Одношаговая задача оптимального инвестирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

• Введение
• Глава 1. Одношаговая задача оптимального инвестирования
• 1.1 Постановка задачи
• 1.2 Описание и решение одношаговой задачи
• 1.3 Пример расчета оптимального инвестиционного портфеля
• Глава 2. Многошаговая задача оптимального инвестирования
• 2.1 Постановка задачи
• 2.2 Описание и решение многошаговой задачи
• Заключение
• Список использованных источников
• Приложение
• 

Введение

Проблема инвестирования была и будет , поскольку задачи ения инвестиций во с целью накопленный эффект - , встречающиеся в подавляющем сфер бизнеса, и математики. сохранения и преумножения и ресурсов возникает повсеместно - будь то хозяйство или . Вполне очевидно, что методов эффективного дает весомое предприятию в корректного применения и приводит к экономическому . В виду того, что мы в информационный век, у предприятия необходимость задачу оптимального снова и снова возникать , в зависимости от текущей на рынке и прочих . А, скажем, при наличии направлений бизнеса, возникает необходимость оптимального средств и ресурсов проектами для наибольшей выгоды. очень удобно под рукой математическую для решения выше и многих задач.

Однако сделать вывод, что с методов инвестирования в различных деятельности, их эффективность снижаться в связи с оценки факторов. В любой оптимального управления портфелями существуют начальные и ограничения, за рамками модель не будет . Существует великое различных к решению задачи инвестирования, одни уделяют большее анализу доходностей, преимущественно глаза на случайные и их влиянию на оценки, - наоборот, , как динамика случайных будет влиять на ситуации на рынке. на данный не существует модели управления инвестиционным , которая бы при минимальном ограничений и давала бы точный , учитывая случайные , и именно по этой тема такой интересной и . В данной работе исследования является одношаговой оптимального инвестирования с « продажами» при ряде ограничений на процентный и с использованием о математических ожиданиях акций и матрицы этих доходностей, а обоснование выбора. Помимо , в работе также многошаговая задача управления портфелем с дискретным при тех же начальных предположениях и . Для достижения описанной , в данной были выполнены задачи:

1. Общая и ф постановки одношаговой оптимального в случае, когда «короткие продажи». значений процентного , при которых можно воспользоваться поиска оптимального портфеля с использованием Лагранжа. зависимости этих от прогнозируемых случайных , а именно - от математических доходностей бумаг. Поиск решения одношаговой как задачи выпуклого .

2. Решение задачи оптимизации на примере портфеля, из двух акций при , что заданы ожидания доходностей и их ковариаций, которая к же положительно определена.

3. постановка и многошаговой задачи инвестиционного портфеля с временем как задачи программирования с функций Беллмана. многошаговой задачи как оптимального управления цепью.

При данной бакалаврской были использованы для решения поставленных из различных математики, таких как оптимизации, теория управления, теория и линейная . одношаговый оптимальный инвестирование продажа



Глава 1. Одношаговая оптимального инвестирования

1.1 задачи

Предметом в данной является инвестиционный акций на рынке.

его заключается в следующем: на можно ценные бумаги видов на определенную - капитал инвестора. долей этого , которые инвестор потратить на каждый вид этих ценных , и называется портфелем. Помимо , условия постановки в данной работе инвестору не только собственным , но еще и дают возможность некоторый капитал «», при условии определенной суммы по истечении определенного времени. Перейдем к формальной задачи.

Итак, на имеется видов бумаг (акций). (инвестор) на ценных бумаг приобрести бумаги на сумму. Его начальный обозначим и будем рассматривать только при положительных . Обозначим через начального игрока, которая на приобретение бумаг i-го :

Вектор - портфель бумаг. , что доход, который приносят за определенный времени - случайная , доходность -ой за этот промежуток обозначим через .

В работе допустимы так «короткие » - наличие у инвестора взять деньги у для закупки большего ценных , при условии, что деньги возвращены. А именно, , это означает, что инвестор сумму у , которую может на акции другого (кроме r), но после доходов () от вложений, обязан кредитору сумму , говоря - сумму, кредитор бы, вложи он одолженные в акции -го типа.

доходность всего за один времени - случайная :

Предполагаем, что известны ожидания доходностей и ковариаций ковариаций всегда симметрическая и неотрицательно матрица, но далее для будем , что - положительно определенная. вычислим математическое и дисперсию доходности a:

Считаем, что

(, например, (

Таким , задача игрока в том, чтобы максимизировать доход, при выполнив некоторые я:

Здесь мы рассматриваем так одношаговую задачу инвестирования, рассматриваются только два времени - начальный и , а также сумма, которой инвестор в эти времени. О том, как результаты, для одношаговой задачи, в решении многошаговой , будет ниже.

Стоит несколько слов об , указанных в системе (1.1). с условия очевидно, что для любого инвестиционного портфеля , по условию подразумевается, что желает на ценные бумаги имеющийся у него . Теперь разберемся, же смысл неравенство . Поскольку акций - величина , необходимо условие для «успешности» . Рассматриваемое событие , что сумма, возвращенная после вложения , превосходит величину . На практике, , как правило, , поскольку хочет получить от вложений. Ну а она же - уровень доверия, , с какой вероятностью это рассматриваемое событие. В очередь, уровня доверия на должно быть к 1, чтобы риск не был высоким. образом, уровень характеризует надежность портфеля.

1.2 Описание и одношаговой

Итак, перейдем к . После постановки задачи мы имеем :



Рассмотрим неравенство из этой :

где .

Тогда систему заменить эквивалентной:

где - стандартного распределения порядка (см. 2). Но , поэтому система системе :

Покажем, что вогнутого (см. Приложение 1). Для этого показать, что и вогнутые на , а функция, соответствующая - линейная на . очевидно, что функции и (то есть является и ). Поэтому остается доказать, что является вогнутой. это - сумма линейной и функции , достаточно , что последняя - на , а для этого покажем, что - функция.

Утверждение 1.1.

является выпуклой на по .

Доказательство:

положительно определенная матрица, то ее можно в виде где тоже определенная и . Тогда

Заметим, что это или евклидова норма (). Так как наша функция нормой, то

неравенство треугольника. Не забывать, что -симметрическая , значит



То есть уже очевидно выполнение неравенства :

Это означает, что функция является выпуклой. 1 доказано.

, функции и вогнутые . Значит, задача программирования. Ее можно и в другом :

где - допустимое множество в задаче:

Введем ковариаций и сформулируем утверждения:

1.2.

Если то допустимое в поставленной задаче не .

Утверждение 1.3.

Если то в задаче условие Слейтера (см. 1).

Доказательство (утверждений 1.2 и 1.3):



О ограничение из как (1.4):

Заметим, что часть в неравенстве преобразуется к для портфелей вида где на -ом стоит единица ( вид портфеля, инвестор тратит начальный капитал на акций одного ), а диагональный матрицы . Таким , если то существует , что (очевидно, что портфель удовлетворяет (1.4) и значит, принадлежит и множеству). Значит, в содержится хотя бы элемент, а Утверждение 1.2 доказано. , положим Мы уже знаем, что такое , что Тогда, , можно достаточно малое , что и для портфеля

, где , неравенство

строгим. Но тогда условие , значит, утверждение 1.3 .

Утверждение 1.4.

Если то - поставленной задачи и только , когда существует набор множителей что выполняются следующие :



1. Условие ма

2. Условие дополняющей

3. Условие неотрицательности

Где

- Лагранжа для поставленной .

Доказательство:

следует напрямую из Куна-Таккера о необходимых (см. Приложение 1) и из утверждения 1.3, так как при ограничении на гарантировано выполнение Слейтера. Достаточность, в очередь, следует из Куна-Таккера о условиях (см. Приложение 1), так как, же, условие выполнено в ограничения

Утверждение 1.4 составить уравнений, решив , мы можем получить инвестиционный портфель при условиях на уровень Итак, методом множителей для решения экстремальной Для этого к нулю частные функции Лагранжа по :

уравнений - условия функции . Еще одно уравнение - дополняющей нежесткости, выполнено в силу 1.4. И последнее - условие принадлежности множеству

Итак, система из уравнений с : , и . Если система уравнений решение относительно выше параметров, оно и решением задачи, если .

образом, остается проверить, выполнено ли для

1.3 Пример оптимального инвестиционного

Рассмотрим алгоритм оптимального инвестиционного на простом . Пусть на рынке всего 2 вида . По условию постановки мы располагаем данными:

1. Известны ожидания доходностей и второй акций

2. симметрическая, определенная матрица доходностей

При этих условиях, можно задачу ожидаемой доходности ). Сразу приведем ее к системы (1.3):

Как было в главе 1 , задача вогнутого . Будем действовать . Для начала, необходимо условие на Для построим

Без ограничения , положим, . Тогда для применить условия для задач с и неравенствами. Выполнено регулярности Слейтера, Теперь остается условия для функции Лагранжа

систему

Или

Как и описывалось в одношаговой задачи, этой даст нам оптимальный портфель, если выполнены поставленные условия.



2. Многошаговая задача инвестирования

2.1 Постановка

Многошаговая задача инвестирования некоторые особенности, по с одношаговой. На рынке имеются ценных , которые может приобрести, имеет некоторый . Для многошаговой задачи так называемый актив, математическое данного актива через . Через промежуток , акции меняются в , в связи с чем, инвестор получить доход или убытки, эти акции. При этом задачи ставятся образом, что после изменения цен на , инвестор продает все у него ценные по обновленным ценам. Таким , в поставленной , капитал инвестора смысл рассматривать как величину где По с одношаговой задачей независимые распределенные случайные для а - доходность -ой бумаги за времени от до . Как и в одношаговой , предполагаем, что математические ожидания на каждом шаге и а ковариаций Опять же для будем , что - положительно определенная.

Так же по с одношаговой задачей иметь набор



Доходность a(t) на каждом шаге следующим образом:

в «минус», инвестор «игру». X(t) = x ? 0, то инвестор фиксирует у свой долг x, и выбирает количество , которое он взять в долг(по стоимости акции) и денег , на которое он другие . В результате можно как «х(долг, меньше ) - суммарный возврат на в долг + суммарный возврат на акции». Тогда формулу (1)

Здесь , что на деньги покупка акций -го , а означает взятие в денег на акции -го .

Как и ранее, на шаге, помимо потенциального дохода, требовать необходимость условия «» вложения. То есть для момента времени выполнение следующего :

смысл был описан ранее в .

же задача заключается в ожидаемого дохода на времени



, многошаговая задача инвестиционного портфеля в , когда разрешены продажи:

2.2 и решение многошаговой

Итак, перейдем к . После постановки ошаговой мы имеем систему

Многошаговая задача задача оптимального Марковской . Действительно, в каждый времени t, выбор инвестиционного портфеля ( управления) не от прошлых состояний, а только от текущего и цели.

Первое н из системы по аналогии с одношаговой , может быть в виде:

Второе из системы может быть в виде:



Или:

Соответственно, м допустимых решений на шаге только от знака капитала инвестора и :

Поставленную задачу решать, как динамического программирования. Для построим функции , которые будут обратному вычислений, при движении от времени T до нулевого. на момент времени T

Обозначим и функции Беллмана при , где

Обозначим



Пусть - задачи

Обозначим

- решение

Целевая функция в (2.4):

где так как ожидание усеченного го распределения на есть



функция в (2.6):

получаем:

При этом удобно . В матричном виде это иметь следующий вид:

образом стратегия зависит только от номера и знака капитала на шаге.

вопрос о непустоте и (аналогично и ), отметим, что , то выполняется условие

Утверждение 2.1:

(*), то

В противном случае, , то

Доказательство:

Рассмотрим вида , где (компонента актива ). Для портфеля неравенство из записывается следующим : . Найдем максимум части на . Кусочная производная на равна:

При выполнении (*) существует такой , что левая в неравенстве неограниченно , следовательно при любом

же условие (*) не выполняется, то является максимума в левой неравенства, следовательно и . доказано.

Рассмотрим о необходимых и условиях оптимальности:

2.2: (Необх. и дост. оптимальности на шаге T-1)

, а - решение (2.1). Тогда найдется набор множителей что выполняются следующие :

1. Необходимое оптимальности



2. Условие нежесткости

3. Условие

Где

- функция Лагранжа для задачи.

:

Поскольку то выполнено регулярности Слейтера (см. 1.3), поэтому Поскольку - , то согласно 2.2 функции - дифференцируема в Более того, по с тем, как было доказано в 1 (§ 1.2), функции и . Это означает, что мы находимся в теоремы о необходимых Куна-Таккера (С. 151-162 [3]). , действительно, все условия выполнены. 2.2 доказано.

Утверждение 2.3: (. и дост. условия на шаге T-1)

, а - решение задачи (2.1). найдется такой множителей Лагранжа что следующие :

1. Необходимое условие



2. Условие дополняющей

3. Условие неотрицательности

Где

- Лагранжа для задачи.

Доказательство:

является аналогичным утверждения 2.2

Утверждение 2.4 (. условия от шага T-2 и далее):

в задаче (2.1) выполняется Слейтера, то является задачи и только тогда, существует такой множителей Лагранжа , й вместе с условиям Куна-Таккера:

1. стационарности

2. Условие нежесткости



3. Условие

Где - функция для поставленной задачи.

2.5 (Необх. условия от шага T-2 и далее):

в задаче (2.1) условие Слейтера, то решением задачи и только тогда, существует набор множителей , который вместе с условиям Куна-Таккера:

1. стационарности

2. дополняющей нежесткости

3. неотрицательности

Где

- функция для поставленной задачи.



В данной были поставлены и одношаговая и многошаговая оптимального управления портфелем при предположений о значениях переменных, на которые не может оказать своими . Одношаговая задача рассмотрена как задача программирования, для которой можно решение при выполнении условий на установленные в ограничения. В работе пример одношаговой задачи с тех же начальных данных и тех же предположений, что присутствуют и в решении . Помимо одношаговой , была исследована многошаговая задача с временем, как одношаговой. Многошаговая была рассмотрена как оптимального управления цепью. Полученные могут оказаться для решения многих задач. Для области применения в работе методов попытаться уменьшить вводимых .



Список использ источников

1. Айвазян С.А., И.С., Мешалкин Л.Д. статистика. Основы и первичная обработка .
М.: Финансы и статистика,

2. Манита Л.А. оптимальности в конечномерных задачах оптимизации. М,

3. Базара М., Шетти К. программирование. Т и алгоритмы. Пер. с англ. - М.: Мир,

4. Boyd S., Vandenberghe L. Optimization. Cambridge: C University P, 2004.

5. Greene W.H. Analysis. Prentice , 2012.

6. Беллман Р., Р. Динамическое и современная теория . Пер. с англ. - М.: Наука, .

7. Болтянский В.Г. Оптимальное дискретными . М.: Наука, 1973.

8. Э. М. Оптимизация: Теория, , задачи. М.: Либроком,

URL: http://studopedia.ru/3_22140_usechennoe-normalnoe-raspredelenie.html (дата 10.05.2018).



Приложение 1

Теоретические .

Задача

называется выпуклого программирования, выпуклое , при выпуклые на функции, а при на функции.

Условие .

Пусть в задаче программирования ы дополнительные условия:

1. равенства отсутствуют

2. .

если - решение выпуклого , то существует такой множителей Лагранжа, где , удовлетворяет необходимым оптимальности в Куна-Таккера.

Теорема .

I. (Необходимые условия )

Пусть решение выпуклого . Тогда существует множителей Лагранжа где бы один из множителей не нулю, что следующие условия:

1. у минимума



2. условие нежесткости

3. условие

II. (Достаточные оптимальности)

Пусть в удовлетворяющей всем исходной задачи, условия 1, 2 и 3, и при Тогда решение задачи.

Источник [2].



2

Таблица значений стандартного распределения.

Таблица 1

	0,000000	-0,70		-0,90	-1,281552		-2,120072
	-0,025069	-0,71		-0,91	-1,340755		-2,144411
-0,52		-0,72		-0,92	-1,405072		-2,170090
-0,53		-0,73	-0,612813		-1,475791		-2,197286
-0,54		-0,74	-0,643345		-1,554774	-0,987
-0,55		-0,75	-0,674490		-1,644854	-0,988
-0,56	-0,150969		-0,706303		-1,750686	-0,989
-0,57	-0,176374		-0,738847	-0,97		-0,990
-0,58	-0,201893		-0,772193	-0,971		-0,991	-2,365618
	-0,227545		-0,806421	-0,972		-0,992	-2,408916
	-0,253347	-0,80		-0,973		-0,993	-2,457263
	-0,279319	-0,81		-0,974	-1,943134		-2,512144
	-0,305481	-0,82		-0,975	-1,959964		-2,575829
-0,63	-0,	-0,83		-0,976	-1,977368		-2,652070
-0,64	-0,	-0,84	-0,994458		-1,995393		-2,747781
-0,65	-0,	-0,85	-1,036433		-2,014091	-0,998
-0,66	-0,	-0,86	-1,080319		-2,033520	-0,999
-0,67	-0,439913		-1,126391		-2,053749
-0,68	-0,	-0,88	-1,174987		-2,074855
-0,69	-0,	-0,89		-0,982	-2,096927

[1].

Размещено на Allbest.ru