравновесных состояниях системы. В этой связи удобно использовать понятие температуры как внутреннюю характеристику системы.

Термодинамическая температура как мера средней кинетической энергии частиц системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.

Динамическая температура как мера средней кинетической энергии системы в неравновесном состоянии.

Во втором случае изменение динамической температуры во времени может быть использовано для оценки поведения системы в условиях парного взаимодействия.

Определим динамическую температуру, выраженную в Кельвинах через текущую среднюю кинетическую энергию, выраженную в безразмерных единицах.

Безразмерная средняя кинетическая энергия для частицы запишется в виде:

Обратная связь со шкалой Кельвина выразится в виде:

(10)

где - значение минимума потенциальной энергии в потенциале Леннарда-Джонса.

Пусть имеется одномерная молекулярная система из - взаимодействующих частиц, совершающих продольные движения вдоль оси . В качестве потенциала попарного межчастичного взаимодействия будем использовать потенциал Леннарда-Джонса. Функция Гамильтона и динамические уравнения для ансамбля взаимодействующих частиц запишутся в виде:

(11)

Для исследования влияния консервативных возмущений воспользуемся алгоритмом импульс-координата, общее время работы соответствует шагам интегрирования:

где ; - шаг интегрирования.

Очевидно, что при малых значениях энергии частицы будут совершать колебания вблизи устойчивого положения равновесия, на основе программного комплекса была исследована динамическая температура. График зависимости динамической температуры от числа частиц в системе, в частности для инертного газа представлен на рисунке 10.

Рисунок 10 - Зависимость динамической температуры от числа частиц для инертного газа

Из графика видно, что увеличение числа частиц приводит к стремлению динамической температуры к некоторому фиксированному значению.

Рассмотрено влияние консервативных возмущений на движение ансамблей частиц вблизи положения равновесия, в частности, приведены результаты исследования для ансамбля из частицы. В качестве начальных условий использовались значения:

(12)

где ,.

График средней кинетической энергии ансамбля представлен на рисунке 11.

Рисунок 11 - График колебания средней кинетической энергии во времени для ансамбля из частицы

Из графика видно, что средняя кинетическая энергия совершает колебания с постоянной амплитудой. Это означает наличие упорядоченного движения в системе, которое определяется в форме двух волн (рис.12). И при обращении времени система возвращается в положение равновесия. Это говорит об устойчивости системы к влиянию консервативных возмущений вблизи положения равновесия.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 12 - Фазовая траектория ансамбля из частицы

Как было показано на предыдущих моделях, причиной возникновения и развития неупорядоченных процессов является нелинейность системы и действие консервативных возмущений. Возникает вопрос, как будет вести рассматриваемая система в условиях нелинейности. Поскольку исследование вопросов перехода детерминированных процессов в неупорядоченные необходимо осуществлять каким-либо упорядоченным образом, для этого был предложен метод импульсной передачи энергии крайним частицам. Упорядоченная передача энергии состоит в том, что крайним частицам сообщён начальный импульс, отличный от нуля: , где - начальный импульс, передаваемый системе в начальный момент времени . При таких условиях консервативность системы не нарушается, иными словами, был осуществлён консервативный нагрев. Начальный импульс крайних частиц ансамблей последовательно увеличивали от до с шагом . Обращением времени определялось поведение системы.

Анализы работы программного комплекса по исследованию поведения ансамбля при консервативном нагреве представлены в таблице 1, в частности, для неона .

Таблица 1 - Анализ компьютерного эксперимента для ансамбля из частицы (инертного газа )

Начальная динамическая

температура

Начальный импульс

Приращение динамической

температуры

Характер движения

3,410-3

0 - 0,5

0 - 5,910-2

сохраняется порядок

в движении

3,410-3

0,5 - 1,7

5,910-2 - 68,610-2

нарушается порядок

в движении

3,410-3

1,7 и выше

68,610-2 и выше

неупорядоченный

с разделением на группы (разрушение кристалла)

Проведённый анализ исследования поведения движения ансамбля вблизи устойчивого положения равновесия и при консервативном нагреве показывает, что в нелинейных системах влияние консервативных возмущений приводит к возникновению и развитию неупорядоченных процессов.

Основные выводы и результаты работы

1. Построены математические модели движения ансамбля частиц, которые позволяют исследовать движение ансамбля Гиббса: гармонический осциллятор, математический маятник, двумерный ансамбль с потенциалом Тода, в условиях действия консервативных возмущений.

2. Проведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности на больших интервалах времени для алгоритмов интегрирования по каноническому методу и методу Эйлера.

3. На основе компьютерного эксперимента, осуществляемого в условиях обратимости времени, было показано:

– линейные системы устойчивы к действию консервативных возмущений;

– наличие консервативных возмущений в условиях нелинейности системы приводят к возникновению и развитию неупорядоченных процессов;

– в неинтегрируемых системах в отличие от интегрируемых, неупорядоченные процессы развиваются интенсивнее.

4. Изменение динамической температуры во времени может быть использовано для оценки характера движения системы в условиях парного взаимодействия с потенциалом Леннарда-Джонса.

5. Анализ компьютерного эксперимента показал, что неупорядоченные процессы при консервативном нагреве в одномерном ансамбле частиц могут развиваться, начиная со значения начального импульса .

6. Разработан и протестирован комплекс программ для исследования движения ансамбля Гиббса до частиц.

Список публикаций по теме диссертации

1. Морозов Е.А., Германюк Г.Ю. О нелинейных свойствах канонического метода интегрирования динамических уравнений. /Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании: Сборник тезисов Международной научной конференции. Екатеринбург: УГТУ - УПИ, 2007. - С.41.

2. Германюк Г.Ю., Германюк Д.Е. Об исследовании системы цепочки Тода каноническим методом. // Сб. докладов второй Всероссийской конференции. Екатеринбург-Ижевск, 2007. - Изд-во института экономики УрО РАН. - С. 97-100.

3. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Германюк Г.Ю. Влияние нелинейности на возникновение и развитие хаоса в одномерных системах. // Вестник ИжГТУ. 2009. - № 3 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009. - С. 162-166.

4. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Германюк Г.Ю., Германюк Д.Е. Использование канонического метода для моделирования молекулярных систем. // Вестник ИжГТУ. 2009. - № 4 - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009. - С. 173-176.

5. Германюк Г.Ю. Программный комплекс для исследования динамики ансамбля частиц. / Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образования и экологии: Сборник тезисов Всероссийской научно-технической конференции. Тула, 2010. - С.15-17.

6. Германюк Г.Ю., Германюк Д.Е. Программный комплекс для исследования динамики одномерных ансамблей Гиббса. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2010/1. Ижевск 2010. - С.29-36

7. Германюк Д.Е., Германюк Г.Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010611691 «Программный комплекс моделирования движения ансамбля», зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 3 марта 2010г.

8. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Германюк Г.Ю., Германюк Д.Е. Канонический метод интегрирования в исследовании ансамбля Гиббса. /Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики: Сборник научных трудов по материалам XIII Международной научно-практической конференции. - М.: МГУПИ, 2010 г. - С. 127-133.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Математическое моделирование и особенности задачи распределения. Обоснование и выбор метода решения. Ручное решение задачи (венгерский метод), а также с использованием компьютера. Формулировка полученного результата в сопоставлении с условием задачи.

    курсовая работа [383,9 K], добавлен 26.05.2010

  • Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.

    контрольная работа [50,8 K], добавлен 06.03.2011

  • Математическое моделирование динамики биологических видов (популяций) Т. Мальтусом. Параметры и основное уравнение модели "хищник-жертва", ее практическое применение. Качественное исследование элементарной и обобщенной модификаций модели В. Вольтерра.

    курсовая работа [158,1 K], добавлен 22.04.2011

  • Моделирование твердых тел, связанных твердых тел и деформируемых тел. Исследование метода Якобсена, тестовая реализация. Выбор и реализация метода обнаружения столкновений. Построение математической модели, ее исследование, тесты на производительность.

    дипломная работа [1,2 M], добавлен 30.01.2012

  • Расчет динамики опасных факторов пожара в помещении с использованием интегральной и зонной математических моделей. Определение продолжительности пожара и времени блокирования путей эвакуации. Расчет огнестойкости ограждающих строительных конструкций.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 21.03.2015

  • Назначение, состав и структура математического обеспечения в автоматизированных системах, формализация и моделирование управленческих решений, этапы разработки. Модели и алгоритмы обработки информации. Характеристика метода исследования операции.

    презентация [17,7 K], добавлен 07.05.2011

  • Проведение численного моделирования системы, описанной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Схемы моделирования методом последовательного (непосредственного) интегрирования, вспомогательной переменной и методом канонической формы.

    контрольная работа [550,9 K], добавлен 12.12.2013

  • Математическое программирование - область математики, в которой изучаются методы решения задач условной оптимизации. Основные понятия и определения в задачах оптимизации. Динамическое программирование – математический метод поиска оптимального управления.

    презентация [112,6 K], добавлен 23.06.2013

  • Декартова система координат. Построение композиции отображений. Проверка полноты системы функций. Построение логической схемы однотактного триггера на заданном элементе памяти с использованием канонического метода структурного синтеза конечных автоматов.

    контрольная работа [225,5 K], добавлен 18.02.2015

  • Пределы функции, ее полное исследование с использованием дифференциального исчисления. Вычисление неопределенных интегралов с использованием методов интегрирования. Определенный и несобственный интегралы. Числовые ряды, их исследование на сходимость.

    контрольная работа [713,2 K], добавлен 07.04.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.