О гомотопическом подходе в геометрическом моделировании

Характеристика понятий топологического пространства и гомеоморфизма, которые являются фундаментальными в математике. Выявление метрических и топологических свойств объектов. Структура и свойства гладких многообразий. Деформации реальных объектов.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 21.06.2018
Размер файла 35,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

О гомотопическом подходе в геометрическом моделировании

Берзин Д.В.

Кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация

Опубликовано много значимых работ, относящихся к геометрическим методам объемного моделирования. Но очень немногие исследования рассматривали топологический аспект. В данной работе мы кратко описываем базовые гомотопические методы в трехмерном моделировании.

Ключевые слова: информационные технологии, 3D моделирование, прикладная информатика, топология, компьютерная графика

Abstract

There were published a lot of valuable research results on geometric 3D modeling. But very few investigations were done on topological aspect of the modeling. In this work we briefly talk about homotopy methods, that might be used in computer graphics and computer animation.

Keywords: Information Technology, 3D modeling, applied informatics, topology, computer graphics

Понятия топологического пространства и гомеоморфизма являются фундаментальными в математике. Грубо говоря, гомеоморфизмы описывают деформации геометрических объектов, и понятие гомеоморфизма полезно для выявления важных свойств объектов, которые не меняются в результате данных деформаций. Такие свойства называются топологическими. В отличие от метрических, которые связаны с расстояниями между точками, углами между прямыми и т.д. Например, куб и пирамида различны с метрической точки зрения, но они гомеоморфны. Для многих задач тонкие метрические свойства объектов не слишком важны, и порой необходимо выявлять грубые топологические свойства.

Известно, что понятие многообразия в геометрии является фундаментальным. Структура и свойства гладких многообразий являются хорошим подспорьем для методов CAGD (Computer-aidedgeometricdesign) и CG (компьютерной графики). Например, гауссова кривизна и другие инварианты являются важными в геометрическом моделировании. Порой структура гладкого многообразия не является достаточной, и тогда полезно воспользоваться понятием симплициального комплекса или клеточного пространства [1,2]. Симплициальный комплекс может рассматриваться как триангулированный объект (являющийся многообразием, или не являющийся таковым). Клеточное пространство - это объект, построенный из своего рода примитивов - клеток и может рассматриваться как обобщение понятия гладкого многообразия.

Топология (в частности, гомотопическая топология) является важным разделом в математике [1,2]. Ее базовые понятия, которые можно использовать в пространственном моделировании, - это гомеоморфизм, гомотопия, симплициальный комплекс, а также клеточное пространство.

В работах [3,4] и [8,9] используется так называемый клеточный подход к 3D моделированию. Топологические подходы также задействованы в [5]. Авторы предложили инновационную методику, называемую “Топологическое соответствие”, в которой схожести между моделями быстро, точно и автоматически (посредством информационных технологий) вычисляются путем сравнения их “мультиразрешающих реберных графов” (MRG). Между прочим, японский профессор Куни и его последователи активно используют теорию Морса и представление объектов в виде MRG в своих исследованиях [6,7].

Гомотопический подход

Понятие топологического пространства является центральным в топологии. Но оно - слишком общее. Почти всегда математика работает с пространствами, на которых введены дополнительные структуры: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Они весьма естественны. Во-вторых, могут быть добавлены комбинаторные структуры. Можно разложить объект на отдельные части и исследовать, как они расположены друг относительно друга. Важными комбинаторными структурами являются симплициальные и клеточные комплексы.

Пусть X, Y - два топологических пространства. Отображение f : X>Y называется гомеоморфизмом, если это - непрерывное и взаимно-однозначное соответствие, а обратное отображение f тоже непрерывно [1,2]. Два топологических пространства гомеоморфны, если между ними существует гомеоморфизм. Семейство отображений H(x,t) : XЧ[0,1] > Y называется гомотопией между X и Y, если оно непрерывно (одновременно по отношению к обоим параметрам). Два отображения гомотопны друг другу, если мы можем перейти от одного к другому посредством непрерывной деформации с параметром t из интервала [0,1]. Два топологических пространства X и Y являются гомотопически эквивалентными (или гомотопными), если существуют такие непрерывные отображения f : X>Y и g : Y>X, что каждая из композиций fg : Y>Y и gf: X>X гомотопны идентичному отображению id: X>X.

Перечислим некоторые хорошо известные примеры гомотопически эквивалентных, но не гомеоморфных пространств: Евклидово пространство R и точка; лента Мебиуса и окружность; сфера с тремя дырками и букет из двух окружностей S№ ?S№ ; окружность и кольцо. Последний случай проиллюстрирован на рис.1. Пусть f : S№>S№ - тождественное отображение, и h - это сжатие вдоль радиуса, и пусть g - это композиция g=f h. Тогда fg и gf гомотопически эквивалентны соответствующим тождественным отображениям.

Рис. 1. Окружность и кольцо не гомеоморфны, но гомотопически эквивалентны

Пример не гомотопных многообразий: сфера и тор. Деформации (морфинги) реальных объектов часто могут быть рассмотрены как гомеоморфные или гомотопные, и в задачах компьютерной анимации и компьютерной графики параметр t может рассматриваться как время. Данный математический подход предоставляет обширное поле для дальнейших исследований. топологический метрический гомеоморфизм

Литература

1. T. Fomenko, T. L. Kunii “Topological Modeling for Visualization” // Springer, 1998

2. T. Fomenko, D. B. Fuchs “Course of Homotopic Topology.” // Kluwer Academic Publishers

3. L. Kunii “Valid Computational Shape Modeling: Design and Implementation” // World Scientific, December 1999

4. Ohmori, T.L.Kunii “Shape Modeling Using Homotopy” // IEEE 2001.

5. Masaki Hilaga, Yoshihisa Shinagawa, TakuKohmura, Tosiyasu L. Kunii (2001). Topology Matching for Fully Automatic Similarity Estimation of 3D Shapes // SIGGRAPH'2001

6. Shinagawa, T. L. Kunii, Y. L. Kergosien “Surface Coding Based on Morse Theory” // IEEE Computer Graphics & Applications, 1991.

7. Shinagawa, T. L. Kunii “Constructing a Reeb Graph Automatically from Cross Sections” // IEEE Computer Graphics & Applications, 1991.

8. Dmitry Berzin “On homotopy and cellular approaches to shape modelling” // Международныйнаучноисследовательскийжурнал = Research Journal of International Studies, №8 (27) 2014, p. 4

9. Dmitry Berzin “On topological methods in shape modelling” // Международныйнаучноисследовательскийжурнал = Research Journal of International Studies, №9 (28) 2014, p. 7

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Понятие и признаки метрического пространства. Свойства топологических пространств. Замкнутые множества: внутренние, внешние и граничные точки. Топологические преобразования топологических пространств. Понятие и содержание двумерного многообразия.

    курсовая работа [481,4 K], добавлен 28.04.2011

  • Изучение конструкции и простейших свойств конечных полей, степень расширения поля разложения. Определение и свойства фундаментальной группы топологического пространства. Способ построения клеточного комплекса путем последовательного приклеивания клеток.

    контрольная работа [926,4 K], добавлен 26.12.2010

  • Непрерывные отображения топологических пространств. Связность топологических пространств. Компактность топологических пространств. Связность непрерывных отображений. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности.

    курсовая работа [140,7 K], добавлен 08.08.2007

  • Показатель надежности как числовая характеристика, с помощью которой можно количественно оценить надежность различных объектов техносферы. Общая характеристика свойств параметра потока отказов. Рассмотрение особенностей признака распределения Пуассона.

    презентация [97,7 K], добавлен 03.01.2014

  • Некоторые биографические данные и легенды из жизни Евклида. Основание математической школы и изложение геометрии в труде "Начала", описание метрических свойств пространства и его бесконечности. Сочинения "Оптика" и "Катоптрика" и изобретение монохорда.

    презентация [2,0 M], добавлен 21.12.2010

  • Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений для сравнительно простых объектов. Выражение входной и выходной величины элемента в долях, введение безразмерных координат. График кривой разгона, коэффициент усиления.

    реферат [12,5 K], добавлен 16.05.2010

  • Клеточные разбиения классических пространств. Важность для геометрии и топологии клеточного разбиения многообразий Грассмана. Гомотопические свойства клеточных пространств. Теорема о клеточной аппроксимации. Доказательство леммы о свободной точке.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 15.06.2009

  • Определение случайного процесса в математике, ряд терминов и понятий, описывающих механизм этого процесса. Марковские, стационарные случайные процессы с дискретными состояниями. Особенности эргодического свойства стационарных случайных процессов.

    реферат [33,1 K], добавлен 15.05.2010

  • Общая теория топологических и векторных пространств, внутренняя логика развития; аксиоматика. Структура построения нормированного пространства; рассмотрение и развитие понятия банахова пространства как определённого типа векторных пространств с нормой.

    реферат [14,9 K], добавлен 11.01.2011

  • Понятие и типы математических моделей, критерии их классификации. Примеры использования дифференциальных уравнений при моделировании реальных процессов: рекламная компания, истечение жидкости, водяные часы, невесомость, прогиб балок, кривая погони.

    курсовая работа [410,0 K], добавлен 27.04.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.