Критерий единственности решения краевой задачи для уравнения с двумя линиями изменения типа в прямоугольной области

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статья по теме:

Критерий единственности решения краевой задачи для уравнения с двумя линиями изменения типа в прямоугольной области

Гималтдинова Альфира Авкалевна, кандидат наук, доцент, доцент Уфимский государственный нефтяной технический университет

В работе для уравнения с оператором Лаврентьева - Бицадзе с двумя линиями изменения типа получен критерий единственности решения краевой задачи с условиями первого и второго рода на границе прямоугольной области.

Рассмотрим уравнение

в области , где . Пусть , , , .

Задача. Найти функцию u(x,y), удовлетворяющую условиям:

где  и  -- заданные достаточно гладкие функции.

Краевые задачи (задачи Трикоми, Дирихле и другие) для уравнений смешанного типа с одной или несколькими линиями изменения типа изучались многими авторами [1-6].

Работа [7] дала новый толчок к изучению краевых задач для уравнений смешанного типа в прямоугольных областях. В работах [8, 9] исследованы задачи с нелокальными условиями для уравнений смешанного типа. В работе автора [10] исследована задача Дирихле для уравнения (1) при b=0.

В настоящей работе для уравнения (1) с двумя внутренними линиями изменения типа изучается краевая задача с условиями первого и второго рода на границе прямоугольной области D. Установлен критерий единственности на основании полноты биортогональной системы в пространстве L2[-1,1].

После разделения переменных u(x,y)=X(x)Y(y) в уравнении (1) получим:

уравнение лаврентьев трикоми задача

где  ? постоянная разделения. В уравнении (6) коэффициент при старшей производной не является знакоопределенным, поэтому спектральная задача (6), (7) не является классической. Эта задача также получена в [10] при решении задачи Дирихле для уравнения (1) при b=0.

Решениями задачи (6), (7) будут функции

.

.

где  -- положительные корни трансцендентного уравнения . В работе [10] отмечено, что система  не ортогональна в L2[-1,1], и показано, что в L2[-1,1] является полной биортогоносопряженная система , где . При найденных  и при  найдем решение уравнения (8), удовлетворяющее условиям (9):

где ,  -- неизвестные пока коэффициенты.

Можно убедиться, что функции

удовлетворяют уравнению (8), поэтому представимы в виде (10) и (11). Тогда из равенств (12) и граничных условий (5) имеем:

Учитывая (10), (11), (13) и (14), получим

. (15)

. (16)

Если при всех  определители систем (15) и (16) отличны от нуля:

то системы однозначно разрешимы:

,

аналогично для . Подставляя найденные значения в (10), (11), получим тем самым представление для .

Теорема. Если существует решение задачи (2) -- (5), то оно единственно, только если для всех  выполняются условия (17) и (18).

Список литературы

1. Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1958. Т. 122, № 2. С.167-170.

2. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференц. уравнения, 1970. Т. 6, № 1. С. 190-191.

3. Жегалов В.И. О задачах типа Дирихле со сдвигами для уравнения Лаврентьева - Бицадзе // Труды семинара по краевым задачам, 1987. № 23. С. 81-88.

4. Шарафутдинова Г.Г. К теории задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения: автореферат дис. … канд физ.-мат. наук. Самара, 2000.

5. Сабитов К.Б., Карамова А.А. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Известия Российской Академии наук. Серия математическая, 2001. № 4. С. 133-150.

6. Сабитов К.Б., Карамова А.А. Решение одной газодинамической задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения, 2002. Т. 37, № 1. С. 111-116.

7. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // ДАН, 2007. Т. 413, №1. C.23-26.

8. Сабитова Ю.К. Критерий единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Дифференц. уравнения, 2010. Т. 46, № 8. С. 1205-1208.

9. Сабитова Ю.К. Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного типа с вырождением на переходной линии // Математические заметки, 2015. Т. 98, № 3. С. 393-406.

10. Гималтдинова А.А. Задача Дирихле для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с двумя линиями изменения типа в прямоугольной области // Доклады Академии наук, 2015. Т. 460, №3. С. 260-266.

Размещено на Allbest.ru