Определение функций источника систем уравнений составного типа для некоторых начально-краевых задач
Решение задачи идентификации функции источника одномерной системы параболического и эллиптического уравнений в частных производных второго порядка. Исследование задачи Коши, второй краевой и обратных задач для эволюционных систем составного типа.
Рубрика | Математика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 29.04.2018 |
Размер файла | 334,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.ru/
Сибирский федеральный университет
Определение функций источника систем уравнений составного типа для некоторых начально-краевых задач
Белов Ю.Я., д.ф.-м.н., профессор
Копылова В.Г.,
В работе решена задача идентификации функции источника одномерной системы двух уравнений в частных производных второго порядка, одно из которых является параболическим, а второе эллиптическим. Рассмотрена система уравнений, полученная из исходной системы, в которой в эллиптическое уравнение добавлена производная по времени, содержащая малый параметр . Исследованы задача Коши и вторая краевая задача. Изучению случая для первой краевой задачи посвящена работа [1]. Обратные задачи для эволюционных систем составного типа изучены в работах [2-5].
В полосе рассматривается задача определения функций удовлетворяющих системе уравнений
(1)
начальным условиям
(2)
и условиям переопределения
(3)
(4)
где - заданные функции на .
В (1) коэффициенты заданы на отрезке , функции заданы в .
Пусть выполняются соотношения
(5)
(6)
Предположим выполнение следующих условий:
· условия согласования
(7)
(8)
· функции непрерывно дифференцируемы на отрезке :
(9)
· матрица
порождает симметрическую и коэрцитивную билинейную форму:
:
(10)
Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже соотношения и удовлетворяют им:
(11)
(12)
(13)
Предполагаем, что - постоянная больше единицы, постоянная - нечетное число.
Используя метод слабой аппроксимации и следуя работе [4] можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Пусть выполняются условия (5)-(13). Тогда существует и единственно решение задачи (1)-(4) в классе
удовлетворяющее соотношениям
Предположение 1. Предположим, что входные данные , - периодические по переменной функции с периодом , точка , и ряды
функция параболический эллиптический краевой задача
сходятся равномерно вместе со своими производными по до порядка соответственно в и .
Доказана теорема.
Теорема 2. При выполнении предположения 1 и условий теоремы 1 при любом фиксированном компоненты решения задачи (1)-(4) являются периодическими функциями по переменной с периодом и удовлетворяют условиям
(16)
Замечание 1. Из (15) и системы (1) следует, что производные , существуют и непрерывны в и
(17)
В результате работы были получены равномерные по оценки
(18)
(19)
В силу неравенств (18), (19) множества , удовлетворяют условиям теоремы Арцела. Следовательно, существует подпоследовательность последовательности векторов и вектор-функция такие, что при
в (20)
Переходя к пределу при в системе (1) (при ) и учитывая при этом оценку (19) (при ), в силу (20) получим, что вектор удовлетворяет в системе уравнений
(21)
начальным условиям
(22)
краевым условиям
(23)
и условиям переопределения
(24)
(25)
Доказаны следующие теоремы
Теорема 3. Пусть выполняются условия (3)-(13), (16), (17) и предположение 1. Тогда решение , , задачи (21)-(25) существует и единственно в классе , где
Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 3. Тогда решение , , задачи
существует и единственно в классе
При
равномерно в
равномерно в
Список литературы
1. Belov Yu.Ya., Kopylova V.G. On some identification problem for source function to one semievolutionary system // Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 20(2012), no.5-6, p. 723-743.
2. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics // New York, Marcel Dekkar, Inc., 1999.
3. Белов Ю.Я. О задаче идентификации функции источника для одной полуэволюционной системы // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика, 2010, Т.3, С. 487-499.
4. Вячеславова П.Ю., Сорокин Р.В. Задача идентификации коэффициентов при младших членах в системе составного типа // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика, 2009, Т.2., С.288-297.
5. Сорокин Р.В., Шипина Т.Н. О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа // Вычислительные технологии, 2003, С.139-146.
6. Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации // Красноярск: КрасГУ, 1990.
7. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул // Москва: Наука, 1974.
8. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики // Новосибирск: Наука, 1967
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Рассмотрение общих сведений обратных задач математической физики. Ознакомление с методами решения граничных обратных задач уравнений параболического типа. Описание численного решения данных задач для линейно упруго-пластического режима фильтрации.
диссертация [2,8 M], добавлен 19.06.2015Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Уравнения параболического типа. Разностные схемы для уравнения теплопроводности, задача Коши. Явная и неявная разностные схемы. Применение двухслойных разностных шаблонов. Устойчивость двухслойных разностных схем. Решение задач методом прогонки.
лекция [494,0 K], добавлен 28.06.2009Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011