Локальная краевая задача для уравнения четвертого порядка
Исследование локальной краевой задачи для уравнения высокого порядка в ограниченной области и ее применение в механике. Выведение доказательства разрешимости задачи методом понижения порядка. Рассмотрение частного случая сформулированной общей задачи.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.07.2018 |
| Размер файла | 269,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Локальная краевая задача для уравнения четвертого порядка
Краевые задачи для уравнений высокого порядка находят широкое применение в механике, физике, математической биологии [1-3]. В тоже время, интерес к уравнениям высокого порядка и краевым задачам для них не исчерпывается прикладными задачами.
Актуальность подобных работ объясняется богатством методов исследования [3-5], применяемых для доказательства их однозначной разрешимости, которые во многом обобщают результаты для уравнений второго порядка.
В области для уравнения типа
, (1)
исследована
Задача G. В области D найти регулярное решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее условиям:
, , , (2)
, , , (3)
где , , , - заданные функции, причем
, , . (4)
Доказательство разрешимости задачи G.
Дважды интегрируя уравнение (1), получим
. (5)
Общее решение соответствующего однородного уравнения может быть представлено в виде [6]:
,
где , - произвольные функции.
Частное решение уравнения (5) будем искать в виде
,
где , - произвольные функции переменных , .
Далее рассмотрим систему
Отсюда, в результате элементарных преобразований, будем иметь
.
Тогда, общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде
, (6)
где , , , - произвольные функции.
Для определения произвольных функций воспользуемся условиями (2) и (3). В результате приходим к соотношениям:
, , (7)
где
, .
Для решения интегральных уравнений (7) используем метод преобразования Лапласа.
Полагая , , , , и используя формулу:
,
находим функции и .
Очевидно, что решение задачи, определяемое равенством (6) принадлежит требуемому классу функций.
Частный случай задачи G.
Рассмотрим задачу G, где в качестве (2), (3) определим условия в виде
, , , (8)
, , . (9)
Заметим, что здесь выполнены все условия на заданные функции, включая условия согласования.
Для нахождения решения задачи (1), (8), (9) достаточно определить и , т.к. и .
В нашем случае
, .
Принимая во внимание, что
,
будем иметь
.
Отсюда заключаем, что
.
Следовательно, . Аналогично, определяем .
Таким образом, получим
. (10)
Равенство (10) определяет явный вид решения задачи (1), (8), (9).
Список литературы
краевой задача уравнение
1. Лесев В.Н. Математические методы в исследовании статики и кинетики капиллярных поверхностей. - Нальчик: Принт - Центр, 2011. - 162с.
2. Лесев В.Н., Созаев В.А. Исследование статистики и динамики малых капель. Фундаментальные основы, математические модели, численные методы.- Saarbrucken (Germany): Lambert Academic Publishing. 2011.- 128c.
3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. - М.: ФИЗМАЛИТ, 2011. - 432с.
4. Лесев В.Н., Шарданова М.А. О разрешимости краевых задач для неоднородного уравнения высокого порядка с переменными коэффициентами // Theoretical & Applied Science, 2014. №12(20). - С. 101-103.
5. Лесев В.Н., Шарданова М.А. Применение метода конечных интегральных преобразований к исследованию краевой задачи для уравнения высокого порядка // Theoretical & Applied Science, 2014. №5(13). - С. 1-4.
6. Сопуев А., Осмоналиев А.Б. Краевые задачи для смешанно - гиперболических уравнений четвертого порядка с характеристической линией перехода // Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа информатики: Труды научной конференции - Ташкент. - 2004. Т.1 - с.152-157.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015Метод разделения переменных в задаче Штурма-Лиувилля. Единственность решения смешанной краевой задачи, реализуемая методом априорных оценок. Постановка и решение смешанной краевой задачи для нелокального волнового уравнения с дробной производной.
курсовая работа [1003,8 K], добавлен 29.11.2014Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.
презентация [103,1 K], добавлен 29.03.2016Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015