Размещено на http://www.Allbest.ru/

Сибирский федеральный университет

Определение функций источника систем уравнений составного типа для некоторых начально-краевых задач

Белов Ю.Я., д.ф.-м.н., профессор

Копылова В.Г.,

В работе решена задача идентификации функции источника одномерной системы двух уравнений в частных производных второго порядка, одно из которых является параболическим, а второе эллиптическим. Рассмотрена система уравнений, полученная из исходной системы, в которой в эллиптическое уравнение добавлена производная по времени, содержащая малый параметр . Исследованы задача Коши и вторая краевая задача. Изучению случая для первой краевой задачи посвящена работа [1]. Обратные задачи для эволюционных систем составного типа изучены в работах [2-5].

В полосе рассматривается задача определения функций удовлетворяющих системе уравнений

(1)

начальным условиям

(2)

и условиям переопределения

(3)

(4)

где - заданные функции на .

В (1) коэффициенты заданы на отрезке , функции заданы в .

Пусть выполняются соотношения

(5)

(6)

Предположим выполнение следующих условий:

· условия согласования

(7)

(8)

· функции непрерывно дифференцируемы на отрезке :

(9)

· матрица

порождает симметрическую и коэрцитивную билинейную форму:

:

(10)

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже соотношения и удовлетворяют им:

(11)

(12)

(13)

Предполагаем, что - постоянная больше единицы, постоянная - нечетное число.

Используя метод слабой аппроксимации и следуя работе [4] можно доказать следующую теорему.

Теорема 1. Пусть выполняются условия (5)-(13). Тогда существует и единственно решение задачи (1)-(4) в классе

удовлетворяющее соотношениям

Предположение 1. Предположим, что входные данные , - периодические по переменной функции с периодом , точка , и ряды

функция параболический эллиптический краевой задача

сходятся равномерно вместе со своими производными по до порядка соответственно в и .

Доказана теорема.

Теорема 2. При выполнении предположения 1 и условий теоремы 1 при любом фиксированном компоненты решения задачи (1)-(4) являются периодическими функциями по переменной с периодом и удовлетворяют условиям

(16)

Замечание 1. Из (15) и системы (1) следует, что производные , существуют и непрерывны в и

(17)

В результате работы были получены равномерные по оценки

(18)

(19)

В силу неравенств (18), (19) множества , удовлетворяют условиям теоремы Арцела. Следовательно, существует подпоследовательность последовательности векторов и вектор-функция такие, что при

в (20)

Переходя к пределу при в системе (1) (при ) и учитывая при этом оценку (19) (при ), в силу (20) получим, что вектор удовлетворяет в системе уравнений

(21)

начальным условиям

(22)

краевым условиям

(23)

и условиям переопределения

(24)

(25)

Доказаны следующие теоремы

Теорема 3. Пусть выполняются условия (3)-(13), (16), (17) и предположение 1. Тогда решение , , задачи (21)-(25) существует и единственно в классе , где

Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 3. Тогда решение , , задачи

существует и единственно в классе

При

равномерно в

равномерно в

Список литературы

1. Belov Yu.Ya., Kopylova V.G. On some identification problem for source function to one semievolutionary system // Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 20(2012), no.5-6, p. 723-743.

2. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics // New York, Marcel Dekkar, Inc., 1999.

3. Белов Ю.Я. О задаче идентификации функции источника для одной полуэволюционной системы // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика, 2010, Т.3, С. 487-499.

4. Вячеславова П.Ю., Сорокин Р.В. Задача идентификации коэффициентов при младших членах в системе составного типа // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика, 2009, Т.2., С.288-297.

5. Сорокин Р.В., Шипина Т.Н. О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа // Вычислительные технологии, 2003, С.139-146.

6. Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации // Красноярск: КрасГУ, 1990.

7. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул // Москва: Наука, 1974.

8. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики // Новосибирск: Наука, 1967

Размещено на Allbest.ru