Некоторые свойства продолженных почти АР-структур

Размещено на http://www.allbest.ru/

О некоторых свойствах продолженных почти ap-структур

Галаев Сергей Васильевич, кандидат наук, доцент, доцент

Саратовский национальный исследовательский

государственный университет имени Н.Г. Чернышевского



Аннотация

Вводится понятие продолженной почти AP-структуры - почти контактной метрической структуры, естественным образом возникающей на распределении контактного метрического многообразия. Доказывается, что продолженная почти AP-структура является AP-структурой тогда и только тогда, когда она нормальна.



Введение

Почти AP-многообразие является обобщением SQS-многообразия, определенного в работе [41]. В свою очередь, SQS-многообразия - это квази-сасакиевы многообразия (QS-многообразия), удовлетворяющие дополнительным условиям. Значительное внимание квази-сасакиевым многообразиям уделено в работах В.Ф. Кириченко и его учеников [48-52]. Среди квази-сасакиевых структур , таких, что , , , наиболее близко примыкают к сасакиевым структурам SQS-структуры. Интересным примером SQS-структур являются структуры (продолженные почти контактные метрические структуры), естественным образом возникающие на распределениях нулевой кривизны сасакиевых многообразий. Продолженные почти контактные метрические структуры введены в работах [14-17]. Изучению обобщений продолженных почти контактных метрических структур посвящены работы [1, 2, 4, 6, 7, 10, 11, 22-28, 31, 33, 58]. В результате исследования продолженных структур получены результаты, имеющие аналоги в геометрии касательных и кокасательных расслоений [63-57, 59-68, 70, 72]. Наиболее интересными продолженными структурами являются структуры, задаваемые на распределениях нулевой кривизны, т.е., на распределениях почти контактных метрических структур с нулевым тензором кривизны Схоутена. Понятие тензора кривизны оснащенного неголономного многообразия введено Схоутеном и ван Кампеном [69]. Впоследствии, заданный Схоутеном и ван Кампеном тензор был назван В.В. Вагнером [19, 20] тензором Схоутена. Существуют два основных способа введения тензора Схоутена в геометрию почти контактных метрических многообразий. Тензор Схоутена может быть определен как тензор кривизны внутренней связности (связности в неголономном многообразии) [5, 14, 21, 22, 25, 27]. Альтернативным способом задания тензора Схоутена является выделение трансверсальной составляющей у тензора кривизны некоторой связности (отличной от связности Леви-Чивита), возникающей на многообразии с почти контактной метрической структурой. При этом термин «тензор Схоутена» не употребляется [71]. Тензор Схоутена мы называем тензором кривизны распределения D многообразия M с почти контактной метрической структурой . В работе [20] Вагнер вводит понятие тензора кривизны (тензора кривизны Вагнера) оснащенного неголономного многообразия коразмерности 1. В случае контактного метрического многообразия тензор кривизны Вагнера также может быть описан как тензор кривизны связности (отличной от связности, изучаемой в работе [71]) в векторном расслоении . Задание связности Вагнера сводится к продолжению внутренней связности до связности (N-продолженной связности) [6, 21, 22, 25, 28, 29, 31, 32, 35, 37, 40, 42-47]) в векторном расслоении с помощью эндоморфизма , имеющего специальное строение.

Предлагаемая работа устроена следующим образом. Во втором разделе на почти контактном метрическом многообразии M вводится понятие внутренней связности, определяется тензор кривизны Схоутена. и изучаются его свойства. В третьем разделе определяется почти AP-многообразие и изучаются его простейшие свойства. На распределении D многообразия M с контактной метрической структурой определяется продолженная почти контактная метрическая структура. Доказывается, что продолженная почти AP-структура является AP-структурой тогда и только тогда, когда она нормальна.

Почти контактные метрические многообразия специального вида

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности , - модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура , где - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом или допустимой почти комплексной структурой, и - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g - (псевдо) риманова метрика. При этом выполняются следующие условия:

1. ,

2. ,

3. ,

4. , где .

Гладкое распределение называется распределением почти контактной структуры.

В качестве следствия условий 1) - 4) получаем:

5. , 6) , 7) , .

Если , где , вектор однозначно определяется из условий , .

Кососимметрический тензор называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство . Гладкое распределение , ортогональное распределению D, называется оснащением распределения D. Имеет место разложение .

Многообразие Сасаки - контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию , где



тензор Нейенхейса эндоморфизма . Выполнение условия означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством. Символы будем использовать для обозначения модуля сечений распределения .

Предположим, что , . Хорошо известно, что ядро формы является интегрируемым распределением, которое в дальнейшем будем обозначать символом K. Пусть , , , - проекторы, определяемые разложением , где , а L - ортогональное ему распределение в D.

Имеет место

Предложение 1. Распределение интегрируемо.

Доказательство. Пусть . Покажем, что . Имеем . Отсюда следует, . Далее, для произвольного получаем: . Таким образом, , что и доказывает предложение.

Многообразие M с почти контактной метрической структурой назовем почти AP-многообразием, если выполняются следующие два условия:

1. Распределение L инвариантно относительно действия эндоморфизма ;

2. Имеет место равенство

.

Если, при этом, распределение - интегрируемо, то почти AP-многообразие будем называть AP-многообразием.

Квази-сасакиево многообразие, являющееся одновременно AP-многообразием, называется [41] специальным квази-сасакиевым многообразием (SQS-многообразием).

Используя интегрируемость распределения K, определим на многообразии M адаптированную карту , полагая , . Мы здесь использовали обозначение .

Пусть и - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

.

Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение . Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов и соответствующее ему поле кобазисов

.

Непосредственно проверяется, что в случае AP-многообразия

, .

В случае интегрируемости распределения , будем требовать дополнительно выполнение равенства .

Пример AP-многообразия. Пусть , - стандартный базис арифметического пространства. Определим на M 1-форму , полагая, . Очевидно, что , , где . Структуру риманова многообразия на M определим, считая базис ортонормированным. И, наконец, положим , , , , .

Тензор кривизны Схоутена

Тензорное поле t типа , заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются или .

Внутренней линейной связностью [3, 5, 8, 9, 30, 34, 36] на многообразии с почти контактной структурой называется отображение

,

удовлетворяющее следующим условиям:

1.

2. ,

3. ,

где - модуль допустимых векторных полей.

Внутренняя связность определяет дифференцирования допустимых тензорных полей. Так, например, для допустимой почти комплексной структуры выполняется равенство

.

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения .

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле

.

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:

, или, .

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

,

где , названо Вагнером [20] тензором кривизны Схоутена. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид: кривизна многообразие связность тензорный

.

Для почти AP-многообразия выполняется равенство

.

Тензор кривизны внутренней связности возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных:

.

Назовем тензор кривизны внутренней связности тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, - распределением нулевой кривизны.

Аналогом связности Леви-Чивита является внутренняя симметричная связность такая, что , где g - допустимое тензорное поле, определяемое метрическим тензором исходной почти контактной метрической структуры. Назовем связность внутренней метрической связностью. Известно, что внутренняя симметричная метрическая связность существует и определена единственным образом. Ее коэффициенты задаются равенствами

.

Введем в рассмотрение допустимые тензорные поля, определяемые равенствами ,

,

, .

В адаптированных координатах получаем:

,

, .

Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора , . В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 2. Коэффициенты связности Леви-Чивита почти AP-многообразия в адаптированных координатах имеют вид:

,

,

,

,

где .

Пусть - тензор кривизны связности Леви-Чивита контактного метрического пространства. Используя результаты предложения 2, и проводя вычисления в адаптированных координатах, убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 3. Тензор кривизны связности Леви-Чивита связан с тензором кривизны Схоутена следующим соотношением:

.

Здесь - допустимое тензорное поле с компонентами .

Прежде чем переходить к обсуждению свойств тензора Схоутена, введем понятия N-связности [21, 29, 31] и ассоциированной связности , естественным образом связанных с данной внутренней связностью.

Пусть на многообразии M с почти контактной структурой и внутренней линейной связностью задан эндоморфизм .

N-связность определим как единственную связность на многообразии M, удовлетворяющую следующим условиям:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

.

Кручение и кривизна N-связности определяются, соответственно, следующем образом:

,

,

.

N-связность с нулевым эндоморфизмом N будем называть ассоциированной связностью с внутренней связностью и обозначать . Для кривизны и кручения ассоциированной связности выполняются следующие равенства:

, , .

Таким образом, получаем , если .

Предложение 4. Почти AP-многообразие с распределением нулевой кривизны является K-контактным пространством.

Доказательство. Пусть - внутренняя метрическая связность:

, .



Дифференцируя последнее равенство повторно и альтернируя полученный результат, получаем: . Учитывая невырожденность формы , заключаем, что равенство влечет равенство . Что и доказывает предложение.

С учетом равенства (1) получаем:

Теорема 1. Для почти AP-многообразия обращение в нуль тензора кривизны Схоутена влечет равенство .

Введем на распределении D почти контактного метрического многообразия структуру гладкого многообразия следующим образом. Поставим в соответствие каждой адаптированной карте многообразия M сверхкарту на распределении D, полагая, что , где - координаты допустимого вектора в базисе . Задание внутренней связности влечет разложение распределения , где - естественная проекция, в прямую сумму вида , где VD - вертикальное распределение на тотальном пространстве D, HD - горизонтальное распределение, порождаемое векторными полями , где , - коэффициенты внутренней связности.

Пусть, далее, - поле допустимого тензора типа (1,1). N-продолженной связностью [21, 29, 31] назовем связность в векторном расслоении , определяемую разложением , где , , , - вертикальный лифт. Относительно базиса поле поле получает следующее координатное представление: . Если не оговорено противное, будем считать, что . В этом случае .

Формы определяют поле кобазисов, сопряженное к полю базисов



.

Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,

,

.

Всякому векторному полю , заданному на многообразии M, обычным образом соответствует его горизонтальный лифт , при этом, тогда и только тогда, когда - допустимое векторное поле: .

Справедливость следующей теоремы вытекает из полученных выше структурных уравнений.

Теорема 2. Пусть - внутренняя симметричная связность с тензором кривизны Схоутена . Тогда, для всех и имеют место следующие равенства:

(1)

(2)

(3)

(4)

Определим на распределении D контактного метрического многообразия M продолженную почти контактную метрическую структуру , полагая

,

,

, , , , .

Справедливость следующего предложения очевидна.

Предложение 5. Почти контактная метрическая структура , является структурой почти AP-многообразия.

Назовем структуру , продолженной почти AP-структурой. Используя структурные уравнения, получаем:

Предложение 6. Продолженная почти AP-структура является структурой AP-многообразия тогда и только тогда, когда тензор Схоутена равен нулю.

Теорема 3. Продолженная почти AP-структура является AP-структурой тогда и только тогда, когда она нормальна. Доказательство. Найдем условия, при которых

.

Используя (1)-(4), получаем следующее:

,

,

,

.

Применяя теорему 1 и предложение 6, убеждаемся в справедливости теоремы.

Список литературы

1. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.

2. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.

3. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.

4. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.

5. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с ц-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214) Вып. 40. 2015. С. 20-24.

6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.

7. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.

8. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.

9. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.

10. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С.247-251.

11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.

12. Букушева А.В. Финслерово пространство с метрикой Бервальда-Моора как обобщение метрического пространства невырожденных поличисел // Математика. Механика. 2011. №.13. С. 6-10.

13. Букушева А.В. О пространстве над алгеброй поличисел с метрикой Бервальда-Моора // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 2011. Т. 8. № 15-1. С. 99-103.

14. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.

15. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.

16. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.

17. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

18. Букушева А.В., Галаев С.В. Условие интегрируемости метрики Бервальда-Моора // Механика. Математика. 2010. №12. С. 10-13.

19. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем, Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, №5, 301-327 (1941).

20. Вагнер В.В. Геометрия (n-1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве, Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, вып. 5, 173-255 (1941).

21. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.

22. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.

23. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

24. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.

25. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.

26. Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.

27. Галаев С.В. О контактных метрических пространствах с распределением нулевой кривизны // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 479-482.

28. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.

29. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.

30. Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 17-19.

31. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.

32. Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 12-15.

33. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные кэлеровы пространства, определяемые симплектической связностью над распределением // Математика. Механика. 2015. №17. С. 19-21.

34. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.

35. Галаев С.В., Гохман А.В. Внутренняя связность, ассоциированная с вполне интегрируемым лежандровым слоением // Математика. Механика. 2014. №16. С. 22-25.

36. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.

37. Галаев С.В., Гохман А.В. Внутренние неголономные связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Механика. Математика. 2009. №11. С. 15-18.

38. Галаев С.В., Гохман А.В. Неголономные почти симплектические многообразия с присоединенной связностью // Математика. Механика. 2002. №4. С. 31-33.

39. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.

40. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.

41. Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.

42. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С.14-16.

43. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1(49). С. 20-22.

44. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 22-24.

45. Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.

46. Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.

47. Галаев С.В. О продолжении внутренней связности неголономного многообразия с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.26-29.

48. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Матем. сб. 2002. 193:8. С. 71-100.

49. Кириченко В. Ф., Полькина Е. А. Контактная форма Ли и конциркулярная геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий // Матем. заметки. 2016. 99:1. С. 42-54.

50. Кириченко В.Ф., Аристархова А.В. Контактно-автодуальная геометрия 5-мерных квази-сасакиевых многообразий // Матем. заметки. 2011. 90:5. С. 643-658

51. Кириченко В.Ф., Полькина Е.А. Критерий конциркулярной подвижности квази-сасакиевых многообразий // Матем. заметки. 2009. 86:3. С. 380-388.

52. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных структур, Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 18, ВИНИТИ, М., 1986, 25-71.

53. Aso K., Notes on some properties of the sectional curvature of the tangent bundle // Yokohama Math. J. 1981. no. 29. P. 1-5.

54. Boeckx E., Vanhecke L. Characteristic reflections on unit tangent sphere bundles // Houston J. Math. 1997. no. 23. P. 427-448.

55. Boeckx, E. and Vanhecke, L.,Geometry of the tangent sphere bundle, in Cordero, L.A. and Garcia-Rio, E. (eds), Proceedings of the Workshop on Recent Topics in Differential Geometry, Santiago de Compostela, Spain, 1997, Public. Depto. Geometriay Topologia, Univ. Santiago de Compostela. 1998. no. 89. P. 5-17.

56. Cheeger J., Gromoll D. On the structure of complete manifolds of non-negative curvature // Ann. of Math. 1972. 96. P. 413-443.

57. Dombrowski, P., On the geometry of the tangent bundle // J. Reine Angew. Math. 1962. no. 210. P. 73-88.

58. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.

59. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the tangent bundles // Expo. Math. 2002. no. 20. P. 1-41.

60. Kowalski O., Sekizawa M., On Riemannian manifolds whose tangent sphere bundles can have non-negative sectional curvature. Univ. Iagel. Acta Math. 2002. no. 40. P. 245-256.

61. Kowalski O., Sekizawa M., Vlasek Z. Can tangent sphere bundles over Riemannian manifolds have strictly positive sectional curvature? Global differential geometry, Math. Legacy of Alfred Gray. 2000. P. 110-118.

62. Kowalski O., Sekizawa M., On the scalar curvature of tangent sphere bundles with arbitrary constant radius. Greek Math. Soc. 2000. no. 44. P. 17-30.

63. Kowalski O., Sekizawa M., On tangent sphere bundles with small or large constant radius // Ann.Global Anal. Geom. 2000. Vol. 18. no.3-4. P. 207-219.

64. Kowalski O., Sekizawa M. Natural transformations of Riemannian metrics on manifolds to metrics on tangent bundles. A classification // Bull. Tokyo Gakugei univ. 1988. 40(4). P. 1-29.

65. Kowalski, O., Curvature of the induced Riemannian metric on the tangent bundle of a Riemannian manifold // J. Reine Angew. Math. 1971. no. 250. P. 124-129.

66. Musso E., Tricerri F. Riemannian metrics on tangent bundle // Ann. Mat. Pura. Appl. 1988. 150(4). P. 1-19.

67. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. no. 10. P. 338-354.

68. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II // Tohoku Math. J. 1962. no. 14. P. 146-155.

69. Schouten J., van Kampen E. Zur Einbettungs-und Krьmmungstheorie nichtholonomer Gebilde, Math. Ann. 1930. no. 103. P. 752-783.

70. Sekizawa M. Curvatures of tangent bundles with Cheeger-Gromoll metric // Tokyo J. Math. 1991. Vol. 14. no.2. P. 407-417.

71. Vezzoni L. Connections on contact manifolds and contact twistor spaces, Israel J. Math. 2010. no. 178. P. 253-267.

72. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Marcel Dekker, Inc. New York. 1973.

Размещено на Allbest.ru