Особенности кинематического анализа механизмов с внутренними входами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Особенности кинематического анализа механизмов с внутренними входами

Ю.А. Семенов

В работе рассматривался геометрический анализ плоских рычажных механизмов. Прямая задача кинематического анализа таких механизмов заключается в определении их кинематических параметров - скоростей и ускорений звеньев и отдельных точек по заданным входным координатам и их первым двум производным. Обратная задача кинематического анализа состоит в определении входных координат и их производных по заданным кинематическим параметрам.

Пусть выходные звенья механизма характеризуются функциями положения

.

Дифференцируя эти функции дважды по времени, получим

Для механизма с одной степенью подвижности имеем

Если , то

Из полученных выражений видно, что задача определения скоростей и ускорений звеньев и их точек сводится к определению первых и вторых частных производных от функций положения по входным координатам. Эти производные, зависящие только от геометрических параметров кинематической схемы механизма, называются первыми и вторыми геометрическими передаточными функциями механизма (в одноподвижных механизмах - аналогами скоростей и ускорений.). Они определяются из уравнений геометрического анализа.

В данной статье приведены примеры, которые рассматриваются на практических занятиях и при выполнении курсовых работ по ТММ в СПбГПУ.

Пример 1. Произведем геометрический и кинематический анализ шарнирного четырехзвенника с внутренним входом (рис.1). Определим геометрические и кинематические параметры механизма, если

.

Рассматриваемый механизм является одноподвижной трехзвенной структурной группой. Введем групповые координаты и , характеризующие положения звеньев 2 и 3 относительно стойки механизма. Групповые уравнения механизма запишем в виде

(1)

Рис. 1

Возведя обе части уравнений (1) в квадрат и складывая их, придем к уравнению вида

, (2)

,

где

Для заданного получаем:

Полагая известным, определим из системы из системы уравнений (1):

Таким образом, групповые уравнения (1) имеют два решения, которым соответствуют две конфигурации механизма (рис.2): , при которой и (в этом случае ).

В данном механизме возможен переход из положения в положение без его разборки. Для этого нужно сначала уменьшить угол , опустить точку ниже линии , а затем восстановить угол . Переход от одного из возможных положений в другое сопровождается проходом через особые положения механизма или (см. рис.2). В механизме особым положением принято называть то положение, при котором функциональный определитель (якобиан)

(3)

Рис. 2

обращается в нуль, где

Выражение, стоящее в квадратных скобках (3), имеет следующий геометрический смысл: оно представляет собой проекцию ломаной на направление, перпендикулярное линии . Определитель (3) обращается в нуль в тех положениях, где проекция ломаной линии равна нулю (в этот момент «пассивные» шарниры и располагаются на одной прямой).

Дифференцируя по групповые уравнения (1), получим

откуда по правилу Крамера для рассматриваемого положения найдем

где

Поскольку , то где

Необходимое условие существования экстремума функции :

выполняется, когда звенья 3 и 4 лежат на одной прямой (рис.3,а).

Экстремуму функции соответствует условие:

при котором звенья 3 и 2 лежат на одной прямой (рис.3,б).

Аналогично для функции справедливо условие (рис.3,в):

Экстремумам функций соответствуют крайние положения звеньев.

Графики функций положения , а также функций показаны на рис.4. В рассматриваемом механизме

Рис. 3

геометрический скорость уравнение трехподвижный

Рис. 4

Дифференцируя систему уравнений (4) по , получим

(5)

где

По правилу Крамера из системы линейных уравнений (5) определим для рассматриваемого положения

где

Угловые скорости и угловые ускорения звеньев для рассматриваемого положения

Пример 2. Определим геометрические параметры трехподвижной платформы (рис.5) и угловую скорость выходного звена 3, если

Рис. 5

Рассматриваемый механизм состоит из двух однозвенных одноподвижных структурных групп , и трехзвенной одноподвижной группы .

Геометрические уравнения для однозвенных групп

Групповые уравнения для трехзвенной группы

(6) совпадают с уравнениями (1), если в них заменить на .

Задание и однозначно определяет конфигурацию однозвенных групп, а значит, координаты точек и : Решения, приведенные в предыдущем примере, определяют два возможных положения звеньев 2, 3 и 4: Здесь также возможен переход из одного возможного положения в другое без разборки механизма (механизм работает в одной сборке).

Дифференцируя групповые уравнения (6) соответственно по , и , получим

где

, откуда найдем

где

отсюда

Пример 3. Найдем геометрические и кинематические параметры экскаватора с обратной лопатой (рис.6), если

Механизм экскаватора состоит трех одноподвижных трехзвенных групп. Для геометрического и кинематического анализа введем групповые координаты, характеризующие положения звеньев 1(2), 3, 4(5), 6, 7(8) и 9.

Составим групповые уравнения для указанных групп:

(7)

(8)

(9)

где

(10)

Если обе части уравнений (7) возвести в квадрат и сложить их, то можно определить

Найденный относительный угол позволяет из системы линейных уравнений

Определить

Рис. 6

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

т.е

Тогда

По аналогичному алгоритму найдем

Аналогично определим

Продифференцируем по времени групповые уравнения (7):

, (11)

откуда определим

Из полученных формул следует, что функция положения является монотонной; функция положения имеет экстремум, когда звенья 1 и 2 перпендикулярны звену 3. Структурная группа звеньев 1,2,3 попадет в особое положение, если шарниры и будут лежать на одной прямой ().

Дифференцируя систему уравнений (11) по времени, получим систему линейных уравнений

где

откуда найдем

Дифференцируя уравнения (8) по времени, получим с учетом (10) линейную систему уравнений

(12)

из которой найдем

где

Далее дифференцируя по времени уравнения (12), найдем . Аналогично определим .

Пример 4. Определим аналоги скоростей и ускорений для механизма, изображенного на рис.1, графоаналитическим методом (методом планов).

Для нахождения искомых аналогов произведем структурное преобразование механизма . Пусть входной координатой будет угол поворота . С каждым звеном механизма жестко свяжем правые тройки единичных векторов так, чтобы вектор совпадал с осевой линией звена, а вектор был перпендикулярен плоскости движения (рис.7,а). Каждому звену сопоставим вектор . Для выполнения теорем о сложении скоростей и ускорений векторы и направим навстречу внутренней кинематической паре группы Ассура . Представим замкнутый контур как сумму векторов

(13)

.

Для определения скоростей механизма продифференцируем компоненты последнего уравнения по времени

. (14)

Полученное векторное уравнение относительно и соответствует формуле распределения скоростей при плоскопараллельном движении

где - переносная скорость, определяемая движением точки B; - скорость точки C во вращательном движении шатуна ВC относительно точки B; - абсолютная скорость точки C во вращательном движении коромысла относительно опоры D.

Рис. 7

Из произвольной точки , называемой полюсом плана скоростей, отложим вектор (рис.7,б), совпадающий по направлению с единичным вектором и изображающий в масштабе скорость точки В.

В соответствии с векторным уравнением (14) через конец вектора проведем прямую, параллельную вектору , а через полюс - прямую, параллельную вектору . Пересечение этих прямых определит на плане точку , а значит, векторы и , изображающие в масштабе соответственно и .

С помощью плана скоростей определим

Продифференцировав по времени векторное уравнение (13), получим

Этому соотношению соответствует известное векторное равенство

Построив план ускорений при (рис.7,в), найдем из

аналоги ускорений

где

Если уравнение (13) продифференцировать по , то аналоги скоростей можно также получить из векторного уравнения , построив иной геометрический треугольник (рис.7,г).

В данной статье, являющейся продолжением работ , были рассмотрены примеры механизмов с внутренними входами. Несмотря на широкое использование таких механизмов, их геометрический и кинематический анализ практически не представлен на страницах учебных изданий по ТММ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kolovsky M.Z., Evgrafov A.N., Semenov Yu.A., Slousch A.V. Advanced Theory of Mechanisms and Machines. Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, 394 р.

2. Семенов Ю.А., Семенова Н.С. Структурный анализ механизма // Теория механизмов и машин. - 2003. №2(2). с.3-14.

3. Семенов Ю.А., Семенова Н.С. Геометрический анализ плоских рычажных механизмов // Теория механизмов и машин. - 2004. №1(3) с. 26-41.

Размещено на Allbest.ru