Уравнения с-образными коэффициентами

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Уравнения с-образными коэффициентами

Романчук Татьяна Анатольевна

по специальности 01.01.01 - математический анализ

Минск, 2009

Работа выполнена в Белорусском государственном университете.

Научный руководитель - АНТОНЕВИЧ Анатолий Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор,

профессор кафедры функционального анализа

механико-математического факультета

Белорусского государственного университета.

Официальные оппоненты: БОРУХОВ Валентин Терентьевич,

доктор физико-математических наук,

главный научный сотрудник отдела

математической теории систем ГНУ «Институт

математики Национальной академии

наук Беларуси»;

КОВАЛЬЧУК Андрей Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент,

заведующий кафедрой математического анализа

УО «Белорусский государственный педагогический

университет им. М. Танка».

Оппонирующая организация - Учреждение образования «Белорусский

государственный технологический

университет».

Защита состоится 23 октября 2009 г. в 10.00 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.07 при Белорусском государственном университете по адресу: 220030, г. Минск, ул. Ленинградская, 8 (юридический факультет), ауд. 407, тел. ученого секретаря (017) 209-57-09.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан «___» сентября 2009г.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

доктор физико-математических наук, профессор Н.В. Лазакович

КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

уравнение коэффициент аппроксимирующий оператор

Уравнения с обобщенными коэффициентами описывают процессы, в которых происходят резкие изменения состояния системы или процессы, происходящие в сильно неоднородных средах. Примерами могут служить процессы с импульсными воздействиями или процессы рассеяния на системах частиц в случае точечного взаимодействия, рассматриваемые в квантовой механике. Однако с математической точки зрения дифференциальное выражение, содержащее в качестве коэффициента обобщенную функцию, является символическим, оно не задает оператор в классических пространствах и понятие решения такого уравнения не определено. Это связано с тем, что не может быть корректно задано произведение обобщенных функций. Поэтому предлагались разные подходы к исследованию таких уравнений. Наиболее естественным оказалось исследование уравнений с обобщенными коэффициентами в рамках теории мнемофункций (новых обобщенных функций).

Таким образом, указанные уравнения представляет интерес как с прикладной, так и с теоретической точки зрения.

Один из подходов к исследованию уравнений с обобщенными коэффициентами заключается в построении аппроксимаций символического выражения обычными операторами. При этом в случае, когда коэффициентом является дельта-функция, возможно построение аппроксимирующего семейства с помощью семейства операторов конечного ранга. Этот прием применялся в ряде предшествующих работ к уравнениям, в которых в качестве коэффициента присутствует дельта-функция. Одним из преимуществ этого подхода является то, что он приводит к более явным результатам, чем другие подходы.

В диссертации этот подход рассмотрен в общей постановке, т.е. предложен общий метод исследования уравнений с дельта-образными коэффициентами с помощью аппроксимации оператора умножения на дельта-функцию и операторов умножения на производные дельта-функции семействами операторов конечного ранга, зависящими от малого параметра. После построения аппроксимации задача заключается в нахождении предела резольвент построенных операторов. Оказалось, что в случае уравнений, наиболее интересных с прикладной точки, типичной является ситуация, когда резольвенты аппроксимирующих операторов сходятся к резольвенте невозмущенного оператора, т.е. дельта-образная добавка не влияет на предел резольвент. Наряду с этим возможны особые случаи (случаи резонанса), когда предел резольвент не совпадает с резольвентой невозмущенного оператора. Поэтому основной задачей оказалось получение условий на коэффициенты, при выполнении которых возникают резонансы и получение явного вида соответствующих предельных операторов. Именно этой задаче посвящена настоящая диссертация.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами и темами

Исследования проводились на кафедре функционального анализа Белорусского государственного университета в рамках государственной программы фундаментальных исследований «Исследование математических моделей и их применение к анализу систем, структур и процессов в природе и обществе» по теме № ГР20063401 «Дифференциально-операторные модели на тополого-алгебраических и неархимедовых структурах», 2006 - 2010.

Цель и задачи исследования

Целью настоящей диссертации является уточнение и развитие ранее полученных результатов по исследованию дифференциальных уравнений с -образными коэффициентами.

Основные задачи исследования состоят в следующем:

1) разработка общего метода исследования дифференциальных уравнений с -образными коэффициентами с помощью аппроксимирующих семейств операторов, являющихся конечномерными возмущениями исходного оператора;

2) выяснение того, какое самосопряженное расширение соответствует конкретному аппроксимирующему семейству и, в частности, описание всех случаев возникновения резонансов, когда аппроксимирующему семейству соответствует нетривиальное самосопряженное расширение;

3) применение общей теории к исследованию конкретных уравнений с -образными коэффициентами.

Положения, выносимые на защиту

1. Общий метод исследования уравнений с -образными коэффициентами с помощью конечномерных возмущений.

2. Построение асимптотического разложения семейств матриц, обратных к заданному семейству. Классификация всех возможных случаев резонанса для матриц-функций.

3. Описание резонансов для конкретных уравнений с -образными коэффициентами.

Личный вклад соискателя

Все новые результаты, приводимые и выносимые на защиту в диссертационной работе, получены автором. Часть результатов опубликована в соавторстве с научным руководителем профессором А.Б. Антоневичем.

Апробация результатов диссертации

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались на следующих конференциях:

1) вторая Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», 1 - 3 июня 2005 года, Самара;

2) X Республиканская научная конференция студентов и аспирантов высших учебных заведений «НИРС - 2005», 14 - 16 февраля 2006 года, Минск;

3) международная математическая конференция «Еругинские чтения - XI», 24 - 26 мая 2006 года, Гомель;

4) международная конференция «Тихонов и современная математика», посвященная столетию академика А.Н.Тихонова, 19 - 25 июня 2006 года, Москва;

5) международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», 13 - 19 сентября 2006 года, Минск;

6) международная математическая конференция «Актуальные проблемы математики и компьютерного моделирования», 19 - 21 июня 2007 года, Гродно;

7) третья международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 85-летию Л.Д. Кудрявцева, 25 - 28 марта 2008 года, Москва.

Опубликованность результатов диссертации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 12 научных работах; из них 4 статьи в научных журналах в соответствии с Положением о присуждении научных степеней и присвоении ученых званий Республики Беларусь (общим объемом 1,6 авторского листа), 3 статьи в сборниках трудов и материалов научных конференций и 5 тезисов докладов конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, общей характеристики, четырех глав, заключения и библиографического списка. Полный объем диссертации составляет 101 страницу, в том числе 3 таблицы, занимающие 2 страницы. Библиографический список содержит 59 наименований, из которых 12 - публикации соискателя.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Первая глава содержит обзор основных результатов по теории обобщенных функций, а также дифференциальным уравнениям: обыкновенным и в частных производных с обобщенными функциями в качестве коэффициентов.

В разделе 2.2 второй главы рассматриваются аппроксимации формальных выражений и в пространстве .

Наиболее простая аппроксимация выражения была предложена в работах Б.Саймона. Пусть и . Тогда семейство гладких функций

(1)

задает аппроксимацию - функции, как элемента пространства обобщенных функций, а семейство функционалов

(2)

аппроксимирует , как функционал. И, следовательно, семейство операторов ранга 1

задает аппроксимацию оператора умножения на -функцию, который имеет вид

.

Данный метод может быть использован и для аппроксимации операторов умножения и на производные - функции.

Если семейство (1) задает аппроксимацию - функции, то семейство гладких функций

(3)

аппроксимирует , а семейство функционалов

(4)

задает аппроксимацию , как функционала.

Так как оператор умножения на задается формулой

,

то учитывая равенства (1) - (4) семейство операторов ранга 2

задает его аппроксимацию.

Таким образом, исследование формальных выражений и сводится к изучению семейства возмущенных операторов

, (5)

. (6)

Так как семейства (5) и (6) аппроксимируют операторы умножения на и соответственно, то не существует их предела при в обычном смысле, поэтому естественно рассмотреть предел в смысле резольвентной сходимости.

Построению резольвенты произвольного семейства возмущенных операторов посвящен раздел 2.3.

Пусть есть заданный оператор (вообще говоря, неограниченный) в гильбертовом пространстве с областью определения . Далее рассмотрено возмущение исходного оператора семейством операторов конечного ранга , т.е семейство операторов

, (7)

, , и

линейно независимые вектора из , - числовые коэффициенты, зависящие от .

Основной результат сформулирован в виде

Теорема 2.1. Пусть и семейство операторов вида (7), где оператор и семейство являются самосопряженными, а матрица обратима. Тогда резольвента семейства операторов (7) при может быть записана в виде

, (8)

где - резольвента исходного оператора,

- матрица, обратная к матрице коэффициентов ,

вектора , ,

, ,

матрица с элементами .

Для оператора Лапласа Ф.А. Березиным и Л.Д. Фаддеевым было построено семейство самосопряженных расширений оператора, являющегося сужением оператора Лапласа на подпространство в , содержащее функции, каждая из которых равна нулю в некоторой окрестности точки 0. Для конкретных аппроксимаций возникает вопрос о том, сходится ли аппроксимирующее семейство и какой вид имеет предел, т.е. необходимо выяснить, какое самосопряженное расширение соответствует данному способу аппроксимации.

В разделе 2.4 данная задача рассмотрена для семейства (5).

Теорема 2.2. Семейство операторов (5), задающее аппроксимацию формального выражения , сходится в смысле резольвентной сходимости в пространстве тогда и только тогда, когда существует (конечный или бесконечный) предел .

В разделе 2.5 рассмотрены аппроксимации формального выражения

, (9)

построенные следующим образом. Пусть и . Тогда семейство гладких функций

задает аппроксимацию - функции, а семейство функционалов вида (2) аппроксимирует , как функционал. И, следовательно, семейство операторов ранга 1

задает аппроксимацию оператора умножения на -функцию.

Следовательно, семейство операторов

(10)

задает аппроксимацию выражения (9).

Следующая теорема (раздел 2.5) является усилением результата полученного в работах А.Б. Антоневича и Д.В. Ильина. Усиление состоит в том, что рассмотрен коэффициент произвольного вида.

Пусть .

Теорема 2.3. Семейство операторов (10) сходится в смысле резольвентной сходимости к нетривиальному самосопряженному расширению тогда и только тогда, когда коэффициент допускает разложение

,

где .

То есть когда

и существует конечный .

При этих условиях пределом в смысле резольвентной сходимости является оператор при .

Во всех остальных случаях семейство операторов (10) сходится в смысле резольвентной сходимости в пространстве к оператору Лапласа.

В частности, если коэффициент допускает разложение , где , , то семейство операторов (10) сходится к оператору Лапласа при и в случае, когда и при этом .

В рассматриваемых примерах функции таковы, что в формуле (8) для резольвенты возмущенного семейства операторов вектора и имеют конечный предел при , то поведение резольвенты (8) зависит от поведения матрицы , т.е. существование конечного предела резольвенты (8) эквивалентно существованию конечного предела семейства обратных матриц .

Так как при рассмотрении разных операторов и разных конечномерных возмущений возникают различные семейства матриц, то в третьей главе эта задача в решена в общем виде.

Пусть задано семейство матриц размерности , невырожденных при . Будем считать, что матрица - функция зависит от аналитически, т.е.

 (11)

где и .

Задача заключается в выяснении, при каких условиях на существует ненулевой предел семейства обратных матриц

. (12)

Условия, связывающие число и коэффициенты разложения (11), при выполнении которых существует ненулевой конечный предел (12) будем называть условиями резонанса. Очевидно, что первым необходимым условием резонанса является условие , т.к. в противном случае .

Дальнейшее исследование проведено для матрицы - функции

. (13)

В разделе 3.1 описана нормальная форма матриц над кольцом степенных рядов.

Высотой степенного ряда будем называть номер первого отличного от нуля коэффициента.

Обозначим через наибольший общий делитель всех миноров -го порядка матрицы , . Рассмотрим неубывающую последовательность , где , т.е. высоте соответствующего . Теорема 3.2. Для матрицы-функции вида (13) существуют матрицы-функции и , имеющие вид степенных рядов, такие, что

, (14)

где , и определители матриц и не зависят от и отличны от нуля.

Утверждение 3.5. Пусть матрица имеет нормальную форму (14) и -количество , принимающих максимальное значение , - матрица, количество единиц в которой равно . Тогда

,

где и .

Применяя это утверждение для описания случаев резонанса, сформулируем основной результат раздела 3.2.

Теорема 3.3. Пусть задано семейство матриц (11). Ненулевой конечный предел семейства обратных матриц существует тогда и только тогда, когда и при этом

,

где матрица ранга описана в утверждении 3.5.

Условие резонанса , которое содержится в данной теореме, имеет не явный вид. Проверить его возможно только после построения нормальной формы, поэтому в разделе 3.4 были получены условия резонанса, которые проверяются непосредственно по элементам матрицы.

При обратная к матрице (13) имеет вид

,

где - ассоциированная матрица.

Определитель данной матрицы допускает разложение вида

, (15)

ассоциированная матрица также имеет разложение

, (16)

где есть некоторые матрицы.

Утверждение 3.6. Пусть есть первый отличный от нуля коэффициент в (15) и - первый отличный от нуля коэффициент в (16). Тогда обратные матрицы-функции имеют при асимптотику

Данное утверждение позволяет сформулировать

Теорема 3.5. Для матрицы-функции , заданной (11), резонанс имеет место тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

i). , т.е. ;

ii). .

При этом

. (17)

Таким образом, для получения представления (17) найдем коэффициенты разложения (15) (подраздел 3.4.1) и коэффициенты из разложения (16) (подраздел 3.4.2).

Будем говорить, что резонанс имеет порядок , если в разложении (15) ровно слагаемых обращается в нуль.

Для формулировки основного результата введем некоторые понятия.

Пусть . Определим матрицу на следующим образом. Пусть , . В случае, когда в наборе все числа различны, а также в наборе числа различны, положим , где определяет четность перестановки наборов индексов и , и положим в противном случае.

Зададим также билинейную форму

,

где - след матрицы.

Лемма 3.2. Для определителя матрицы имеет место равенство

,

где символ обозначает тензорное произведение.

Теорема 3.2. Для матрицы-функции вида (13) коэффициенты в разложении (15) могут быть найдены по формулам

;

;

……………………

,

где ,.

Данная теорема позволяет получить коэффициенты разложения (16).

Теорема 3.7. Для матрицы-функции вида (13) коэффициенты в разложении (16) имеют вид

;

;

…

,

где , , , - матрица размерности , полученная из единичной матрицы вычеркиванием строки с номером .

Результаты исследования сформулированы в виде двух утверждений.

Лемма 3.6. При заданном и фиксированном ранге матрицы для семейства матриц-функций вида (11) возможно конечное число случаев резонанса, а именно, когда для порядка резонанса выполнены неравенства

.

Теорема 3.8. Пусть дано семейство матриц - функций вида (11), где ранг матрицы фиксирован и задано значение параметра , тогда возможно конечное число случаев резонанса, в каждом из которых для обратной матрицы справедливо , где и определяются по формулам теорем 3.2 и 3.7 соответственно.

Основываясь на результатах глав два и три, в четвертой главе рассмотрены конкретные примеры.

В разделе 4.1 для аппроксимации выражения (9) семейством операторов ранга , т.е. для семейства вида

(18)

получены условия на коэффициенты , при выполнении которых возможен резонанс, т.е. возникает оператор являющийся нетривиальным расширением оператора Лапласа, и описаны все возможные случаи резонанса.

Рассмотрим величины , обратные к коэффициентам , и будем предполагать, что они допускают следующее разложение

.

Для нахождения резольвенты (8) для семейства операторов (18) необходимо исследовать поведение при матрицы .

Т.к. функции фиксированные, то поведение матрицы определяется видом коэффициентов , в первую очередь -- номерами первых отличных от нуля членов в их разложении.

Вид матрицы характеризуется парой чисел , где - номер первого отличного от нуля слагаемого в разложении соответствующего .

Основной результат данного раздела сформулирован в

Теорема 4.1. Пусть и семейство операторов вида (18). Множество пар , для которых возможны резонансы, состоит из всех тех пар, в которых хотя бы одно из чисел равно .

Из данной теоремы следует, что резонанс возможен и в том случае, когда один из коэффициентов неограниченно возрастает, а не только является бесконечно малым, что отмечалось и ранее в классической теории.

Аналогичные вопросы могут быть рассмотрены и для -функций, сосредоточенных в двух разных точках (раздел 4.2). Такая ситуация описывается выражением

, , (19)

аппроксимация которого строится аналогично (см. выше) и имеет вид

. (20)

Резольвента семейства (20) имеет вид (8) и для ее предела возможны следующие варианты (теорема 4.2) Здесь и далее символ «*» обозначает операцию свертки.:

1. , где , т.е. данный предел не зависит от слагаемого с ;

2. , где , т.е. предел не зависит от слагаемого с ;

3.

где

, ,

т.е. данный случай можно интерпретировать как двойной резонанс.

В разделе 4.3 рассмотрено выражение

, (21)

включающее не только - функцию, но и ее производную.

После аппроксимации выражения (21) семействами (2) и (4) получим оператор

, (22)

Где ,

резольвента которого имеет вид

. (23)

Теорема 4.4. Если и коэффициент допускает разложение при , то пределом в смысле резольвентной сходимости семейства (22) является оператор Лапласа.

Если и коэффициент допускает разложение при , то не существует предела семейства операторов (22) в смысле резольвентной сходимости.

Основной результат данного раздела записан в

Теорема 4.5. Пусть задано семейство операторов вида (22) и коэффициент имеет вид .

Если , то резольвенты (23) сходятся к резольвенте оператора Лапласа.

, то

1) при , где , предела резольвент (23) не существует;

2) при , резольвенты (23) сходятся к резольвенте оператора

;

3) при , где , резольвенты (23) сходятся к резольвенте оператора при .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертационная работа посвящена изучению уравнений с -образными коэффициентами, различных их аппроксимаций и исследованию поведения резольвенты аппроксимирующего семейства операторов, а также изучению семейства матриц, аналитически зависящих от параметра, возникающего при исследовании указанных уравнений.

В ходе выполнения работы получены следующие основные результаты.

1. Предложен общий подход для исследования уравнений с -образными коэффициентами методом конечномерных возмущений. Получены условия резольвентной сходимости семейств операторов, аппроксимирующих выражения с -образными коэффициентами [4,6,7,10,12].

2. Для заданного семейства матриц, зависящего от малого параметра, построено асимптотическое разложение семейства обратных матриц, а также дана классификация всех возможных случаев резонанса для семейств матриц-функций [2,6,7,9,11].

3. Для конкретных уравнений с -образными коэффициентами в зависимости от используемой аппроксимации получены явные условия резонанса, а также описаны возникающие в случае резонанса операторы [1,3,5,8].

Рекомендации по практическому использованию результатов

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут применяться при изучении произвольных уравнений с обобщенными коэффициентами, а также для исследования семейств матриц-функций, зависящих от малого параметра.

Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах

1. Романчук, Т.А. Об операторе Шредингера с -образным потенциалом / Т.А. Романчук // Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. - 2008. - №1. - С. 88 - 94.

2. Романчук, Т.А. Явление резонанса для матрично-значных функций / Т.А. Романчук // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. - 2008. -№2. - С. 8 - 16.

3. Романчук, Т.А. Классификация случаев резонанса в задаче об операторе Шредингера с -образным потенциалом / Т.А. Романчук // Докл. НАН Беларуси. - 2008. - Т. 52, №2. - С. 28 - 34.

4. Antonevich, A.B. Equations with -shaped coefficients: the finite-dimensional perturbations approach / A.B. Antonevich, T.A. Romanchuk // Integral transforms and Special Functions. - 2009. - Vol.20, Nos. 3-4, March - April. - P. 239 - 246.

Статьи в сборниках трудов и материалах научных конференций

5. Антоневич, А.Б. Самосопряженные расширения, связанные с задачей о точечном взаимодействии между двумя частицами / А.Б. Антоневич, Т.А. Романчук // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды второй всероссийской науч. конф. / Самарский гос. техн. ун - т; редкол: В.П. Радченко [и др.]. - Самара, 2005. - С.24 - 27.

6. Антоневич, А.Б. Об операторах с дельта-образными коэффициентами: Метод конечномерных возмущений / А.Б. Антоневич, Т.А. Романчук // Актуальные проблемы математики и компьютерного моделирования: сб. науч. трудов / ГрГУ им. Я. Купалы; редкол: Ю.М. Вувуникян [и др.]. - Гродно, 2007. - С.78 - 86.

7. Антоневич, А.Б. Аппроксимации операторов с дельта-образными коэффициентами / А.Б. Антоневич, Т.А. Романчук // Актуальные проблемы математики: сб. науч. трудов / ГрГУ им. Я. Купалы; редкол.: Е.А. Ровба [и др.]. - Гродно, 2008. - С.11 - 28.

Тезисы докладов

8. Романчук, Т.А. О сингулярных возмущениях оператора Лапласа, возникающих в задаче о точечном взаимодействии с двумя частицами / Т.А. Романчук // «НИРС - 2005»: сборник тезисов докладов X Республиканской научной конференции студентов и аспирантов высших учебных заведений Республики Беларусь, Минск, 14 - 16 февр. 2006 г.: в 3 ч. / редкол. Рахманов С. К [и др.]. - Минск, 2006. - Ч.2. - С.191.

9. Антоневич, А.Б. К теории уравнений с обобщенными коэффициентами: эффект резонанса / А.Б. Антоневич, Т.А. Романчук // Еругинские чтения - XI: тез. докл. межд. матем. конф., Гомель, 24 - 26 мая 2006г. / Институт математики НАН Беларуси. - Минск, 2006. - С.98.

10. Антоневич, А.Б. Сингулярные возмущения семейством операторов конечного ранга / А.Б. Антоневич, Т.А. Романчук // Тихонов и современная математика: тез. докл. секции №1, Москва, 19 - 25 июня 2006г. / Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова. - Москва, 2006. - С.18.

11. Романчук, Т.А. Резонанс в задаче об операторах с обобщенными коэффициентами: случай ранга / Т.А. Романчук // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. межд. конф., Минск, 13 - 19 сент. 2006г. / Институт математики НАН Беларуси; редкол.: А.А. Килбас [и др.]. - Минск, 2006. - С.114.

12. Антоневич, А.Б. Задача о точечном взаимодействии: зависимость от размерности пространства и порядка оператора / А.Б. Антоневич, Т.А. Романчук // Тезисы докладов 3-й межд. конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посв. 85-летию Л.Д. Кудрявцева, Москва, 25-28 марта 2008г. / МФТИ. - Москва, 2008. - С. 108-110.

РЕЗЮМЕ

Романчук Татьяна Анатольевна

Уравнения с -образными коэффициентами

Ключевые слова: обобщенная функция, -функция, самосопряженное расширение, резольвентная сходимость, нормальная форма матрицы- функции, резонанс.

В диссертационной работе изучаются дифференциальные уравнения с -образными коэффициентами методом построения аппроксимирующего семейства операторов конечного ранга.

Для формальных выражений, содержащих -функцию, а также ее производную, построены аппроксимирующие семейства, имеющие вид конечномерных возмущений исходного оператора. Для данного семейства получена формула резольвенты и показано, что ее исследование сводится к исследованию некоторого семейства матриц вида . Для произвольных семейств матриц описаны все случаи резонанса, т.е. случаи, когда существует конечный ненулевой предел семейства обратных матриц.

В качестве приложения общей теории были рассмотрены конкретные уравнения. Для уравнений, содержащих -функцию, получено описание всех случаев резонанса, а также построены аппроксимации и найдены условия резонанса для уравнений, содержащих -функции, сосредоточенные в двух разных точках, а также для уравнений, содержащих производную -функции.

Результаты, полученные в диссертации, могут применяться при исследовании уравнений с -образными коэффициентами методом конечномерных возмущений, а также при изучении поведения семейств матриц и обратных к ним.

РЭЗЮМЭ

Раманчук Таццяна Анатольеэна

Раэнаннi з -падобнымi каэфiцыентамi

Ключавыя словы: абагульненая функцыя, -функцыя, самаспалучанае пашырэнне, рэзальвентная збежнасць, нармальная форма матрыцы-функцыi, рэзананс.

У дысертацыйнай працы даследуюцца дыферэнцыяльныя раэннанi з -падобнымi каэфiцыентамi метадам пабудавання апраксiмiруючага сямейства аператараэ канечнага ранга.

Для фармальных выразаэ, утрымлiваючых -функцыю, а таксама яе вытворную, пабудаваны апраксiмiруючыя сямейства, якiя маюць выгляд канечнамерных адхiленняэ зыходнага аператара. Для дадзенага сямейства атрымана формула рэзальвенты i паказана, што яе даследванне зводзiцца да даследвання некаторога сямейства матрыц вiду . Для адвольных сямействаэ матрыц апiсаны эсе выпадкi рэзананса, г. зн. выпадкi, калi iснуе канечны, адрозны ад нуля лiмiт сямейства адваротных матрыц.

У якасцi выкарыстання агульнай тэорыi былi разгледзены канкрэтныя раэнаннi. Для раэнанняэ, утрымлiваючых -функцыю, атрымана апiсанне эсiх выпадкаэ рэзананса, а таксама пабудаваны апраксiмацыi i знойдзены эмовы рэзананса для раэнанняэ, утрымлiваючых -функцыi, засяроджаныя э двух розных пунктах, а таксама для раэнанняэ, утрымлiваючых вытворную -функцыi.

Вынiкi, атрыманыя э дысертацыi, можна выкарыстоэваць пры даследваннi раэнанняэ з -падобнымi каэфiцыентамi метадам канечнамерных адхiленняэ, а таксама пры вывучэннi паводзiн сямейства матрыц i адваротных да яго.

SUMMARY

Ramanchuk Tatiana A.

Equations with - shaped coefficients

Keywords: generalized function, - function, self - adjoint extension, resolvent convergence, normal form of matrix function, resonance.

In the thesis we study differential equtions with - shaped coefficients by constructing some approximation by families of finite-rank operators.

For formal expressions containing - function or its derivatives approximation families are constructed. They look like finite - dimensional perturbations of initial non - perturbed operator. The formula for resolvent of this family is obtained and it is shown that its investigation is equivalent to the investigation of some matrix function which admit expansion . For arbitrary matrix function all cases of resonance, i.e. cases when the limit of inverse matrices at tends to 0 differs from 0, are described.

General theory allows to investigate special equations. As examples we consider equations containing - functions concentrated in two different points and equations with derivative of - function. For equation with - function all cases of resonance are described.

The results obtained in the thesis can be applied to the study of equations with - shaped coefficients and also to the study of the behavior of matrix functions and inverse matrices.

Размещено на Allbest.ru