Метод характеристик при решении задачи Коши для уравнений гиперболического типа
Задача Коши для уравнения струны - математическая модель физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. Два семейства вещественных характеристик уравнений струны.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.07.2018 |
| Размер файла | 228,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Метод характеристик при решении задачи Коши для уравнений гиперболического типа
Мухаметова Лилия Каримовна
В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.
Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению
,
где u=u(x,y,z,t), a - скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид
,
которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].
В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:
. (1)
Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
, (2)
. (3)
Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.
Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик
,
где A=0, 2B=ey, C=-1. Вычислим . Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.
Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:
.
Выносим за скобки dx, получаем:
. (4)
Это уравнение имеет решение при
,
,
.
И
,
,
,
,
.При решении уравнений получили:
, . (5)
Прямые, заданные уравнениями (5), представляют с собой два семейства вещественных характеристик уравнений струны. Введем новые переменные уравнение струна математический
,
и вычислим производные uy, uyy, uxy функции u по новым переменным и , применяя теоремы о дифференцировании сложной функции [1, 54]:
,
,
.
Подставляя эти производные в уравнение (1), получим:
.
Общее решение уравнения гиперболического типа в характеристических координатах имеет вид:
.
Чтобы найти общее решение уравнения (1) в прямолинейных координатах в вышенаписанной формуле перейдем к старым переменным x и y:
. (6)
Решение задачи (1) - (3) построим на основании общего решения (6). Произвольные функции f и g найдем, удовлетворив функцию (6) начальным условиям (2) и (3):
, .
Таким образом, для нахождения неизвестных функций f(x) и g(x) получим систему функциональных уравнений:
. (7)
В обеих уравнениях системы (7) переменную x+1 заменим на s и проинтегрируем по s. Тогда система (7) примет вид:
.
Проинтегрировав второе уравнение системы, получим:
.
Выражаем из первого уравнения системы f(s-1) и подставляем вместо g(s)=cos(1-s)+C получим:
.Сделаем обратную замену s на x+1 в найденных функциях:
,
.
Найденные функции f(x) и g(x+1) подставим в формулу (6)
.
Таким образом, уравнение (1) имеет решение:
. (8)
Проверим начальные условия (2) и (3). В формуле (9) положим y=0, тогда будем иметь
,
следовательно, условие (2) выполнено. Проверим условие (3). Для этого найдем производную по y от функции (8):
.
Отсюда при y=0 будем иметь
.
Таким образом, условие (3) также выполнено. Тем самым, существование решения задачи Коши для уравнения струны обосновано.
Список литературы
1. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2003. - 255 с.
2. Сабитова Ю.К. Уравнения математической физики / Учеб. - метод. пособие. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2014. - 91с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Модельная задача уравнения колебаний струны и деформации системы из трех струн. Вариационные методы решения: экстремум функционала, пробные функции, метод Ритца. Подпространства сплайнов и тестирование программы решения системы алгебраических уравнений.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011Анализ уравнения гиперболического типа - волнового уравнения. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера, неоднородное уравнение. Задача Коши, двумерное волновое уравнение. Теорема устойчивости решения задачи Коши. Формулы волнового уравнения.
реферат [1,0 M], добавлен 11.12.2014Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011Описание колебательных систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных, асимптотическое поведение их решений. Методика регулярных возмущений и особенности ее применения при решении задачи Коши для дифференциальных уравнений.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 15.06.2009
