Решение системы линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби
Роль метода Якоби при решении научных и промышленных проблем: реализация алгоритмов вычислительной математики и физики, обрабатывание результатов экспериментальных исследований. Использование в данном процессе программы на языке программирования C++.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.07.2018 |
| Размер файла | 96,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение системы линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби
Пусть дана система линейных уравнений:
(1)
Гдe
Или
Алгоритм
Представим матрицу A системы (1) в виде:
(2)
Где D - диагональная, L - левая треугольная матрица и R - правая треугольная матрица. Тогда система (1) может быть записана в виде:
, (3)
И если на диагонали исходной матрицы не будет нулей, то эквивалентной (1) задачей будет:
(4)
Приведение системы (2) к виду (4) основано на методе простых итераций, который называется метод Якоби. В матричном виде он представляется формулой:
(5)
Для того чтобы записать решение системы (1) метод Якоби в развернутом виде, достаточно заметить, что обратная матрица к матрице служит диагональная матрица с элементами диагонали . Поэтому представление (4) системы (1), записанной в виде (3), равнозначно выражению диагональных элементов через другие:
(6)
Далее для записи итерационного процесса (5) расставим в равенствах системы (6) итерационные индексы:
(7)
Таким образом, для реализации данного метода все . Если в системе выполняется диагональное преобладание, то метод Якоби сходится.
Диагональное преобладание матрицы A означает, что
Критерий для окончания итераций:
Где - заданная точность для вычислений.
Реализация метода в среде C++
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
double a[20] [20], n, q[20], b[20];
int vvod ()
{
cout<< «Введите размерность N=»;
cin>>n;
cout<>a[i] [j];}
for (int i=1; i>b[i];}
cout>E;
do
{for (i=1; i<=n; i++)
{for (j=1; j<=(i-1); j++)
s1+=a[i] [j]*q[j];
for (j=(i+1); j<=n; j++)
s2+=a[i] [j]*q[j];
q1 [i]=(1/a[i] [i])*(b[i] - s1-s2);
s1=0;
s2=0;
}
max=q[1];
max1=q1 [1];
for (i=1; i<=n; i++)
if (q[i]>max) max=q[i];
for (i=1; i<=n; i++)
if (q1 [i]>max1) max1=q1 [i];
w=fabs (max-max1);
for (i=1; i<=n; i++)
q[i]=q1 [i];
r+=1;
}
while (w>E);
for (i=1; i<=n; i++)
{for (j=1; j<=n; j++)
sum+=a[i] [j]*q1 [j];
q2 [i]=sum;
sum=0;}
cout<<«Решение СЛАУ:«<>j;
switch(j)
{
case 1: vvod(); break;
case 2: yak(); break;
default:cout<< «Неверно выбран пункт\n»;}
if (ch!=27) ch=_getch();}
return 0;
getch();
}
якоби алгоритм математика программа
Материал, изложенный в статье, будет интересен и полезен студентам физико-математических специальностей. Программа проста в использовании и нетребовательна к ресурсам. Она находит решение за малое количество итераций и также делает проверку, с помощью которой мы можем убедиться в правильности работы программы и действительно ли метод Якоби находит верное решение.
Список литературы
1. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2000, 266 с.
2. Кризский В.Н. Численные методы линейной алгебры: Учебно-методическое пособие / Изд-во Стерлитамакской госпедакадемии - Стерлитамак, 2006 - 80 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.
учебное пособие [581,1 K], добавлен 08.02.2010Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения.
курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009Методы решения систем линейных уравнений. Метод Якоби в матричной записи. Достоинство итерационного метода верхних релаксаций, вычислительные погрешности. Метод блочной релаксации. Разбор метода релаксаций в системах линейных уравнений на примере.
курсовая работа [209,1 K], добавлен 27.04.2011Собственные значения и вектора матрицы. Применение итерационного метода вращений Якоби для решения симметричной полной проблемы собственных значений эрмитовых матриц. Алгоритмы решения задач и их реализация на современных языках программирования.
курсовая работа [321,6 K], добавлен 15.11.2015Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Исследование метода квадратных корней для симметричной матрицы как одного из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ различных параметров матрицы и их влияния на точность решения: мерность, обусловленность и разряженность.
курсовая работа [59,8 K], добавлен 27.03.2011Решение системы линейных уравнений методом Якоби вручную и на Бейсике. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с помощью Excel. Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов. Построение кубического сплайна по шести точкам.
курсовая работа [304,9 K], добавлен 07.09.2012Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010
