Геометрия SQS-многообразий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Геометрия sqs-многообразий

Галаев Сергей Васильевич,

кандидат наук, доцент



Аннотация

В статье вводится понятие почти AP-многообразия - почти контактного метрического многообразия со структурой почти произведения специального вида. Почти AP-многообразие с интегрируемой структурой почти произведения названо в статье AP-многообразием. AP-многообразие локально эквивалентно прямому произведению контактного метрического многообразия и почти эрмитова многообразия. Нормальное AP-многообразие с замкнутой фундаментальной формой является квази-сасакиевым. Квази-сасакиево AP-многообразие названо в статье специальным квази-сасакиевым многообразием (SQS-многообразием). SQS-многообразие локально эквивалентно произведению сасакиева и кэлерова многообразий. Изучается строение тензора Схоутена SQS-многообразия. Находятся условия, при которых SQS-многообразие является $\eta$-Эйнштейновым многообразием.



Введение

Квази-сасакиевы многообразия (QS-многообразия) определены в статье Блэра [50]. Там же приводятся основные примеры QS-многообразий. В частности, в качестве примера QS-многообразия рассматривалось произведение сасакиева и кэлерова многообразий. Значительное внимание квази-сасакиевым многообразиям уделено в работах В.Ф. Кириченко и его учеников [41-46]. Среди квази-сасакиевых структур , таких, что , , , наиболее близко примыкают к сасакиевым структурам SQS-структуры, определяемые в настоящей статье. Почти контактное метрическое многообразие, наделенное SQS-структурой, получает в работе название SQS-многообразия. Интересным примером SQS-структур являются структуры (продолженные почти контактные метрические структуры), естественным образом возникающие на распределениях нулевой кривизны сасакиевых многообразий. Продолженные почти контактные метрические структуры введены в работах [14-17]. Изучению обобщений продолженных почти контактных метрических структур посвящены работы [1, 2, 4, 6, 7, 10, 11, 22-28, 31, 33]. В результате исследования продолженных структур получены результаты, имеющие аналоги в геометрии касательных и кокасательных расслоений [47-65]. Наиболее интересными продолженными структурами являются структуры, задаваемые на распределениях нулевой кривизны, т.е., на распределениях почти контактных метрических структур с нулевым тензором кривизны Схоутена. Понятие тензора кривизны оснащенного неголономного многообразия введено Схоутеном и ван Кампеном [64]. Впоследствии, заданный Схоутеном и ван Кампеном тензор был назван В.В. Вагнером [19,20] тензором Схоутена. Существуют два основных способа введения тензора Схоутена в геометрию почти контактных метрических многообразий. Тензор Схоутена может быть определен как тензор кривизны внутренней связности (связности в неголономном многообразии) [5, 14, 21, 22, 25, 27]. Альтернативным способом задания тензора Схоутена является выделение трансверсальной составляющей у тензора кривизны некоторой связности (отличной от связности Леви-Чивита), возникающей на многообразии с почти контактной метрической структурой. При этом термин «тензор Схоутена» не употребляется [65].

Тензор Схоутена мы называем тензором кривизны распределения D многообразия M с почти контактной метрической структурой . В работе [20] Вагнер вводит понятие тензора кривизны (тензора кривизны Вагнера) оснащенного неголономного многообразия коразмерности 1. В случае контактного метрического многообразия тензор кривизны Вагнера также может быть описан как тензор кривизны связности (отличной от связности, изучаемой в работе [65]) в векторном расслоении . Задание связности Вагнера сводится к продолжению внутренней связности до связности (N-продолженной связности) [6, 21, 22, 25, 28, 29, 31, 32, 35, 37, 40]) в векторном расслоении с помощью эндоморфизма , имеющего специальное строение.

Предлагаемая работа устроена следующим образом. Во втором разделе на почти контактном метрическом многообразии Mвводится понятие внутренней связности, определяется тензор кривизны Схоутена. и изучаются его свойства. В третьем разделе определяется SQS-структура, изучаются простейшие свойства многообразий с SQS-структурой. На распределении Dмногообразия M с контактной метрической структурой определяется продолженная почти контактная метрическая структура. Доказывается, что продолженная структура является SQS-структурой, если исходное многообразие - сасакиево многообразие с распределением нулевой кривизны.



Почти контактные метрические многообразия специального вида

тензор многообразие метрический кривизна

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности , - модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура , где - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом или допустимой почти комплексной структурой, и - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g - (псевдо) риманова метрика. При этом выполняются следующие условия:

1. ,

2. ,

3. ,

4. , где .

Гладкое распределение называется распределением почти контактной структуры.

В качестве следствия условий 1) - 4) получаем:

5. , 6) , 7) , .

Если , где , вектор однозначно определяется из условий , .

Кососимметрический тензор называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство . Гладкое распределение , ортогональное распределению D, называется оснащением распределения D. Имеет место разложение .

Многообразие Сасаки - контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию , где - тензор Нейенхейса эндоморфизма . Выполнение условия означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством. Символы будем использовать для обозначения модуля сечений распределения .

Предположим, что , . Хорошо известно, что ядро формы является интегрируемым распределением, которое в дальнейшем будем обозначать символом K. Пусть , , , - проекторы, определяемые разложением , где , а L - ортогональное ему распределение в D.

Имеет место

Предложение 1. Распределение интегрируемо.

Доказательство. Пусть . Покажем, что . Имеем . Отсюда следует, . Далее, для произвольного получаем: . Таким образом, , что и доказывает предложение.

Многообразие M с почти контактной метрической структурой назовем почти AP-многообразием, если выполняются следующие два условия:

1. Распределение L инвариантно относительно действия эндоморфизма ;

2. Имеет место равенство

.

Если, при этом, распределение - интегрируемо, то почти AP-многообразие будем называть AP-многообразием.

Квази-сасакиево многообразие, являющееся одновременно AP-многообразием, назовем специальным квази-сасакиевым многообразием (SQS-многообразием).

Используя интегрируемость распределения K, определим на многообразии M адаптированную карту , полагая , . Мы здесь использовали обозначение .

Пусть и - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

.

Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение . Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов и соответствующее ему поле кобазисов

.

Непосредственно проверяется, что в случае AP-многообразия , .

В случае интегрируемости распределения , будем требовать дополнительно выполнение равенства .

Пример SQS-многообразия. Пусть , - стандартный базис арифметического пространства. Определим на M 1-форму , полагая, . Очевидно, что , , где . Структуру риманова многообразия на M определим, считая базис ортонормированным. И, наконец, положим , , , , .

Тензор кривизны Схоутена

Тензорное поле t типа , заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются или .

Внутренней линейной связностью [3, 5, 8, 9, 30, 34, 36] на многообразии с почти контактной структурой называется отображение

,

удовлетворяющее следующим условиям:

,

,

где - модуль допустимых векторных полей.

Внутренняя связность определяет дифференцирования допустимых тензорных полей. Так, например, для допустимой почти комплексной структуры выполняется равенство



.

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения .

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле

.

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:

, или, .

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

,

где , названо Вагнером [20] тензором кривизны Схоутена. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

.

Для почти AP-многообразия выполняется равенство

.

Тензор кривизны внутренней связности возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных:

.

Назовем тензор кривизны внутренней связности тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, - распределением нулевой кривизны.

Аналогом связности Леви-Чивита является внутренняя симметричная связность такая, что , где g - допустимое тензорное поле, определяемое метрическим тензором исходной почти контактной метрической структуры. Назовем связность внутренней метрической связностью. Известно, что внутренняя симметричная метрическая связность существует и определена единственным образом. Ее коэффициенты задаются равенствами

.

Введем в рассмотрение допустимые тензорные поля, определяемые равенствами ,

,

, . В адаптированных координатах получаем:

,

, .

Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора , . В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 2. Коэффициенты связности Леви-Чивита почти AP-многообразия в адаптированных координатах имеют вид:

,

,

,

,

где .

Пусть - тензор кривизны связности Леви-Чивита контактного метрического пространства. Используя результаты предложения 2, и проводя вычисления в адаптированных координатах, убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 3. Тензор кривизны связности Леви-Чивита связан с тензором кривизны Схоутена следующим соотношением:

(1)

Здесь - допустимое тензорное поле с компонентами .

Прежде чем переходить к обсуждению свойств тензора Схоутена, введем понятия N-связности [21, 29, 31] и ассоциированной связности , естественным образом связанных с данной внутренней связностью.

Пусть на многообразии M с почти контактной структурой и внутренней линейной связностью задан эндоморфизм .

N-связность определим как единственную связность на многообразии M, удовлетворяющую следующим условиям:

1. (2)

2. (3)

3. (4)

4. (5)

.

Кручение и кривизна N-связности определяются, соответственно, следующем образом:

,

.

N-связность с нулевым эндоморфизмом N будем называть ассоциированной связностью с внутренней связностью и обозначать . Для кривизны и кручения ассоциированной связности выполняются следующие равенства:

, , .

Таким образом, получаем , если .

Предложение 4. Почти AP-многообразие с распределением нулевой кривизны является K-контактным пространством.

Доказательство. Пусть - внутренняя метрическая связность: , . Дифференцируя последнее равенство повторно и альтернируя полученный результат, получаем: . Учитывая невырожденность формы , заключаем, что равенство влечет равенство . Что и доказывает предложение.

С учетом равенства (1) получаем:

Теорема 1. Для почти AP-многообразия обращение в нуль тензора кривизны Схоутена влечет равенство .

Введем на распределении D почти контактного метрического многообразия структуру гладкого многообразия следующим образом. Поставим в соответствие каждой адаптированной карте многообразия M сверхкарту на распределении D, полагая, что , где - координаты допустимого вектора в базисе . Задание внутренней связности влечет разложение распределения , где - естественная проекция, в прямую сумму вида , где VD - вертикальное распределение на тотальном пространстве D, HD - горизонтальное распределение, порождаемое векторными полями , где , - коэффициенты внутренней связности.

Пусть, далее, - поле допустимого тензора типа (1,1). N-продолженной связностью [21, 29, 31] назовем связность в векторном расслоении , определяемую разложением , где , , , - вертикальный лифт. Относительно базиса поле получает следующее координатное представление: . Если не оговорено противное, будем считать, что . В этом случае .

Формы определяют поле кобазисов, сопряженное к полю базисов .

Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,

,

.

Всякому векторному полю , заданному на многообразии M, обычным образом соответствует его горизонтальный лифт , при этом, тогда и только тогда, когда - допустимое векторное поле: .

Справедливость следующей теоремы вытекает из полученных выше структурных уравнений.

Теорема 2. Пусть - внутренняя симметричная связность с тензором кривизны Схоутена . Тогда для всех и имеют место следующие равенства.

, , , .

Определим на распределении D многообразия Сасаки M продолженную почти контактную метрическую структуру , полагая

,

,

, , , , .

Теорема 3. Почти контактная метрическая структура , определяемая на распределении нулевой кривизны сасакиева многообразия, является SQS-структурой.

Тензором Схоутена-Риччи назовем допустимое тензорное поле , . Координатное представление тензора Схоутена-Риччи имеет вид: .

Теорема 4. SQS-многообразие с распределением нулевой кривизны является -Эйнштейновым сасакиевым многообразием с .

Доказательство теоремы сводится к вычислению компонент тензора Риччи в адаптированных координатах.

Начнем с тензора кривизны . Подставляя в (1) векторы неголономного базиса , получаем:

,

.

Далее,

.

Аналогично, и , что и доказывает теорему.



Список литературы

1. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.

2. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.

3. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.

4. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.

5. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с ц-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2015. Т. 40. №17. С. 20-24.

6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.

7. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.

8. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.

9. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.

10. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С. 247-251.

11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.

12. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

13. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.

14. Букушева А.В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.

15. Букушева А.В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.

16. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. 1941. №5. С. 301-327.

17. Вагнер В.В. Геометрия (n-1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. 1941. Вып. 5. С. 173-255.

18. Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 12-15.

19. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.

20. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.

21. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.

22. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.

23. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.

24. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.

25. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

26. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.

27. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С.14-16.

28. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1(49). С. 20-22.

29. Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 17-19.

30. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 22-24.

31. Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.

32. Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.

33. Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.

34. Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.

35. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.

36. Abraham R., Marsden J. Foundation of Mechanics. Benjamin, New-York, 1978.

37. Bucataru I. Metric nonlinear connection // Diff. Geom. Appl. 2007. Vol. 25. P. 335-343.

38. Bucataru I., Dahl M.F. Semi-bazic 1-form and Helmholtz conditions for the inverse problem of the calculus of variations // J. Geom. Mechanics. 2009. Vol. 1. no.2. P. 159-180.

39. Bucataru I., Constantinescu O., Dahl M F. A geometric setting for systems of ordinary differential equations // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 2011. Vol. 8. no.6. P. 12-19.

40. Carinena J.F., Martэnez E. Generalized Jacobi equation and inverse problem in classical mechanics, in Group Theoretical Methods in Physics // Proc. 18th Int. Colloquim 1990, Moskow. vol. II Nova Science Publishers. 1991.

41. Crampin M. Tangent bundle geometry for Lagrangian dynamics // J. Phys. A: Math. Gen. 1983. no. 16. P. 3755-3772.

42. Crampin M., Martэnez E., Sarlet W. Linear connections for system of second-order ordinary differential equations // Ann. Inst. Henry Poincare. 1996. Vol. 65. no.2. P. 223-249.

43. Crampin M. On the inverse problem for sprays // Publ. Math. Debrecen. 2007. Vol. 70. P. 319-335.

44. Frolisher A., Nijenhuis A. Theory of vector-valued differential forms // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 1956. Vol. 59. P. 338-359.

45. Grifone J. Structure presque tangente et connections I // Ann. Inst. Fourier. 1972. Vol. 22, no.1. P. 287-334.

46. Grifone J., Muzsnay J. Variational principle for second-order differential equations. World Scientific, 2000.

47. Hrimiuc D., Shimada H. On the L-duality between Lagrange and Hamilton manifold. Non-linear World. 1996. Vol. 3. P. 613-641.

48. Ida C., Manea A. A vertical Liouville subfoliation on the cotangent bundle of a Cartan space and some related structures // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 2014. Vol. 11. no.6.

49. Krupkova O. Variational metric structure // Publ. Math. Debrecen. 2003. Vol. 62. no. 3-4. P. 461-498.

50. Leon M. de, Rodrigues P.R. Methods of differential geometry in analytical mechanics. North-Holland Publishing Co. Amsterdam. 1989.

51. Martэnez E., Carinema J.F., Sarlet W. Derivations of differential forms along the tangent bundle projection II // Diff. Geom. Appl. 1993. Vol. 3. no.1. P. 1-29.

52. Martэnez E., Carinena J.F., Sarlet W. Geometric characterization of separable second-order differential equations // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1993. Vol. 113. no.1. P. 205-224.

53. Miron R. Hamilton geometry // An. Stiint. Univ. Al.I.Cuza, Iasi, S.I, Math., 1989. Vol. 35. P. 33-67.

54. Miron R., Hrimiuc D., Shimada H., Sabau S. The geometry of Hamilton and Lagrange spaces // Kluwer Academic Publishers. 2001.

55. Mitric G. Connections and regularity on the cotangent bundle // Publ. Math. Debrecen. 1999. Vol. 55. no. 1-2. P. 141-154.

56. Oproiu V. Regular vector fields and connections on cotangent bundles // An. Stiint. Univ. A.I.Cuza, Iasi, S.1. Math. 1991. Vol. 37. no.1. P. 87-104.

57. Popescu L. A note on nonlinear connections on the cotangent bundle // Carpathian J. Math. 2009. Vol. 25. no. 2. P. 203-214.

58. Popescu L., Criveanu R. A note on metric nonlinear connections on the cotangent bundle // Carpathian J. Math. 2011. Vol. 27. no.2. P. 261-268.

59. Sarlet W. The Helmholtz conditions revisited. A new approach to the inverse problem of Lagrangian dynamics // J. Phys. A: Math. Gen. 1982. no. 15. P. 1503-1517.

60. Sarlet W. Linear connections along the tangent bundle projection, in Variations, Geometry and Physics, (eds. O. Krupkova, D. Saunders). Nova Science Publishers. 2008.

61. Szilasi J., Muzsnay Z. Nonlinear connections and the problem of metrizability. Publ. Math. Debrecen. 1993. Vol. 42. no.1-2. P. 175-192.

62. Szilasi J. A setting for spray and Finsler geometry, in Handbook of Finsler Geometry, (ed. P. Antonelli) Kluwer Acad. Publ. 2003. no. 2. P. 1183-1426.

63. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. M. Dekker Inc., New-York. 1973.

Размещено на Allbest.ru