О методе огибания в теории зацепления

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

http://tmm.spbstu.ru

О методе огибания в теории зацепления

УДК 621.833.001

В.В. Елисеев, А.Н. Евграфов, Ю.А. Семенов

23.12.2003

1. Сведения из математики и механики

1.1 Кривые на плоскости и в пространстве

На плоскости с декартовыми осями кривую можно задать в явном

(1.1)

или в неявном виде

, (1.2)

но чаще бывает удобным параметрическое задание кривой

(1.3)

Если обозначить через радиус-вектор точки , то уравнения (1.3) можно записать в векторной форме

(1.4)

где - орты декартовых осей.

Если координата является временем, то уравнение

(1.5)

дает закон движения точки по траектории. Уравнение прямой линии в такой форме имеет вид

, (1.6)

а уравнение эллипса

(1.7)

где - константы.

Вектор производной

(1.8)

направлен по касательной к кривой.

В трехмерном пространстве кривая также задается уравнением (1.5), но в этом случае

(1.9)

Если параметр является дуговой координатой , то для производных справедливы формулы Френе:

, (1.10)

где - вектор Дарбу; - орты касательной, главной нормали и бинормали (рис.1); - кривизна и кручение кривой.

Формулы (1.9) и (1.10) лежат в основе дифференциальной геометрии кривых.

1.2 Огибающая семейства кривых

Рассмотрим семейство кривых на плоскости , заданное уравнением

, (1.11)

где - координата на линии; - параметр, определяющий линию семейства.

Рис. 1

Огибающей семейства (1.11) называется линия, которая в каждой своей точке касается одной из линий семейства (рис.2). В точке касания или , так что радиус-вектор точки на огибающей

. (1.12)

Зависимость находится из условия совпадения касательных к линии семейства и огибающей:

. (1.13)

Поскольку

, (1.14)

то условие (1.13) запишется в виде

. (1.15)

Условие (1.15) определяет точку касания при каждом значении , т.е. .

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

http://tmm.spbstu.ru

Представление об огибающей исключительно важно для синтеза зубчатых зацеплений. При плоском зацеплении достаточно рассмотреть соответствующее семейство линий в плоскости.

Пример. Пусть семейство кривых в плоскости задано уравнением

, определяющим окружности радиуса с центром в точке (рис.3). Координатой является угол между радиусом и осью . Без вычислений видно, что прямые - огибающие семейства окружностей. Убедимся, что уравнение (1.15) дает такое же решение. Поскольку

то условие (1.15) запишется в виде

отсюда

.

1.3 Эволюта и эвольвента

Эволютой называется геометрическое место центров кривизны кривой. По отношению к своей эволюте исходная кривая называется эвольвентой. Если эвольвента - окружность, то эволюта вырождается в точку - центр окружности.

Пусть - радиус вектор точки на эвольвенте как функция дуговой координаты s. На рис. 4 кривая 1 - эволюта; кривая 2 - эвольвента. Для этих плоских кривых справедливы формулы Френе:

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

http://tmm.spbstu.ru

, . (1.16)

Поскольку центр кривизны эвольвенты лежит на положительном направлении главной нормали на расстоянии радиуса-кривизны то радиус- вектор точки на эволют

. (1.17)

Это параметрическое представление эволюты, в котором координата s уже не является дуговой.

Рассмотрим замечательные свойства эволюты и эвольвенты. Дифференцируя обе части уравнения (1.17) по , получим

, (1.18)

т.е. касательная к эволюте является нормалью к эвольвенте.

Эволюта есть огибающая семейства нормалей к эвольвенте. Для доказательства рассмотрим семейство нормалей к эвольвенте. На этом семействе радиус-вектор точки

. (1.19)

Найдем огибающую этого семейства

откуда следует . Следовательно, точки на огибающей представляют собой центры кривизны эвольвенты, а огибающая - эволюта.

Заметим еще, что дифференциал дуги эволюты . Следовательно, эвольвента является разверткой эволюты.

В зубчатых зацеплениях чаще всего встречается эвольвента окружности - плоская кривая 2, описываемая любой точкой прямой линии 3, которая перекатывается по окружности 1 без скольжения (рис.5). Окружность, используемая для образования эвольвенты, называется основной или базисной; ее радиус обозначается через . Прямую 3, с помощью которой образуется эвольвента, называют производящей. Она представляет собой подвижную центроиду, в то время как неподвижной центроидой является основная окружность.

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

http://tmm.spbstu.ru

Положение текущей точки эвольвенты можно задать полярным радиусом и полярным углом , определяющим положение точки относительно полярной оси , проходящей через основание эвольвенты. Эти параметры определяются с помощью одного независимого переменного; в качестве такого переменного выбирают угол профиля - острый угол между векторами и .

Поскольку прямая 3 катится по базису 1 без скольжения, то

, (1.20)

(1.21)

Уравнения (1.20) и (1.21) являются уравнениями эвольвенты основной окружности, записанными в параметрической форме относительно полярных координат и , выраженных через независимый параметр . В теории зацепления тригонометрическую функцию, стоящую в правой части уравнения (1.20), называют эвольвентным углом или инволютой и обозначают

. (1.22)

Более удобными для расчетов являются уравнения эвольвенты в декартовой системе координат. В этом случае за независимый параметр принимают угол поворота прямой 3 около центра базиса , называемый углом развернутости эвольвенты. Направив ось x из центра окружности в начало эвольвенты , будем иметь

, . (1.23)

В случае, если описывает окружность , откуда при нулевых начальных условиях получим . Тогда из рис.5 получаем следующие уравнения эвольвенты

. (1.24)

Дифференцируя (1.24) по , получим

(1 .25)

При производные и обращаются в нуль, а это значит, что в точке происходит нарушение регулярности эвольвенты. Эту особую точку называют точкой возврата.

Поскольку модуль радиус-вектора

, (1.26)

то кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси абсцисс (при и ) с общей точкой возврата. Таким образом, эвольвента не имеет точек внутри основной окружности. Из формулы (1.26) следует, что форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности.

С помощью полученных выше формул можно определить дифференциал дуги эвольвенты

(1.27)

и производные

, , . (1.28)

Уравнения

,

(1.29)

определяют повернутую на угол эвольвенту (рис.6).

2. Плоское зацепление

2.1 Центроиды колес. Профили зубьев

Рассмотрим плоское зацепление зубчатых колес, вращающихся с угловыми скоростями и . В плоскости относительное движение колес сводится к перекатыванию друг по другу окружностей 1 и 2 с радиусами и , являющихся центроидами (рис.7). Точка касания центроид является мгновенным центром скоростей в относительном движении. В теории зацепления эта точка называется полюсом зацепления. Поскольку в полюсе зацепления абсолютные скорости совпадают, то передаточное число

. (2.1)

Для зацепления центроиды снабжены зубьями. На рис.7 показана лишь одна пара контактирующих зубьев.

В точке касания профили зубьев имеют общую нормаль . Нормальные компоненты скоростей и в точке контакта должны совпадать:

(2.2)

в противном случае произошло бы либо расхождение профилей, либо их взаимное проникновение. Равенство (2.2) выражает основную теорему зацепления [1, 2].

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

http://tmm.spbstu.ru

При этом общая нормаль n в контактной точке К должна проходить через полюс зацепления Р, поскольку относительная скорость должна быть перпендикулярна отрезку РК, проведенному из мгновенного центра скоростей в относительном движении .

2.2 Построение сопряженного профиля

Основная теорема зацепления определяет геометрические условия сопряжения профилей, передающих движение с заданным передаточным числом. В системе отсчета колеса 2 ведущий профиль 1 с течением времени t образует семейство кривых. Ведомый профиль 2, обеспечивающий движение второго колеса с заданным передаточным числом, должен быть огибающей этого семейства. Для построения таких сопряженных профилей в литературе предложено несколько методов [1,2]. Ниже будет использован метод, основанный на представлении об огибающей.

Обратимся к рис.7, введя векторы , , ,

где - межцентровое расстояние. Можно принять , тогда .

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

http://tmm.spbstu.ru

На ведущем профиле имеем

, (2.3)

где - параметр на профиле, а и - орты декартовых осей и , жестко связанных с ведущим колесом (рис.8). В начальный момент , .

Ведомый профиль пока неизвестен, на нем

. (2.4)

Вводя векторы угловых скоростей

, , (2.5)

будем иметь

, . (2.6)

В точке касания профилей выполняется соотношение (1.15), в данном случае принимающее форму:

. (2.7)

Уравнение огибающей (2.7) имеет тот же смысл, что и уравнение (2.2) - относительная скорость должна быть направлена по касательной к профилю. кривая плоскость эволюта

Раскроем соотношение (2.3), учитывая, что , , а есть производная в системе осей, связанной со вторым колесом:

. (2.8)

В результате получим

. (2.9)

Поскольку , , , , то уравнение (2.9) запишется в форме

. (2.10)

Уравнение (2.10) связывает координату в контактной точке с моментом времени . Переписав уравнение (2.10) в форме

, (2.11)

найдем

, () (2.12)

где ; Добавкаможет быть отброшена, поскольку не меняет положения ведущего колеса.

Найдя , построим ведомый профиль

(2.13)

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

http://tmm.spbstu.ru

Выразив и через , получим .

В полярных координатах (рис. 9) имеем

, ,

, ,

(2.14)

Уравнение (2.14) аналогично (2.10).

2.3 Эвольвентное зацепление

Пусть ведущий профиль 1 - эвольвента с уравнениями

, . Тогда соотношение (2.14) преобразуется к виду

откуда

(2.15)

В декартовых координатах имеем

, (2.16)

,

что совпадает с (2.15).

Выбирая единственное решение уравнения (2.16), учтем, что на ведущем профиле контакт у основания зуба наступает до пересечения межосевой линии, т.е. . Тогда

(2.17)

где - угол зацепления,

. (2.18)

Далее по формулам (2.13) строим ведомый профиль 2:

(2.19)

(2.20)

Пришли к известному классическому результату: ведомый профиль тоже эвольвента. Она повернута на угол (от к ).

В течение контакта параметр монотонно возрастает от до , а монотонно убывает от до .

Длительность контакта пары сопряженных профилей . Контакт на следующей паре сопряженных профилей должен начинаться до размыкания предыдущей пары, поэтому минимальное число зубьев на ведущем колесе должно быть ближайшим числом, превосходящим , т.е.

. (2.21)

Соответственно, на ведомом колесе

. (2.22)

Равенство - приближенное, но его погрешность исчезает с ростом числа зубьев.

Геометрическое место точек касания сопряженных профилей в неподвижной плоскости называется линией зацепления. Траекторию точки касания профилей (см. рис.7) можно описать уравнением

(2.23)

Уравнение (2.23) является параметрическим уравнением прямой линии с параметром . Следует отметить, что эвольвента окружности - единственная кривая, дающая прямую линию зацепления. Прямая касается основных окружностей и проходит через полюс зацепления при .

Список литературы

1. Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1968.-584 с.

2. Евграфов А.Н., Коловский М.З., Петров Г.Н. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2003. 238 с.

Размещено на Allbest.ru