Принципы формирования регулярных простых фрактальных структур

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР

Иванов В.В. Кандидат химических наук, доцент, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Аннотация

Обсуждаются принципы формирования и строения регулярных простых (одномодульных) фрактальных структур в 2D пространстве.

Ключевые слова: модуль, генератор, фрактальная структура.

The general principles of the regular simple (one-modular) fractal structures formation and building in 2D space are discussed.

Keywords: module, generator, fractal structure.

Главной особенностью фрактальных структур является их самоподобная иерархическая организованность в соответствующем метрическом пространстве. Свойство бесконечного самоподобия означает точную масштабную инвариантность геометрически регулярной фрактальной структуры относительно набора последовательных операций отображений подобия методом итераций. Формально в рамках итерационного метода существуют два принципиально разных подхода к формированию регулярной фрактальной структуры F: инъективный и сюръективный [1].

Будем рассматривать фрактальную топологию объектов в геометрическом 2D пространстве. Тогда в соответствии с представлениями теории фрактальных множеств [1 - 3] можно высказать следующее.

1. В рамках инъективного подхода - если SI…SN - набор сжимающих отображений метрического 2D пространства со структурой F на себя, то найдется единственная компактная фрактальная структура F(2), такая что

F(2) = SI(F)х…х SN(F), а Si(Fi) = Fi+1 = ImFi Fi.

Инъективное отображение Si предполагает вложение образа структуры ImFi в подобный элемент структуры Fi. В результате бесконечной итерационной процедуры образы ImFi компактной фрактальной структуры F(2) становятся точками.

2. В рамках сюръективного подхода - если SI…SN - набор растягивающих отображений части 2D пространства (генератора G) на полное метрическое 2D пространство, то найдется единственная бесконечная фрактальная структура F(2), такая что

F(2) = SI(G) x…x SN(G), а Si(Gi) = Gi+1 = ImGi Gi.

Сюръективное отображение Si предполагает такое расширение генератора, при котором возможно вложение прообраза его Gi в структурный элемент подобного ему образа ImGi. В результате бесконечной итерационной процедуры полный образ ImGi бесконечной фрактальной структуры F(2) содержит упорядоченные в 2D пространстве структурные элементы в форме генератора G.

Отметим, что в обоих подходах при конечном числе итераций формируются предфракталы, каждый из которых состоит из самоподобных модулей. Однако только при сюръективном формировании предфракталов процесс их образования аналогичен росту поверхностных фрактальных структур из одинаковых модулей, размеры которых коррелируют с размерами молекул, атомных кластеров, наночастиц и других атомных ассоциатов. Естественное условие-ограничение в этом случае - максимальный размер лакунарных полостей, при значениях которых квазифрактальная структура еще может соответствовать реальному физическому фракталу химической природы. При инъективном подходе аналогичным условием-ограничением для модулярного предфрактала служит то минимальное межмодульное расстояние, которое еще не меньше размера минимальной структурной единицы - атома вещества.

В общем случае генератор формирования фрактальной структуры G в ячейке с реперами (a,b,c) ортогонального 3D пространства может быть сложным (составным). Он может быть представлен как результат совместного действия 3-х генераторов Gen(a), Gen(b), Gen(c) разного вида. Для формирования простой фрактальной структуры в пространственной ячейке необходимо, чтобы для образующих ее генераторов выполнялись следующие условия:

1) множество генераторов {Gen(i)} (Gen(a), Gen(b), Gen(c)) должно обладать свойствами мультипликативной полугруппы Gen = (Gen, *) , т.е. подчиняться аддитивному закону

Gen(a) * (Gen(b) * Gen(c)) = (Gen(a) * Gen(b)) * Gen(c);

2) для любых пар генераторов из множества {Gen(i)} должно быть задано множество отображений {j} таких, что

(Gen(a) o (Gen(b)) цab = (Gen(a) цab) *1 цac = (Gen(a) цac) *2 цbc = (Gen(b) цbc) *3

суть изоморфный образ результата отображения

(Gen(a) o (Gen(b) o Gen(c)) цabc;

3) операция *, заданная на множестве {Gen(i)}, должна быть ассоциативной, т.е.

Gen(a) * (Gen(b) = Gen(a) · (Gen(b),

Gen(a) * (Gen(c) = Gen(a) · (Gen(c),

Gen(b) * (Gen(c) = Gen(b) · (Gen(c),

а полугруппа (Gen, ·) двойственна к полугруппе (Gen, *) (антиизоморфнa).

На основании изложенного выше сформулируем следующие основные принципы формирования простых фракталов.

1 Принцип модулярного строения регулярных фрактальных структур: Любая регулярная фрактальная структура может быть представлена из одинаковых минимальных модулей, строение и форма которых содержит структурную информацию как о самой фрактальной структуре, так и о любом ее предфрактале [4].

Такие модули выполнят функцию генератора G ? F1 модулярной фрактальной структуры и, в частности, любого ее предфрактала n-го поколения: Fn (F1), где n - количество итераций. Как следствие - возможность определять размерность любой модулярной фрактальной структуры через размерность ее предфрактала 1-го поколения - генератора G:

Dim F = Dim F1 ? Dim G.

2 Принцип иерархии модулей самоподобных регулярных фрактальных структур: Самоподобная регулярная фрактальная структура может быть представлена как модулярная из любых ее предфракталов [4].

В частности, модулярное строение каждого предфрактала n-го поколения Fn может быть представлено модулями - предфракталами всех предыдущих поколений:

Fn (Fn-1 (Fn-2 (Fn-3… (F1)…))),

а сами модули классифицируются по сложности в иерархической последовательности:

Fn Fn-1 Fn-2 Fn-3 … F1.

3 Принцип детерминистичности инъективно полученных фрактальных структур: Упорядоченное множество идентичных фрактальных структур, полученных инъективным способом в единичной ячейке структурированного пространства, представляет собою детерминистическую фрактальную структуру.

В соответствии с принципом иерархии модулей фрактал Fn, полученный инъективным способом, включает в себя множество предфракталов {F(i)} (i < n) и занимает с ними одну и ту же ячейку структурированного пространства. Для каждого i-го поколения предфракталы F(i) могут быть упорядочены в пространстве в соответствии с собственной локальной симметрией с помощью элементов симметрии дискретной группы трансляций T(t1,t2,t3) ячеистого 3D пространства.

4 Принцип неограниченного роста (эволюционирования) сюръективно получаемых фрактальных структур: При итерировании генератора фрактала сюръективным способом фрактальная структура неограниченно эволюционирует из инициальной ячейки в окружающее ячеистое пространство в соответствии со своим коэффициентом подобия.

При сюръективном итерировании генератора

GenF(K) ? F1(K)

фрактальной структуры F(K), где K - коэффициент подобия, происходит «захват» новых пространственных ячеек таким образом, что «объем» каждого предфрактала n-го поколения с учетом лакунарного пространства возрастает по сравнению с «объемом» предфрактала предыдущего поколения в (1/K) раз. Общее количество пространственных ячеек, занятых предфрактальной структурой Fn(K), может быть определено по следующей формуле:

N(n) = K- (Dn/2) ,

где D - размерность пространства существования фрактала.

Следующие три принципа сформулированы с учетом некоторых полугрупповых свойств непустого множества фракталообразующих генераторов. 5 Принцип изоморфного отношения между множеством 1D генераторов и соответствующего ему инъективного отображения.

6 Принцип идентичности любых изоморфных образов фрактальной структуры, полученной из множества попарно коммутирующих 1D генераторов.

7 Принцип ассоциативности бинарной операции любых пар антиизоморфных полугрупп для 1D генераторов из множества образующих фрактал генераторов.

Сформулированные выше принципы положены в основу эволюционных моделей формирования детерминистических фрактальных структур, упорядоченных в 2D пространстве множеств и мультимножеств замкнутых фрактальных кривых [5 - 19] и использованы при целенаправленном поиске и интерпретации трибологических свойств поверхности композиционных материалов и покрытий [20 - 25].

регулярный фрактальный структура геометрический

Литература

1. Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир. 1965. - 455 с.

2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. - М.: Мир, 1976. - 400 с.

3. Общая алгебра. В 2-х томах./ Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.,1990. - Т.1. - 592 с.; 1991. - Т.2. - 480 с.

4. Иванов В.В., Таланов В.М. Принципы модулярного строения регулярных фрактальных структур // Успехи соврем. естествознания, 2012. - №3. - С.56-57.

5. Иванов В.В., Шабельская Н.П., Таланов В.М. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн двумерных полигонных и полиэдрических наноструктур // Соврем. наукоемкие технологии, 2010. - №10. - С.176-179.

6. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн фрактальных структур в двумерном пространстве // Междунар. журн. эксп. образования, 2010. - №11. - С.153-155.

7. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн двумерных наноструктур и фрактальных решеток // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2011. - Т.2. - № 3. - С.121-134.

8. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. Эволюционная модель формирования и анализ детерминистических фрактальных структур // Успехи соврем. естествознания, 2012. - №4. - С.230-232.

9. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. Символьное описание структурных типов кристаллов // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2012. - Т.3. - № 4. - С.82-100.

10. Иванов В.В., Таланов В.М. Разбиение и структурирование пространства, описание процесса формирования модульного кристалла // Успехи соврем. естествознания, 2012. - №8. - С.75-77.

11. Иванов В.В., Таланов В.М. Разбиение структурированного 3D пространства на модулярные ячейки и моделирование невырожденных модулярных структур // Успехи соврем. естествознания, 2012. - №10. - С.78-80.

12. Иванов В.В., Таланов В.М. Формирование структурного модуля для модулярного дизайна в 3D пространстве // Успехи соврем. естествознания, 2012. - №9. - С.74-77.

13. Иванов В.В., Таланов В.М. Символьное описание упаковок модулей и коды структур кристаллов / Журн. структурной химии, 2013. - Т.54. - №2. - С.354-376.

14. Иванов В.В., Таланов В.М. Конструирование фрактальных наноструктур на основе сеток Кеплера-Шубникова // Кристаллография, 2013. - Т.58. - № 3. - С. 370-379.

15. Иванов В.В. Общая характеристика возможных гибридных мономодулярных фрактальных структур// Соврем. наукоемкие технологии. 2013.- №.5. - С.29-31.

16. Иванов В.В. Формирование фрактальных структур на основе итерационной последовательности и канторова множества точек с заданными характеристиками в 1D пространстве // Успехи соврем. естествознания, 2013. - №8. - С.136-137.

17. Иванов В.В. Описание и классификация точечных мономодулярных фрактальных структур // Успехи соврем. естествознания, 2013. - №8. - С.134-135.

18. Иванов В.В. Анализ возможности получения новых точечных и квазиточечных фрактальных структур на основе итерационной последовательности и канторова множества// Успехи соврем. естествознания, 2013. - №8. - С.129-130.

19. Иванов В.В., Шабельская Н.П., Таланов В.М., Попов В.П. Итерационный модулярный дизайн двумерных наноструктур // Успехи соврем. естествознания, 2012. - №2. - С.60-63.

20. Иванов В.В., Щербаков И.Н. Моделирование композиционных никель-фосфорных покрытий с антифрикционными свойствами. - Ростов н/Д: Изд-во журн. «Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион», 2008. - 112 с.

21. Иванов В.В., Арзуманова А.В., Иванов А.В., Балакай В.И. Анализ синергетического эффекта в композиционных электролитических покрытиях никель-бор-фторопласт // Журн. прикладной химии, 2006. - Т.79. - Вып.4. - С.619-621.

22. Иванов В.В., Арзуманова А.В., Балакай И.В., Балакай В.И. Анализ фазовой разупорядоченности в электролитических покрытиях никель-бор // Журн. прикладной химии, 2009. - Т.82. - Вып. 5. - С.797-802.

23. Иванов В.В., Щербаков И.Н. Моделирование антифрикционных свойств композиционных покрытий с учетом вероятных конфигураций межфазных границ // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2011. - №3. - С.54-57.

24. Иванов В.В., Щербаков И.Н. Анализ возможных модификаторов для получения композиционных Ni-P покрытий с антифрикционными свойствами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2011. - №5. - С.47-50.

25. Дерлугян П.Д., Иванов В.В., Иванова И.В. и др. Поиск эффективных модификаторов для получения композиционных Ni-P покрытий с антифрикционными свойствами // Соврем. наукоемкие технологии. 2013.- №.5. - С.21-24.

Размещено на Allbest.ru