Размещено на http://www.allbest.ru/

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в различных областях техники, так как обладают разнообразием форм и достаточно высокой жесткостью. Для повышения жесткости они подкрепляются ребрами жесткости. При длительном воздействии нагрузки в них может проявиться свойство ползучести материала, т.е. изменение во времени деформаций и напряжений при неизменной нагрузке, что может привести к потере прочности или даже к потере устойчивости. Так как теория ползучести сравнительно молодая наука, то решения задач устойчивости и определения напряженно_деформированного состояния (НДС) для ребристых оболочек исследованы не достаточно. Поэтому исследование ребристых пологих оболочек с учетом ползучести материала является актуальным.

В настоящее время разработаны несколько торий ползучести. Сведения о них можно найти в работах Н.И. Безухова, Н.Н. Малинина, Ю.Н. Работнова, Л.М. Качанова, А.Р. Ржаницина, Н.Х. Арутюняна, Харлаба В.Д., В.И. Климанова и С.А. Тимашева и др. Исследование НДС и устойчивости оболочек в условиях ползучести материала проведено в работах И.Г. Терегулова, Гудрамовича В.С. и Пошивалова В.П., Куршина Л.М., Климанова В.И. и С.А. Тимашева, и др. В работе Климанова В.И. и Тимашева С.А. рассматриваются ребристые пологие оболочки, однако не учитываются сдвиговая и крутильная жесткость ребер или жесткость ребер “размазывается” по всей оболочке. В этой работе представлен обширный материал по экспериментальному исследованию оболочек и обзор работ при исследовании конструкций с учетом ползучести материала.

Устойчивость ребристых оболочек при длительном нагружении, когда может проявиться ползучесть материала, исследована недостаточно.

Исходя из анализа состояния исследований устойчивости ребристых пологих оболочек при длительном нагружении, ставятся следующие

задачи и цели исследования:

ѕ разработка математической модели деформирования пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности и возможности развития ползучести материала;

ѕ разработка алгоритма решения нелинейных задач теории оболочек (геометрическая и физическая нелинейность);

ѕ исследование влияния длительности нагружения на снижение критической нагрузки.

В работе не ставится задача детального исследования процессов ползучести в материале конструкции, а ставится задача исследования влияния нелинейных факторов при длительном воздействии нагрузки. Поэтому рассматривается простая теория ползучести (линейная теория наследственной ползучести) и анализируется устойчивость тонкостенных ребристых оболочек при длительном нагружении с учетом геометрической нелинейности и возникновения ползучести. Так как функции влияния находятся экспериментально, а экспериментальных данных, описанных в литературе недостаточно, то выбран материал (оргстекло), для которого эти данные приведены в работе Климанова В.И. и Тимашева С.А.

Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи: деформирование геометрический ползучесть

ѕ вывод нелинейных интегральных уравнений деформирования пологих ребристых оболочек с учетом ползучести материала;

ѕ разработка алгоритма решения дважды нелинейных задач (геометрической и физической);

ѕ исследование развития ползучести материала, когда прогибы оболочки соизмеримы с ее толщиной;

ѕ исследование снижения критической нагрузки при длительном нагружении оболочки вследствие развития ползучести материала.

Научная новизна работы:

ѕ разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и возникновения ползучести материала;

ѕ разработан алгоритм решения геометрически и физически нелинейных задач на основе метода Ритца и итерационных процессов;

ѕ исследован процесс роста прогибов при длительном нагружении оболочки, приводящий к потере устойчивости и особенности этого процесса для тонкостенных ребристых оболочек при учете геометрической нелинейности;

ѕ построены кривые снижения критической нагрузки для различных оболочек из оргстекла.

Практическое значение работы состоит в том, что математическое и программное обеспечение расчетов устойчивости пологих ребристых оболочек с учетом длительного воздействия нагрузок и возможности возникновения ползучести материала, геометрической нелинейности могут найти применение в проектных организациях (например, в ОАО “СПбЗНИИПИ жилищно--гражданских зданий”) и в учебном процессе строительных вузов (например, СПбГАСУ, ВолгГАСУ). Результаты работы получили врнедрение в ОАО “СПбЗНИИПИ жилищно--гражданских зданий”, учебном процессе СПбГАСУ для студентов специальностей “Промышленное и гражданское строительство”, “Прикладная математика”.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

ѕ математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости, поперечных сдвигов и возникновения ползучести материала;

ѕ методика исследовании модели, ориентированная на использование компьютерных технологий и позволяющая перейти от сложных интегро-дифференциальных уравнений к итерационным процессам решения нелинейных алгебраических уравнений;

ѕ исследование особенностей деформирования тонкостенных оболочечных конструкций (местной и общей потери устойчивости) и влияния этих особенностей на развитие ползучести материала при длительном нагружении;

ѕ исследование снижения критической нагрузки при длительном нагружении и развитии ползучести материала.

Достоверность научных положений подтверждается применением вариационных принципов при получении уравнений равновесия, обоснованных численных методов решения полученных уравнений, сравнением результатов с результатами других авторов и с результатами экспериментов.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на 58_й и 59_й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (2005 г., 2006 г.), на 63_й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2005 г.). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики под руководством д.ф._м.н., проф. Вагера Б.Г. (май, 2006 г.).

Публикации

По результатам исследования опубликованы четыре научных статьи. Публикаций по перечню ВАК -- 1.

Структура и объем работы

Текст диссертации изложен на 147 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 186 наименований, приложений на 28 страницах. Работа содержит 16 рисунков и 5 таблиц.

Во введении дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулирована цель исследований, указана научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на защиту, отражено кратко содержание диссертации.

В первой главе выводится математическая модель деформирования пологой ребристой оболочки с учетом геометрической нелинейности и возможностью развития ползучести материала.

Рассматриваются пологие оболочки двоякой кривизны прямоугольные в плане, подкрепленные со стороны вогнутости перекрестной системой ребер, параллельных осям координат (рис. 1). Срединная поверхность обшивки толщиной принимается за координатную поверхность. Оси , ортогональной системы координат направлены по линиям главных кривизн оболочки, ось _ ортогонально координатной поверхности в сторону вогнутости оболочки.

Рис. 1. Пологая ребристая оболочка



Конструкция, закрепленная определенным образом по контуру, находится под действием поперечной механической нагрузки . Математическая модель деформирования конструкции состоит из

ѕ геометрических соотношений (связь деформаций и перемещений);

ѕ физических соотношений (связь напряжений и деформаций);

ѕ уравнений равновесия или функционала полной энергии деформации оболочки.

Геометрические соотношения в координатной поверхности при учете геометрической нелинейности (считается, что прогибы могут быть соизмеримы с толщиной оболочки) принимают вид

(1)

Здесь _ перемещения точек координатной поверхности вдоль осей соответственно; _ главные кривизны оболочки вдоль осей и

,

где _ главные радиусы кривизны оболочки.

Будем учитывать поперечные сдвиги (модель Тимошенко_Рейснера), поэтому в слое, отстоящем на от координатной поверхности



, , ,

где _ углы поворота отрезка нормали у координатной поверхности в плоскостях и соответственно.

Деформации в слое, отстоящем на от срединной поверхности, принимают вид

(2)

, . (3)

Кроме того,

(4)

Здесь _ функция, характеризующая распределение напряжений , по толщине оболочки; _ константа.

Высоту и расположение ребер зададим функцией

, (5)

Где , , -- высота и ширина ребер параллельных оси , и число ребер этого направления;

, , -- аналогично для ребер параллельных оси ;



;

-- единичная столбчатая функция переменной , равная единице при и равная нулю при других значениях ;

-- единичная столбчатая функция переменной , равная единице при и равная нулю при других значениях .

В этом случае может быть принята в виде

,

при этом .

Наиболее распространенной является наследственная теория ползучести. Исходя из линейной теории наследственной ползучести физические соотношения для оболочек можно записать в виде

(6)

Здесь , _ функции влияния (ядра релаксации) материала при растяжении (сжатии) и сдвиге. Нагрузка, действующая на конструкцию, считается статической, тем не менее, деформации, а, следовательно, и перемещения считаются функциями не только пространственных переменных и , но и временной координаты .

Интегрируя напряжения (6) по в пределах от до , получим

(7)

где составляющие усилий и моментов с индексом (упругие составляющие) имеют вид,

(8)



а составляющие с индексом (учитывающие ползучесть материала) примут вид

(9)

Здесь

-- площадь поперечного или продольного сечения ребер, статический момент и момент инерции этого сечения;

и -- функции влияния для обшивки;

и -- функции влияния для ребер.

Функционал полной энергии деформации пологой оболочки, находящейся под действием статической поперечной нагрузки (функционал Лагранжа), имеет вид

(10)

где , _ линейные размеры оболочки вдоль осей и .

Если рассматриваются упругие задачи, то функционал (10) можно записать в виде (введем индекс )

Если считается, что могут проявиться свойства ползучести материала конструкции, то функционал (10) представляется в виде

, (12)

где имеет вид (11), а записывается в вид



Из условия минимума функционала (12) получаются уравнения равновесия, которые представляют собой систему интегро-дифференциальных уравнений десятого порядка относительно функций , , , , . Решение такой задачи вызывает серьезные математические трудности. Уравнения равновесия получены и для модели, не учитывающей поперечных сдвигов. Получены уравнения в смешанной форме.

Во второй главе разработан алгоритм расчета устойчивости оболочек с учетом геометрической нелинейности и возможностью развития ползучести материала при длительном нагружении.

Наиболее удобный алгоритм решения поставленной задачи состоит в следующем:

К функционалу , где имеет вид (11), а _ (13), записанному в безразмерных параметрах , применяется метод Ритца и находится система нелинейных интегральных уравнений

(14)

где _ неизвестные параметры, зависящие от ;

_ линейные и нелинейные составляющие уравнения, относящиеся к упругой задаче;

_ составляющая уравнения, относящаяся к задаче ползучести;

_ заданный параметр нагрузки.

К решению нелинейной системы (14) применяется метод итераций (итерация для решения нелинейной упругой задачи и итерация при решении задачи ползучести). После того, как найдено решение упругой задачи при некотором значении параметра нагрузки методом итераций, , т.е. после решения итерационного уравнения

,

находится решение уравнения (14) при , т.е. решается итерационное уравнение

.

Введем безразмерные параметры

(15)

Функционалы (11) и (13), после перехода к безразмерным параметрам будут иметь вид



(16)

(17)

В соответствии с методом Ритца представим искомые функции , , , , в виде

(18)



Здесь. , , , , -- неизвестные функции переменной ; -- известные аппроксимирующие функции переменной , удовлетворяющие при , заданным краевым условиям;

-- известные аппроксимирующие функции переменной , удовлетворяющие при , заданным краевым условиям.

Подставив (18) в выражения (16), (17) и выполнив интегрирование от известных функций по переменным и , получим

В соответствии с методом Ритца, находим производные от по переменным , , , , и приравниваем их к нулю. В результате получим систему (14), которая в развернутом виде будет иметь вид

(21)

Для решения системы (21) применяется итерационный метод. Начальные условия для задач ползучести (при этом подчеркнутые члены берутся равными нулю) находятся из решения упругой задачи с использованием метода итераций. После того как найдено решение упругой задачи, решается задача ползучести. Для этого интервал разбивается на равных частей с шагом . Интеграл

где , заменяется суммой интегралов



для вычисления которых применяется метод прямоугольников, и в результате имеем ( принимаем равным )

(22)

Таким образом, после того как найдено решение упругой задачи при с помощью метода итераций находится решение системы (21) с известными из прошлой итерации значениями подчеркнутых членов, при последовательном изменении от 1 до .

Так как и зависят только от разности , то для любого отрезка эти функции влияния будут константами.

В третьей главе исследована устойчивость пологих ребристых упругих оболочек и выявлены особенности их деформирования (местная и общая потеря устойчивости).

В таблице 1 для оболочек с параметрами , , , подкрепленных различным числом ребер высотой и шириной (0 -- гладкая оболочка), приводятся значения критических нагрузок и для различных материалов оболочки -- (МПа).

Таблица 1

число ребер		, МПа
		Сталь 40ХНВ закаленная	дюраль	оргстекло
0	191	3,094	1,1	0,048
2	250	4,05	1,445	0,064
4	430	6,97	2,48	0,109
8	1750	28,35	10,115	0,445

Для обоснования достоверности, полученных нами результатов, было проведено сравнение с результатами, полученными В.В. Карповым и О.В. Игнатьевым для аналогичных оболочек и получено хорошее совпадение результатов, хотя методики были разные.

В таблице 2 для оболочек с параметрами , , (более тонкая относительно своей длины), подкрепленных различным числом ребер высотой и шириной (0 -- гладкая оболочка), приводятся значения критических нагрузок и для различных материалов оболочки -- (МПа).

Таблица 2

число ребер		, МПа
		Сталь 40ХНВ закаленная	дюраль	оргстекло
0	800	0,81	0,288	0,01127
2	1140	1,15	0,41	0,018
6	1860	1,91	0,67	0,295
8	2100	2,2	0,756	0,334
10	2200	2,35	0,79	0,35

Как видим из таблиц 1 и 2 критические нагрузки существенно возрастают с увеличением числа ребер. При уменьшении толщины оболочки критические нагрузки существенно уменьшаются (например, уменьшение толщины оболочки в два раза как следует из таблиц 1 и 2 приводит к уменьшению критической нагрузки в 4_10 раз). Материал оболочки также существенно влияет на величину критической нагрузки.

Для сравнения с результатами эксперимента, описанного в работе В.И. Климанова и С.А. Тимашева был проведен расчет оболочки шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру, не содержащей несовершенств (идеальной оболочки). Безразмерные параметры этой оболочки имеют вид ; ; . В каждом направлении оболочка подкреплена 9 ребрами высотой и шириной . Критическая нагрузка оказалась равной МПа. В угловых точках наблюдались максимальные прогибы и напряжения. Как оказалось, результаты расчета хорошо согласуются с результатами эксперимента.

Для неподкрепленной ребрами оболочки с параметрами м, м при различной толщине оболочки получены критические нагрузки (размерные для оргстекла):

ѕ при м (, ) , а Мпа;

ѕ при м (, ) , а Мпа;

ѕ при м (, ) , а Мпа.

В четвертой главе исследуются пологие ребристые оболочки, допускающие прогибы соизмеримые с толщиной с учетом развития ползучести материала.

Рассмотрим шарнирно-неподвижно закрепленную по контуру оболочку из оргстекла с параметрами:

м; м; м; МПа; . После перехода к безразмерным параметрам (2.2) получим

; ; и (исходя из результатов главы 3) или МПа.

Чтобы выяснить, как снижается критическая нагрузка при длительном воздействии нагрузки, исследуем процесс развития ползучести в материале оболочки при различных значениях нагрузки, не превышающих .

На рис. 2 представлены графики “ -- ”, для рассмотренной выше оболочки из оргстекла при полученные при следующих нагрузках:

· Кривая 1 -- при МПа ();

· Кривая 2 -- при Мпа ();

· Кривая 3 -- при Мпа ()

· Кривая 4 -- при Мпа ().

Время, при котором происходит бурный рост прогибов, принимается за критическое время (происходит “прощелкивание” оболочек вследствие развития ползучести материала).

Рис. 2. Зависимости “ -- ” при различном уровне нагружения

На рис. 3 приведена кривая снижение критической нагрузки при длительном нагружении и возникновении ползучести в материале рассматриваемой оболочки из оргстекла. Полученные результаты качественно согласуются с результатами, описанными в работе В.И. Климанова и С.А. Тимашева, с учетом того, что в этой работе оболочки имели некоторые начальные несовершенства и были закреплены шарнирно-подвижно.



Рис. 3. Снижение критической нагрузки при возникновении ползучести материала

Как видно из рассматриваемого примера, при длительном воздействии нагрузки критические нагрузки могут быть существенно меньше тех, которые получаются при решении упругой задачи.

Как показали исследования, с увеличением параметров кривизны , , увеличивается скорость снижения критической нагрузки.

Для ребристых оболочек функции влияния и должны быть различными для обшивки и для ребер, что вызывает серьезные трудности при расчете, поэтому предлагается “размазывать” жесткость ребер по оболочке и тогда функции влияния будут едиными.

Рассмотрим квадратные в плане оболочки, подкрепленные ортогональной сеткой ребер, направленных вдоль осей координат. Обшивка и ребра выполнены из оргстекла. Параметры оболочки следующие:

м; м; м.

В каждом направлении оболочка подкреплена девятью ребрами высотой м и шириной м.

В работе В.И. Климанова и С.А. Тимашева путем экспериментальных исследований показано, что для ребристых оболочек можно взять усредненные значения функций влияния с параметрами ; ; (для рассматриваемого материала и размеров оболочки). Эти значения соответствуют толщине оболочки от 0,001 м до 0,006 м. В эти значения входит и толщина рассматриваемой ребристой оболочки. Мгновенная критическая нагрузка была МПа.

Результаты расчета, кривая снижения критической нагрузки вследствие ползучести представлена на рис. 4 сплошной линией. Пунктирной линией показана кривая снижения критической нагрузки при шарнирно-подвижном закреплении краев, взятая из работы В.И. Климанова и С.А. Тимашева. С увеличением числа ребер кривая снижения критической нагрузки становится положе. На рис. 4 штрих-пунктирной линией показан результат для аналогичной оболочки, подкрепленной 18 ребрами.

К сожалению, отсутствуют данные для сравнения для оболочек закрепленных по краю шарнирно-неподвижно. Из приведенного сравнения видно, что характер кривой снижения критической нагрузки, полученной в нашей работе аналогичен той, что получена в работе В.И. Климанова и С.А. Тимашева, только там оболочка более податлива нагрузке. При некоторой нагрузке кривая снижения критической нагрузки стабилизируется. И эта нагрузка считается критической долговременной нагрузкой.

Рис. 4. Кривые снижения критической нагрузки для ребристых оболочек



Как известно из экспериментов кривая ползучести состоит из трех участков. Последний участок с возрастающей скоростью деформаций ползучести приводит к разрушению и наиболее опасен.

Как было показано на рис. 4 развитие ползучести материала оболочки приводит к “прощелкиванию” (потеря устойчивости) оболочки при нагрузках меньших . Но для тонких оболочек () при шарнирно-неподвижном закреплении края (и при защемлении тоже) наибольший уровень напряжений наблюдается в четверти оболочки, а не в центре, прогибы в четверти могут превышать прогибы в центре оболочки. Поэтому в этих областях развитие ползучести происходит быстрее. И до “прощелкивания” всей оболочки может произойти разрушение в этих областях, так как возрастание скорости деформаций ползучести там происходит быстрее. При малом шаге ребер между ребрами уровень напряжений и прогибов может быть больше, чем в центре оболочки, так что аналогичная ситуация наблюдается и в этих областях. Податливость контура оболочки позволяет снизить уровень напряжений вблизи контура и максимум прогибов переместить в центр оболочки.

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. Разработана математическая модель пологой ребристой оболочки с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и учета развития ползучести материала, позволяющая исследовать напряженно-деформированное состояние и устойчивость оболочек при длительном нагружении.

2. Разработан алгоритм исследования полученной модели на основе метода Ритца и итерационных процессов (итерация при решении геометрически нелинейных задач и итерация по временной координате при решении задач ползучести), реализованный в виде программного комплекса для ЭВМ.

3. Исследованы особенности напряженно-деформированного состояния и устойчивости для оболочек, имеющих прогибы соизмеримые с толщиной (увеличение напряженного состояния в угловых точках и между ребрами, возможность местной и общей форм потери устойчивости), которые могут существенно повлиять на развитие ползучести материала при длительном нагружении.

4. На примере оболочек из оргстекла показано существенное снижение критической нагрузки при развитии ползучести в материале.

5. Для ребристых оболочек ползучесть материала быстрее развивается в угловых точках оболочки и между ребрами, так как в этих точках прогибы и напряжения при учете геометрической нелинейности максимальны.



Основное содержание диссертации изложено в публикациях

1. Карпов В.В., Кудрявцев В.К. Устойчивость ребристых пологих оболочек при длительном нагружении. Вестник ВолгГАСУ, сер. Строительство и архитектура, Вып. 6 (21). Волгоград, ВолгГАСУ, 2006. - с.160-168.

2. Кудрявцев В.К. Алгоритмы расчета напряженно_деформированного состояния пологих ребристых оболочек при учете ползучести материала. - Математические моделирование, числены методы и комплексы программ: Межвуз. Темат. Сб. тр. / СПбГАСУ. -- СПб., 2006. -- с. 53-58.

3. Кудрявцев В.К. Математические модели деформирования пологих ребристых оболочек двоякой кривизны при учете ползучести материала. /Доклады 63-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета. СПб.: СПбГАСУ, 2006, с. 92-93.

4. Кудрявцев В.К. Устойчивость упругих пологих ребристых оболочек / Математические моделирование, числены методы и комплексы программ: Межвуз. Темат. Сб. тр. / СПбГАСУ. -- СПб., 2006. -- с. 44-48.

Размещено на Allbest.ru